И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 61
Текст из файла (страница 61)
3! предложил безразмерную функцию л" (н): б 0 бл 1 Рис ьХ 2 г ф н л (о) = Рк(п) соа 0 1е, (1Х ° 1. 5) ности наниллярного давления от насыщенности. где 0 — статический краевой угол между жидкостями и породои; а — коэффициент межфазяого натяжения в дин~слс; р„(о) — папиллярное давление в дня~ель'; А. — проницаемость пористой среды для однородной жидкости в см', и — пористость. Вид кривых Леверетта показан на рис. 1Х. 3 (о — водонасыщен- 80 ность).
Кривая 1 относится к впитыванию в грунт, кривая й — к йа дренажу под действием тнжести, т. е. соответственно к вытеснению грунтового воздуха жидкостью и замещению жидкости воздухом пря осушении. Различие в виде кривых ука- 10 зывает на гистерезисный характер капиллярных явлений в пористых средах, природа которого еще не 08 может считаться в полной мере исследованной. По всей вероятности, связь радиусов кривизны капиллярных менисков с насыщенностью только условно может считаться 44 однозначной из-за нооднородной геометрической структуры реаль- 02 ных пористых сред. Моокно пред- Рис. 1Х.
3. Графини функции Леверетта. 0 20 од 00 80 ЯЮ у 1, Основные уравнения фияьтрапии двуяОЬавной жидкости 31О = У (а) а 1/ — ~ соэ О. (1Х. 1. 6) 4" Более поздние исследования показали, что для различных пористых сред графики Леверетта у (и) сохраняют свой характер, по количественно колеблются в некоторых пределах. На рис. 1Х.
4 приведены кривые 1 (о), где и— водонасыщенность, заимствованные из книги (Лт. 1. 91. Взаимное торможение жидкостей, согласно которому относительные фазовые проницаемости нс равны соответствующим насыщенностям, обусловлено в первую очередь капиллярными эффектами. Для упрощения расчетов, однако, часто считают р, = рю т. е. пренебрегают капиллярным скачком р„(п). В этом случае капиллярность косвенно учитывается саиим видом опытных кривых й,(п) и /гз (и). Для вывода уравнения неразрывности в случае одномерного движении рассмотрим баланс первой фазы.
Предположим, что две жидкости являются несжимаемыми, взаимно нерастворимыми и химически друг с другом не реагирующими. В элемент объема длиной й)х за время с(! втекает объемное количество первой жидкости, равное ())(18, и вытекает !,7 !.О О,О О 7О УО ОО ОО УОО Оаданаеыгпеннасте 4, в1в Рис. (Х. 4. Кривые напиндярного давлении (по Роае и Брусу). уи ири- ной пш у (о) о Пиаст породы Хоунинс Рангеяи Эн Роад Кннаеала Кетье лндун Вудоайн вор Морено Викинг Дис Девон о,зуь о,(ь! о (зо о,'з(ь О !(6 0,((Ь 0,3)! Аауидуы (сцементированный) Леверетт (несцеыентированный) О,! ! 9 '1т)+ д ) Алундуи — иснусственный норунд.
Насыщенность рассматриваемого элемента прп этом меняется до от и до и+, (1(, и так как обьем порового пространства равен полагать, что эта связь зависит от направления вытеснения и первоначального заполнения пористой среды вытесняемой фазой. По кривой 1(п) можно легко определить рн(п) из формулы р„(п) = 1Ф) д21 У д. Теория Баяяея — Леееретта или дс чз Х ря (о) дрз Оз аа, (о) Б() )зз Откуда при р„(о) =~ О для о получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка р. (о) — = (Š— Е,) Х+ до ( ( )зз'ез еез 'е'з ) дя (.) 1);~ ) ",М1' — „— ~~. (1Х.(.11) Интегрируя зто уравнение, что легко выполняется при Х = О, найдем а = а (х), после чего можно из уравнений движения определить давления р, и р,.
Общий случай установившегося движении двух-и трехфазной смесей в пренебрежении капнллярностью рассмотрен Маскетом (Лт. УП. 6). Теория установившегося движения газированной нефти кратко изложена в $8. й 2. Теория Баклея — Леверетта Баклей и Леверетт (41 рассмотрели двухфазную фильтрацию при етсутствии капиллярного давления без учета массовых сил для случая Я (х) = Я = сопл(. В атом случае согласно (1Х. 1. 1О) имеем следующие уравнения: "+, (Я) др йз =— р, дя )еаз (о) дР й )зз дх (1Х. 2. 1) (1Х. 2. 2) дтз дс — = бая†да де дт, да — — = яз— дя де = О, й, + йз = й(1), (1Х. 2. 3) йз + йз = й = сопаз. Из уравнений (1Х. 2.
1) и (1Х. 2. 3) получим др т .~'*"+" ')~ Подставляя значение — — из уравнений (1Х.2.4) в первое др дя уравнение (1Х. 2. 1), получаем йз = и4(а), (1Х. 2. 5) (1Х. 2. 4) где й, и й,— скорости фильтрации соответственно первой и второй фаз. Положим, что суммарная скорость фильтрации является постоянной, т. е. Гл. 7Х. Фильтрация смесей кесколокик жидкостей где 7(п) — так называемая функция Баклея — Леверетта: ро с()+ Из формулы (1Х. 2. 5) определим -- — ' и подставим в первое уравнение неразрывности (1Х. 2. 2).
