И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1Х. 24, а. Кая дое поперечное сечение трубы одновременно занято двумя жидкостями, причем часть площади, занятая вытесняющей жидкостью, с течением времени постепенно увеличивается (рис. 1Х. 24, б). Поскольку эту часть площади можно трактовать как «насыщенность» при вытеснении из трубы, ясно, что «фазовая проницаемость», определяющая в данном случае соотношение между расходом и градиентом давления, будет зависеть от «насыщенности». В пористой среде на этот эффект непоршневого вытеснения накладывается новый аффект — обусловленное капиллярностью неодновременное начало вытеснения во всех поро- Гл. 1Х. Фильтрации смесей нескольких жидкостей йй, (с) др, (',) = — ' — '~(х).
)ьд дх (!Х. 6. 1) (1Х. 6. 2) И (и) др, — — 'Я(х). )ь дх Уравнения неразрывности — '=- — я>Ю(х) —, — '=я>Я(х) †. (1Х.6.3) дЯ, до д9с до дх д> ' дх оч Уравнение Лапласа для расчета папиллярного давления (1 1 , — р.= 1 — + — )=~ (~), > Лд В~ ! (1Х.
6. 4) где е>„>>(е — главные радиусы кривизны капиллярных менисков; а — коэффициент менсфазного натяжения; р„(п) — известная экспериментальная функция насыщенности. Суммарный расход вследствие пес>кимаемости не зависит от х: (1Х. 6. 5) С(1)=Е,+Е. вых каналах и несинхронный процесс развития дальнейшего вытеснения, когда оно захватило уже все поровые каналы.
Таким образом, в реальной пористой среде процесс вытеснения является крайне сложным и в должной степени еще далеко не исследованным. В первом приближении можно построить теорию, в основе которой лежит условие об однозначной экспериментальной зависимости фазовых проницаемостей от насыщенности и пренебре>кение капиллярным скачком давлений. Зта теория для одномерного движения была изложена выше. Заметим попутно, что исследование даже при этих условиях неодномервых случаев вытеснения в точной постановке с учетом преломления линий тока на подвижной границе наталкивается на непреодолимые пока математические трудности и здесь, по-виднмому, остается в качестве эффективного метода только метод жестких трубок тока.
Теорией следующего приближения является такхсе предположение об однозначной зависимости фазовых проницаемостей от насыщенностей, но уже наряду с учетом капнллярного скачка рю который задается так же, как и фазовые проницаемости, в виде известной эмпирической функции насыщенностей. Зта теория для одномерного движения кратко излагается ниже. Рассмотрим двухфазную фильтрацию с учетом капиллярного давления, причем массовыми силами будем для простоты пренебрегать. Напомним систему исходных уравнений. Уравнения движения двухфазной жидкости имеют вид: у 6.
Фильтрация двухфавной жидкости с учетом каииллярного давления 347 Таким образом, имеем пять неизвестных ~',)и ()„рм ра, и и пять уравнений. Из уравнений (1Х.6. 1), (1Х.6. 2) и (1Х.6. 5) получим О(() = й8(х) [ — (с, +с,) ' + сарк(а) д 1, ((Х.6.6) где йс, (а) й, (о) ся = — '-, са= )гг )гг Найдем из уравнения (1Х.
6. 6)— дх др, Яг) ся да дх кБ(х)(с,-~;сг) с +с, '«( ) дх (1Х. 6. 7) Подставляя — — из (1Х. 6. 7) в уравнение (1Х. 6. 1), получаем дрг Из (1Х. 6. 8) определим д(),/дх и подставим его в уравнение неразрывности (1Х. 6. 3). Получаем — — ) — г,) (() + — [ — )сЯ (х) р„(п) — ~ = д / с, ) да д ! с,сг да 7 да ( сг+сг ) дх дх ~ се+се и иго(х) дг (1Х. 6. 9) Уравнение (1Х.
