И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2. 5) дх йй дс = ач ()я — — Я(а). Уравнение (1Х.4.10) может быть представлено в виде Ж2 1 (ся) — 1 (с,) (1Х. 4. 11) Л' оя — а, При о, -о оя равенство (1Х. 4. 11) переходит, как и должно быть, в (1Х.4. 9). Определим среднюю насыщенность в переходной зоне. В каждый момент времени объем первой фазы У, равен хф оф аф ~;= )" ольу(х)с(х = )' ос(ь1= оф()ф — )" ь)с(о = о е 1 аф = пфафф — )' )г1' (и) сЬ = оф(сф — йф [~ (оф) — ЦЦ~' (оф). (1Х. 4.
12) 1 Средняя насыщенность оор будет равна ос = — ' = оф+11 — ~(оф)! ~~сне =, . (1Х.4.13) йф р (оф) )с)с, (с) др е',), = — ' — Я(Х), )ьь дх ккя (О) дР— — Ю (х). )ья дх (1Х. 4. 14) Суммарный расход О (е) = .О, + О = — ЙЯ (т) (с, + со) (1Х. 4. 15) Формула (1Х. 4. 13) вполне совпадает с формулой (1Х. 2. 16). Рассмотрим фильтрацию двухфазной я<идкости в пласте с заданным давлением на концах. Пусть пласт вначале в левой части был полностью заполнен первой фазой, а в правой части — второй фазой. В сечении раздела х = 0 и на конце пласта х = р П Рф ("е заданы давления ро (г) и рс (Г). о=О Под действием перепада давле- 1 !+2 2 г(л) ний Лрс, — — ро (с) — рс (с) первая жидкость вытесняет вторую жидкость и в пласте обраряс ))( 44 зУетсЯ пеРехоДнаЯ зона. ФРонт движения первой фазы хф продвигается с течением времени (рис.
1Х. 14). Движение жидкостей в пласте описывается уравнением типа Дарси у д. Фильтрация деухраояой яеидхости бее учета массоеих си.е ЗЗЗ где й, (о) дд, (о) с,= — ', с,= — ' Ре ' Ра Из (1Х. 4. 15) получим ду О (с) дх дд (х) (сч+со) (1Х. 4. 16) Интегрируя уравнение (1Х. 4. 16) по области, занятой смесью, получаем перепад между начальной границей х = 0 и фронтом ху.
ха Ро(1) — Ре(1) = д ~ ~(х)(с с) ' (1Х 4 17) о (1Х. 4. 18) Складывая (1Х. 4. 17) и (1Х. 4. 18), получаем хф ро(ю) — р,(д)= (1 Ц ( )+р, ~ ( 1, (1Х.4.19) причем ро(с) — рс(1) — известная функция времени д Для двухфазной фильтрации имеется соотношение — = 1'(и), (1Х. 4. 20) где 17 = 1 юЯ (х) с1х, о 1 =~Е(си о (1Х. 4. 21) (1Х. 4. 22) Из (1Х..4. 20) и (1Х.
4. 21) имеем обратную функцию х = х (Я) = х (УУ'(о)). Их = х'1уу'!о) ууа(о) до, (1Х. 4. 23) (1Х. 4. 24) Тогда Интегрируя (1Х. 4. 16) по области, занятой чистой второй фазой, получаем перепад между фронтом и концом пласта: Гл. ГХ. Фиеътриоии смесей несколькии жидкостей Зде так как в последнем соотношении 1 — фиксированный параметр, Я(х) = Я(х([1)) = Я [х()еУ'(и))). (1Х.4. 25) Подставим все зто в уравнение (1Х.4. 19). Учитывая, что = 0(1) Ро(1) Ро(г) = йРю — ь получаем аф 1 <л' [ [г [ к' [РР [а)[уи[а)да )с дс ~ ~ Я [к [КР [а)[) [с,+с,) +"'1 л[.) 1 кф (1Х.