Получим )' (и) — + ио —, = О. до до (1Х. 2. 7) Уравнение (1Х. 2. 7) есть квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которое обычно интегрируется методом характеристик [Лт. Ч11. 1]. Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению в частных производных (1Х. 2. 7): дк дС дс шр (а) т О Независимая система ее первых интегралов есть шр (о) о=С„х — - е =Со т (т принято постоянным). Решение уравнения (1Х.
2. 7) имеет вид: х =х(о, 0) + — )'(и), (1Х. 2. 8) = О. =- 0 в ре- где х (и, 0) — начальное распределение насыщенности при Зная положение точки с насыщенностью и в момент можно из (!Х. 2. 8) определить ее положение в любой момент мени д)0. Из формулы (1Х.2.8) ~, = — „)'(о). (1Х. 2. 9) Таким образом, — )" (а) есть скорость распространения насыщенности заданной величины о. Вид кривых ) (а) и )' (а) представлен на рис. 1Х.
5. Из этого графика видно, что )' (а) не является монотонной. Иначе говоря, существуют две насыщенности о и ог (рис. 1Х. 5), из которых одна может быть произвольной, раслростракяющиеся с одной ш, ш и той же скоростью — /' (о) =- — 1' (о,). Отсюда следует согласно т (1Х. 2. 9) и рис.
1Х. 5, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности может оказаться многозначным 3 3. Теория Бакяея — Лооеретта 333 Рис. 1Х. 6. Устранение многозначности распределения насыщенности введеннем скачка. Рнс. 1Х. 5. На рис. 1Х. 6 для иллюстрации показано физически возможное, т. е. однозначное, распределение насыщенности а (х, О) или, что то же, х (а, О) в момент 1 = О. Пусть для простоты нт =- сопз1.
Тогда согласно формуле (1Х. 2. 8) и рис. ?Х. 6 дальнейшее распределение насыщенности а (х, 1) можно получить, сместив ординаты а точек итт начальной кривой вправо на величины — Т' (а). В зависимости от величин а сечения с большей начальной насыщенностью согласно графику 1' (а) рис. 1Х. 5 могут обогнать сечения с меныпнми начальными насыщенностями и графин а (х, 1), полученный в результате указанного выше перемещения ординат а вправо, может оказаться в некоторой своей части неоднозначным, что изображено участком 1 — 2 — 3 — 4 — б кривой а (х, 1).
В зоне этого участка одному и тому же значению х соответствуют три значения а: а„аз и ае, что физически абсурдно — в каждом сечении, естественно, в каждый момент времени должна существовать только одна вполне определенная насыщенность.
Можно показать, о чем будет сказано ниже, что положение скачка (прямая (рис. 1Х. 6) аналогично, например, волнам Римана конечной амплитуды, которые изучагется в теории ударных волн [Лт. 1?. 13; 10). Очевидно, многозначность а физически невозможна. Это говорит. о том, что в зоне движения двухфазной жидкости образуются скачки. Многозначность в волновых задачах механики сплошных сред обычно означает возможность существования разрывов или скачков искомых функций. В данном случае многозначность также устраняетси введением скачка насыщенности. Гл, ГХ. Фильт7екцик смесей кескольких жидкостей хэ Ут = т ] а о1х, о (]Х. 2. 1О) где хэ — координата фронта или скачка.
Начальный объем первой фазы в этой зоне хз )гг (О) = ] т а (х, 0)ь]х. о 1 — 3 — 3) должно определяться по аналогии с соответствующей задачей газовой динамики ]11] из условия равенства площадей сегментов 1 — 2 — 3 и 3 — 4 5 по обе стороны скачка, т. е. прямой 1 — 3 — 5 (Лт. У1П. 29; 12]. В действительности, коиечно, математический скачок насыщенности ие имеет места — существует некоторая конечная длина 6 (рис. 1Х. 7), на которой насыщенность падает от значения пе до нуля перед фронтом. Однако эта иногда называемая стабилизированной зоной длина 6, размеры которой зависят от не рассматриваемых здесь капиллярных эффектов, обычно мала о по сравнению с возрастающей со вре/ менем зоной смеси 1 + 2 (рис.
1Х. 7) и в ряде случаев остается постоянной. Излагаемая ниже теория дает вполне удовлетворительные результаты длв зоны смеси 1+ 2. Рассмотрение же насыщенности на участке 6 требует учета напиллярной разности давлений, о чем будет сказано в $ б. Переходная зона 6 аналогична тола шине скачка уплотнения в газе. Как известно ]Лт. П. 13; 11], в газе толщина ударной волны равна обычно нескольким длинам свободного пробега к молекул и практически может рассмаРвс. 1Х. 7.
Распределение на- триваться, как равная нулю, сьпцеввоств прп вытеснеавя В нашем случае двухфазной филь- в пористой среде. трации мы принимаем 6 = 0 для упро- щения последующего анализа. Баклей и Леверетт не указали аналогию этой задачи с задачей Римана, но они правильно дали метод определения координаты скачка из условий материального баланса. Пусть жидкость 1 начинает вытеснять жидкость 2 (рпс. 1Х. 7). Объем первой фазы в переходной зоне ОА определяется следующей формулой: Г 2. Теория Баяяея — Леееретта В момент времени Г объем первой фазы в этой зоне будет Хф г'д(1) = ) та(х, д)е)х. е Далее, в течение времени 1 через начальную границу х = 0 втекает первая жидкость, объемное количество которой будет равно идд1= иМ. При этом предполагается Я(х) = Я = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