6. 9) представляет собой сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными. Точные решения этого уравнения были получены для некоторых сравнительно простых случаев. В качестве примера укажем на задачу о так называемой стабилизированной зоне вблизи фронта вытеснения 118). При вытеснении одной жидкости другой, как указывалось выше, скачок насыщенности локализован на некоторой длине б, которая иногда остается неизменной. В работе И8) показано, что размер б теоретически равен бесконечности, однако практически длина б весьма мала и внутри зоны смеси распределение насыщенности хорошо описывается теорией Баклея — Леверетта.
Некоторые точные автомодельные решения уравнения (1Х. 6. 9) найдены для капиллярной пропиткн В. М. Рыжином (Лт. У111. 29) и радиального вытеснения Чэнь Чжун-саном (9). Имеются такмсе попытки численного решения уравнения (1Х. 6. 9) для некоторых частных случаев при помощи быстродействующих электронных вычислительных машин (451, однако в должной степени эта задача еще ие может считаться исследованной и здесь предстоит большая работа. Гл.
1Х. Фильтразил смесей нескольких жидкостей й„(о) —",* = О. Здесь могут быть два случая: й, (о) = 0 или — = О. дре дх Рассмотрим случай, когда — = 0 или согласно (1Х. 6. 4) дре дх др др — = — — р„(о) — = О, дх дх йх откуда дрг, да = Рк (о) йх дх Подставим — „' ' из (1Х. 6. 10) в (1Х. 6. 1).
Получим (1Х.6. 10) "Ь, (о) до (ег = (г = — ' р„(сг) — Я(х). рг ох (1Х.6.1Ц Разделяя переменные и интегрируя (1Х. 6,11), будем иметь х ео е',1 ~ =- — ~ й,"(и) р„(а) с(о, (1Х.6. 12) где пе — насыщенность в сечении ха. Эту константу ае нужно найти как-то из других соображений, например из условия минимума поверхностной энергии, учитывая распределение размеров пор по радиусам. С.
Н. Бузинов показал, что при широких пределах изменения оо полученное распределение остаточной насыщенности изменяется незначительно (12). й 7. Фильтрация трехфазной смеси Фильтрапыл смеси трех жидкостей исследована экспериментально и теоретически в гораздо мсныпей степени, нежели предыдуьцне задачи движении двухфазной жидкости. Фильтрация трехфазкай смеси имеет болыпсе практическое значение, так как в нефтивых пластах в риде случаев имеетси совместное дви- С. Н. Бузинов Н9) рассмотрел частный случай, когда вторая жидкость уясе не двигается (остаточная насыщенность), а двигается только первая вытесняющая жидкость.
По условию еез = О, и тогда е',е = ~',)„причем движение предполагается установившимся. Из уравнения (1Х.6. 2) Ф 7. Филыпрацш» трез[беглой смеси 7»)»1 (а,. а,, а ) »'[» |' з' з 9 (г) ; 1 2 3 (1 Х 7 1) лз где й; = й; (о|, и, аз) — относительные фазовые проницаемости, которые предполагаются известными функциями, обычно зкснериментальвыми, насыщенностей и|, о„аз порового пространства каждой фазой; ໠— абсолютные вязкости жидкостей, причем 1»тр и »г»з о,+па+о» вЂ” — 1- (1Х. 7. 2) Проницаемости й; (о|, о|, аз) обычно изображаются графически на треугольных диаграммах, аналогичных применяемым з металловедении для характеристики спчавов.
»00 л»»г»7» Принцип построения этих диаграмм следующий (рис. 1Х. 25). Параллельно Рис, [Х. 25. Треугольная диаграмкаждой стороне равностороннего тре- ма распределения насыщенности для угольника проводятся равноотстоящие трехкомпонеитной смеси. прямые, которые отвечают заданному процентному содержанию соответствующей фазы, возрастающей от нуля на сторонах треугольника до 100% на противолежащих верюинах.
Таким обрааом, каждая точка внутри треугольника, определяемая по пересечению двух прямых, параллельных каким-либо двум сторонам, отвечает вполне овределенным насыщенностям о|, пз и, следовательно, аз .— — 1 — (а»+ а,). На треугольниках наносятся линии одинаковых относительных проницаемостей для каждой из фаз. На рис. 1Х, 26 показаны тюювые диаграммы относительных фазовых пропицаемостей для нефти 1»„(рис.
