И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 58
Текст из файла (страница 58)
17. Будем считать з =- 1, 1 Р Рзт — = —, т. е. будем предполагать газ идеальу уат' ным, а процесс изотермическим. Тогда из (11.2. 18) для функции ЛейГ>ензона будет Рве. У111. 17. График зависимости коэффициента сверхсжвмаемости газа от давления. При 1(з) = солей х (р) = —. (У111.
8, 4) Рнс. У!11. 18. ды д> В полярных координатах для плоско-радиального движения х=г, 1'(г) = 2ягй н уравнение (У!!1.8. 3) принимает вид: (р) ~ —,+ — ) =- —,. (УП!,8. 5) Дифференциальное уравнение (11. 2. 19) нестационарной фильтрации гааа имеет вид: = и (р) >7э Р, х (р) =- — . (УП1. 8. 2) Мы получили уравнение, сходное с уравнением (УШ.1.8) для упругой капельной жидкости, но для газа коэффициент пьезопроводности х(р) =- — уже не постоянный, а зависит от давления. йр >и 1> Уравнение пестационарной фильтрации газа в трубке тока переменного сечения (рис, У1П.
18) имеет, как нетрудно показать, следующий вид; (У1П,8. 3) д д. Краткие сведения о нестационарной фияътроции гасов дде дР др д$ 6 а  †( дР др дР д1 и†( В дР— = — — =Йх 2 —, — =- — — =ах 2 д( ас дг г дЦ ' .дя д1 да дгг е =а х 2 — +а(а — 1)х 2 2а — 2 2В дгр а — 2 В др дггг аз Подставляя зти значения в (У111. 8. 2) и учитывая, что Р = = Р(х, 2) для одномерного прямолинейного движения, получаем Рх 2~ ' — = х(Р) ~ а хза 2 С~ — + а(а — 1)ха 2 В — 1 с$ ) ИЛИ, СОКращая На Хга 2 222, х(Р)~аг ~, + а(а — 1)х 2 = рх о 2 — а — (( .~- В) др д1 ' (Ъ П1. 8. 6) Для того чтобы (УП1. 8.
6) было обыкновенным дифференциальным уравнением, необходимо 2 — а 2-(( еВ> е(ха ВВ) = ((со) Положим 2 — а = йа, — (1+ р) =- йр, т. е. хз 2 = х '2" = й', откуда а = — 2(2. Полагая а = 1, получаем определяющий параметр $ в виде $ = хг а (Ъ"П1.8. 6) примет вид: ФР 1 дР х(Р) — + —. в — =О. дЕг 2 д1 (УП1. 8. 7) Для интегрирования (Ъ'1П. 8. 7) необходимо задать значение Р Я) в двух точках (для определения констант интегрирования). Л.
С. Лейбензон решал уравнение (Ъ'П1. 8. 2) методом последовательных приближений (Лт. 1. 6, 7), не останавливаясь на вопросах сходимости. Класс автомодельных решений был указан П. Х. Кочиной и Г. И. Баренблаттом (Лт. 11. 2; 31). Рассмотрим одномерное движение в неограниченной области, для которой нет характерных размеров и будем считать, что движение определяется параметром й = ха(~. Тогда 808 Гл. сГГГ. Нсстационарная фильтрация однородной жидкости и газа /с ду ду др — Чр= тр дт аР дс или до ту, Ч дт (УП1. 8.
8) Подберем так уравнение состояния газа у = у(р), чтобы уравнение (У1П.8.8) стало линейным [34), т. е. пусть — = р = связь. др дт Тогда по определению функции Лейбензона т 0') др ду откуда 1 ( Ро). т 1 го Таким образом, заменяя прямую линию у = — Р зкспонентой, "тат Рат получаем Р— Ро 7=уое (УШ. 8. 9) Все автомодельные задачи связаны с граничными условиями вида х = О, г =- О, э = О; г = О, $ = со и никакого решения для конечной области (контур, поверхность скважины) не получается. Но автомодельные решения служат эталоном точности приближенных методов, в том числе методов линеаризации, и в этом их большое принципиальное значение. Когда н (р) = совет (в уравнениях для капельной жидкости), возмущения распространяются по пласту мгновенно.
Это свойство линейного уравнения теплопроводности. При фильтрации газа, когда и = н (р) чь сопэ1, как показано Г. И. Баренблаттом, скорость распространения возмущения будет уже в некоторых случаях конечной. Линеаризация, таким образом, дает бесконечную скорость распространения возмущения, хотя в остальном она обычно дает хорошее приближение к точному решению. В последнее время был предпринят ряд попыток численных решений нелинейных уравнений нестационарной фильтрации газа на быстродействующих электронных вычислительных машинах 132, 331. Следует указать попутно, что отмеченный выше факт конечной скорости распространения возмущений в этих численных расчетах не был отмечен.