4. 26) Итак„мы получим дифференциальное уравнение первого порядка ЛРю — е = ЬРю — ь (1) = Ф (У, — ) = — „, Че(У), (1Х. 4. 27) Л' 1 де' где аф 1 [ И [' к[ГР [а)[1е [а) да lс [ 3 Я[к[РР(а)))[се+се) +"о,/ Б(х)[ 1 кф 9[1) 1 Ьк ГьРю-~ = Ро (1) — Р< (1) = й ~ д [к) [,, + ск) ' ю (1Х. 4.
28) Из формулы (1Х. 4. 23) получим 1 = х [)е1' (о~)), (1Х. 4. 29) где ас — насыщенность в конце пласта, являющаяся фуикцчей ['. РгИ) При этом начальное усло- ~г[1) вне имеет вид )' = О при Рю [1) г = О, а аф остается посто— l 2 2" янной. Формулой (1Х. 4. 26) мож- О но пользоваться до момента прихода фронта к концу Рис. 1Х. 15. пласта, т. е. когда хф ~ й Рассмотрим вторую фазу двухфазной фильтрации после достижения фронтом конца пласта (ряс.
1Х. 15): У д. Фильтрация двухЯааиой жидкости с учетом массовых сил ддд Подставляя (1Х. 4. 24), (1Х. 4. 25), (1Х. 4. 29) в уравнение (1Х. 4. 28), получаем а1 <й" Г х' [ УР (а)1 1" (а) д а йре1(1)= — „— „1 ", „..., . ([Х.4.30) 1 Интегрирование уравнений (1Х. 4. 27) и (1Х. 4. 30) не вызывает никаких принципиальных затруднений и сопряжено только с численным или графическим выполнением квадратур. Некоторые задачи рассмотрены в работах (9, 15, 16]. й 5.
Одномерная фильтрация двухфазной жидкости с произвольными массовыми силами Ис (о) ( др 1 дх (1Х. 5. 1) где Х вЂ” проекция ускорения массовых сил на направление течения х. Считая жидкости несжимаемыми, уравнения неразрывности можно представить в виде — — — ~() д дОь, до дх де — — = льЯ (х) д()а д (1 — о) д.к дс (1Х. 5. 2) Из (1Х. 5.2), как мы уже имели раньше, '(О;+Ы =0,(7, +(),=Р().
(1Х. 5. 3) Выразим расход ()д через ()(1): (7 (() = — й (с, + со) — д 8 (х) + Ы (х)Х (9ьс1 -[- окса)в (1Х. 5. 4) др где й (а) й (а) С1 — 1, ся — 3 Рь Иь Отсюда др — 1',1 (1) + йл (х) Х (О,с, + Овса) д ЙЮ (х) (с, + ей (1Х. 5. 5) Одномерное движение двухфазной жидкости с произвольными массовыми силами без учета капиллярного давления описывается следующими формулами Из (1Х 5. 5) и (1Х.5. 1) получим 1 — ОЯ+дд(*)х(е с +ос ) Х18 ) кЯ (х)(сд +сь) 9, (х = — УсЬ9 ХЯ (х) = 1 (а) (е (С) + 1е (а) в (х) о (х) = = Дд(х, г, а), (1Х. 5.
6) где ь 1(а) = ' = ° с (ьсд1(о) се+се р у;(о) ( ь"(о) (ььсьсе й~ (о) ~2 (о) с,+с, ~,,у,ь(с) ( й'(о) в(х) =; АЕ=91 — 9к; йлох (ьь Х = — я еш а (я = 9,81 хь/секс), (1Х. 5. 10) ре Нь где а — угол наклона оси х к горизонту; с = з!и а. В поле центробежных сил (рис. 1Х.16, б) Х = оьхх, где оь — угловая скорость вращения относительно начала координат; х = г — рак диус вращения; р . 1х.
1е. й Ьееье в(х) = Рь Подставляя значения е,е из уравнения (1Х.5.6) в первое уравиевие неразрывности (1Х. 5. 2), получаем тЮ(х) — + — — + — = 0 до дО до дДь д8 до дх дх или ел8(х) —,' + [ее (() у'(а) + в(х) я (х) У', (а)) д + + (о' (х) 8 (х) + Я' (х) в (х)) Уь (а) = О. (1Х. 5. 11) ддд Гл. 1Х. Фильтрация смесей кескольких хсидкостей о (х) — величина, имеющая размерность скорости. В поле сил тяжести (рис. 1Х.