1Х. 26, а) к газа йг (рис. 1Х. 26, б) прн движении смеси вода — нефть — газ, заимствованные вз книги Маскета [Лт. Ч[П. 6), в которой содержится подробное обсуждение причин, определяющих харак| ер и вид зависимостей й„(оз, аз ог) и 7», (аз, аз аг), где пк аз* пг — насыщенности нефтью, водой н газом соответственно. Основной причиной является различная степень смачивавия твердых зерен породы, причем оказывается, что пронвпаемость наиболее смачввающей фазы — воды — определяется практически только водонасыщенностью о, и почти не зависит от нефте- в газонасыщенвостн пз и пг. Относительные фазовые проницаемости йз, )» и й„приближенно могут оыть выражены формулами /Од" »»»з»»а [1 -'.
(2,4+16 5 пг) оз), 0~(п„+оз) ц: 0 85, * Г 0,85 — (от+па] )'"'З 7»,*,=.0, 0,85<(ог+оз) -.. 1, женве нефти, свободного газа н воды. Теория движения трехфазной смеси может быть построена как естественное обобщение теории Баклея — Леверетта. Для простоты ограничимся случаем одномерного движения смеси взаимно нерастворимых и химически не реагирующих несжимаемых жидкостей в трубке тока переменного сечения Я(т), причем капиллярностью и массовыми силами будем пренебрегать.
Расходы каждой фааы могут быть записаны, как и для двухфазной жидкости, в виде Гл. 1Х. Фильтрация смесей несколькие жидкостей 350 )св=( 6 ) 1~из~0.2, аз=О, 0,2~из~О, ог — 0 1 кг=( ' ' ) [1+3(1 — ог)[ ОЛ ~ ог ~, 1, 0,9 (1Х. 7. 3) Ус"„=-О, 0 ( о, ~ 0,1 Гддеегода ГОО'бгага гдд ' Олдос сддж неоипи гддгл деды гдова недлпи а Е Рис. 1Х. 26, Фазовые проницаемости дли смеси вода — нефть — газ.
К ураввевиим движения добавляются уравнения веразрыввости для каждой фазы, получаемые обычным путем из рассмотрения баланса объемных расходов: — — =то (з) —, 1=1. 2, 3, дсЕс дог дк дс (1Х. 7. 4) где т — пористостьб Ге!=с',!е (ои ое, о,). В системе (1Х.7. 4) независимых уравнений только дза, так как о,+о, + + не=1. Из ивх следует также, что суммарный объемвый расход чазисит только от времени: Е=Е.+Е,+Е.= )(1). (1Х. 7.
5) Система уравнений для трехфаавой жидкости строится так же, как и длз двухфазвой. Складывая расходы в уразвевилх движения (1Х.7.1), получаем др )с! (ОГ Ое' Оз) с'С= — lсд(к)(се+се+се) —, се= ' г е з, (!Х.7, 6) дк ' рг откуда — сед (к) — = др (7 дк с,+се+се волучеввыми Чзвь Чжуи-сивом в реаультате обработки опытных даввых, при- веденных в статье [20[. д 7. Фильтрицил трехФееной смеси Подставляя в (1Х. 7. 1), будем иметь ,е сд = 9Ь» (а», о,), 7» (о„оз) = с»+се+се с»+се+се (1Х. 7. 7) »)ь=- + + =»;»цз(а», а,), Ць(ам аь)= с»-(-сь-(-сэ с»+се+се Подставляя эти значения расходов в первые два уравнения иеразрывности (1Х.
7. 4), получаем для искомых насыщенностей, за которые выбираем о, (х, »), ое (х, »), систему уравнений — = тд (х) —, ь = 1, 2 дд» (о„о,) до» дх д» (1Х. 7. 8) пли, раскрывая левые части, оковчательвую освоввую систему ураввевий — О[ "(ов'" — "-( '»(" а') а'1= 8() —" =1 2. ((Х.7.9) до» дх доь дх 1 д» Но»= — ах+ — д», »=1, 2. до» до» дх д» (1Х. 7. 10) Уравнения (1Х. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