Это обстоятельство еще раз подтверждает, что современные мощные вычислительные средства не могут, да и не должны заменять аналитическое исследование в тех случаях, когда оно оказывается возможным. Напишем уравнение нестационарной фильтрации газа (УП1. 8. 2) в таком виде: д В. Краткие еееденин о неетационарной фильтрации галие Здд (ЧП1. 8. !0) График уравнения (Ч1П. 8. 9) показан на рнс. Ч111.19. На этом рисунке прямая — график уравнения состояния для идеального газа у = — р.
уо Ро Такнлл образом, дифференциальное уравнение фильтрации газа примет впд: ар дР ЧР= ги 1ь дг р — но Если у =уое д, то функция Лейбензона имеет вид: й — до Р = ) уг1р =- уо)) е а о" =- 1)у+ сопел. (Ч1!!. 8. 1!) Если известны пределы изменения давления рл и ро и объемного веса у, н у,, то можно оценить величину р из урав- нений рл — ро Пг — ро ул = уое Е ул = уо е у. 1н — ' уг Для идеальных гааов можно приближенно считать (34] — "= — 'р = к = сопз1, (Ч!!!.
8. 13) т1г гнр т. е, как для упругой капельной жидкости. При сопоставлении с точными решениями Г. И. Баренблатта н П. Я. 1(очнной найдено, что можно считать рор рт;о+0,7(рта*в — рт;,) — для линейной фильтрации, рт.н, ргоок — минимальное и максимальное давления в пласте; р,р = р» — для радиальной фильтрации. Уравнение (Ч1П. 8. 2) для газа во многих случаях так или иначе сводится к уравнению теплопроводности, и задача нестационарной фильтрации сводится к интегрированию уравнения теплопроводности, когда на некоторой граничной поверхности Р (х, у, з) †-- 0 известно давление р и задано начальное распределение давления р (х, у, з, 0) = / (х, у, з).
Одномерная задача часто сводится к решению одномерного уравнения теплопроводностн др дор к —— дл дог рг о ~ рн начальных и граничных ь=О; х=О, х= 1, условиях: р (х, 0) = / (х), р (о, 1) = р, (г), р(1,1) =- л(1). 310 Гл. *е111. Негтационарная фильтрация однородной жидкости и газа Общие решения указанных линеаризованных задач приведены в руководствах по теории теплопроводности (Лт. УП. 3(, 35).
Эти решения часто весьма громоздки, но принципиально вполне допускают выполнение численных расчетов. Граничные условия для давления могут заменяться условиями для производных (когда задр дан дебит), а также могут иметь вид: ар + Ь вЂ” = О. дк Как указывалось выше, в последнее время был предпринят ряд попыток численного интегрирования нелинейных уравнений кестационарной фильтрации газа при помощи быстродействующих электронных вычислительных устройств.
В основе большинства методов численного интегрирования лежит замена дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями, содержащими значения неизвестной функции или функций в заданном числе точек в заданные моменты времени. При этом дифференциалы заменяются малыми конечными приращениями (шагами) и должна быть, вообгце говоря, доказана сходимость процесса, т. е.
что при стремлении шага к нулю мы будем приближаться к точному решению. Для обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, сходимость расчетного конечно-разностного процесса удается доказать сравнительно простыми средствами (37], хотя и здесь в ряде случаев в зависимости от вида уравнений могут возникнуть осломшения.
Значительно сложнее обстоит дело с дифференциальными уравнениями в частных производных, особенно нелинейнымй, теория которых разработана пока еще далеко не достаточно, в гораздо меньшей степени, нежели классических линейных уравнений математической физики. Результаты численных расчетов некоторых задач нестационарной фильтрации газов приведены в (32, 33!. В работе В.
Ф. Баклановской (38! рассмотрены теоретические вопросы, связанные с применением метода сеток для численного решения уравнений одномерной нестационарной фильтрации газа. В ряде случаев задачи нестационарной фильтрации газов могут быть эффективно решены приближенными методами, применяемыми в теории фильтрации упругой жидкости — методом последовательной сиены стационарных состояний ($ 4, 5) и более точным методом интегральных соотношений.
Лан Чжан-син выполнил расчеты интерференции батарей газовых скважин при нестационарном режиме при помощи метода эквивалентных фильтрационных сопротивлений ($ 5, гл. !'ьг) [39, 40), причем внутреннее фильтрационное сопротивление, обусловленное конечным расстоянием между скважинами в батарее, предполагалось постоянным, а внешнее, зависящее от времени, определялось методом интегральных соотношений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