16, а) (1Х. 5. 7) (1Х. 5. 8) (1Х. 5. 9) у д. Сзив»травин двухфазной жидкости с учетом массовых сих Зду Напишем систему дифференциальных уравнений характеристик для уравнения ([Х. 5. 11): дс дх то (х) д (с) р (о) + о (х) Ю (х) С„(о) [ о' (х) 8 (х) + 8' (х) и (х) ] Сс (о) ([Х. 5. 12) Если решение уравнений ([Х. 5. 12) однозначно, то имеет место непрерывность в зоне смеси, если же решение многозначно, то существуют скачки.
Для скачков должно соблюдаться следующее условие. Пусть о ч осс( о(с в течение времени ЛС фронт продвигается осхсс на ссх (рис. 1Х. 17). В участке с[х на- ое — --- [ чальное содержание первой фазы равно тя (х) ссх а». За время ссс приток через ис левое сечение равен с«с (х, с, аф) сс с. 1[ Через то же время конечное содержание д ссх первого компонента равно тЯ (х) с[х аф, -Г[ а отток через правое сечение С)с (х + о(хс + с[х, с, а») с[С. Очевидно, с[х = ис[с, где и — скорость фронта. Напишем уравнение сохранения массы в виде формулы, выражающей поло»с<ение: начальное содержание фазы плюс ее приток равно конечному содержанию фазы плюс ее отток: Рис. 1Х.
(7. в»Я (х) с[х а, + с',)с (х, с, ссф ) сй = тЯ (х) с(х аф + ()с (х + + с[х, с, а») Ж. ([Х. 5. 13) После преобразования уравнения ([Х.5.13) получим Я( ) — ' ф ' з, ([Х5 14) сс оф — оз а(х+(х,с,а») =ос(х,с,а»)+ ~~ (х' ~ [х. ([Х.5.15) д~7« (х, с, оз) Член ' ' ' ') с[х — бесконечно малая первого порядка и ею дх можно пренебречь. Тогда получим условие на фронте в виде вьем (х) — с ф с з . ([Х.
5. 16) дс оф — оз Рассмотрим закон двиясения некоторой геометрической точки («наблюдателя») ([Х. 5. 17) х = х(с) Гх. е'Х. етсилътрацих смесей кескоеьких жидкостей и определим по формуле полного дифференциала те изменения нада сыщенности На и — „, которые регистрирует этот наблюдатель: до да с[а= д, ссх+ д, ссс (1Х. 5. 18) от дх дс де Исключая —, иа (1Х.
5. 18) и (1Х. 5. 11), получаем да тЮ (х) — + [о' (х) Я (х) + Я' (х) о (х)1 (с (о) да . (1Х. 5.19) тд (х) — — [ (2 69 1' (а) + о (х) д (х) 1 (а)1 да Будем искать сильный разрыв, т. е. потребуем, чтобы — =со, что оаначает требование обращения в нуль анаменателя в (1Х. 5. 19). Следовательно, на фронте должно выполняться условие тБ(х) —,11 =( — ) = с,)(2)с'(аф) +о(х)Я(х)с, (стф). (1Х.5. 20) Одновременно с этим, как это следует из (1Х.5.16), на фронте должно выполняться соотношение ссай(~) 1 =( — 1 = ' ф ' 2 . (1Х.5.21) 1 1 ис [ф ~ос )ф аф — а Из (1Х.
5. 20) и (1Х. 5. 21) следует, что необходимым условием существования фронта будет равенство О, (х, с, аф ) — Яс (х, с, а2) с,)(г)У'(аф)+а(х)Я(х)у (оф) ' ' ' ' (1Х 5 22) или, учитывая, что иа (1Х.5. 6) = ()(2)/'(о)+о(х)о (х)~, (а), получаем до,(,с,, ) ([,(.,с, )-Е,(*,ь 2) (1Х. 5. 23) да аф — о2 а ( х ) я ( х ) ~ с ( и ) с 1 + 1, (аф) — 1с (а2) 1 аф — а +0(с) ~1'(аф) —, 1= О. 1(аф) — 1(а2) 1 аф а2 (1Х. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
