И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 64
Текст из файла (страница 64)
24) Подставляя в (1Х.5. 23) вместо с)с(х, 2, а) его значение по формуле (1Х.5. 6), получаем условие существования фронта в виде у 5. Фильтрация двухфазной жидкости с учетом массовых сил 888 т. е. в общем случае фронтовая насыщенность зависит от о(х), Я(х), а„(г (с). Коли о(х) = 0 или з,з (с) = О, то для существования фронта будем иметь соответственно условия 1(.,) — 1(оа) 1'(аф) = или й (аф) — 1,(..) аф — а, ,(пф (1Х.
5. 25) т. е. в любом из этих двух случаев фронтовая насыщенность будет зависеть только от оа, и если оз = сопз1, то фронтовая насыщенность пф является постоянной. Рассмотрим следующую задачу. Дана вертикальная трубка Я = сове~ (рис. 1Х. 18), заполненная пористой средой, с перегородкой в сечении Π— О. Выше сечения Π— О находится тяжелая жидкость, например вода, ниясе более легкая, например нефть Вода или газ, который в первом приближении считается несжимаемым. В какой-то момент перегородка Π— О убирается.
Требуется рассмотреть, как будет всплы- о о вать нефть и опускаться вода. Очевидно, что суммарный расход воды и нефти через любое сечение нохть равен нулю: (з (1) =- О. Тогда из (1Х. 5. 6) ззь = = о8/з (а), причем под а будем понимать водонасыщенность. График распределения водонасыщенности в начальный момент времени представлен на Рис.
1Х. 18. рис. 1Х. 19 — в сечении г = 0 имеется начальныи скачок насыщенности от 0 до 1. Для решения задачи строим график 1з (а) и ее производной (рис. 1Х. 20). Так как а = 0 для з(0 и а = 1 для г) О, то для определения фронтовых насыщенностей из точен оси абсцисс а рис. 1Х. 20 О и 1 строим касательные к кривой 1з (о), причем афз— водонасыщенность на фронте всплывающей нефти, а аф, — водонасыщенность на фронте опускающейся воды. Из (1Х.
5. 12), в котором х заменяется через х, следует, что з =- .=- г/т11 (а) с. Следовательно, зная оф, и офз, и определяя по рис. 1Х. 20 значения /', (оф1) и 11 (офз), можно найти положение фронтов в любой момент времени. На рис. 1Х. 21 показано примерное распределение водонасыщенности в последующие моменты времени. Рассмотренная выше задача может быть использована для оценки скоростей миграции нефти и газа в наклонных водонасыщенкых пластах под действием сил Архимеда. Некоторые такие оценочные расчеты приведены в работе Чэнь Чжун-сяна (9). Гл. 1Х.
Фильтрация смесей кескоеьках жидкостей дйд Перейдем к интегрированию системы (1Х. 5. 12). Систему уравнений (1Х. 5. 12) перепишем в виде двух соотношений: ат Ыа тд (х) [и' (х) Ю (х) + Я'(х) и (х)] У, (и) (1Х. 5. 26) др) е (о) ] и(х) и ( ) е (о) [и (х) Ю(х)+Я (х) и(х)]1,(о) о оя ойе (с (е) Рис. 1Х. 21. Рве. 1Х. 19. Рве. 1Х. 20. Первое уравнение системы (1Х.5. 26) можно записать так: — ~ь(о) = —,(х +, „( „. ( Х.5.27) Введем функцию (1Х. 5. 28) ао Таким образом, уравнение (1Х. 5.
27) имеет вид: — = р'(х), ат е(т (!Х. 5. 29) где тЯ (х) и' (х) Я(х)+Я'(х) и(х) у д. Филчтуаииа двукфавкой жидкости с учетом массовик сил две Второе уравнение системы (1Х.5. 26) можно записать так: д ч(е)1'(о)+о(к) д( ) 1,'(с) — (0) — — о' (х) о (к)+ о' (х) о(к) Ф (а, х, 1) (1Х. 5. 30) или, так как согласно (1Х.5. 28) о — функция переменной со, — = Ф(х, 1, и) = Ф [х, 1, п(со)) = Че(со, х, 1).
(1Х.5. 31) Теперь имеем систему уравнений — = Ч'(вз, х, 1), — =- Р (х), Ж аео (1Х. 5. 32) х=х~ — ). (1Х. 5. 33) Подставляя (1Х.5.33) в первое уравнение системы (1Х.5.32), получаем —" = х' ~ — ~о ) — ', = 'Р ~во, х ( — ), 1~ . (1Х. 5. 34) Окончательно получим уравнение — = Ч" [со, х ~ — ), с~ ~х' ( „) = ). (со, 1, — ') . (1Х. 5.
35) Интегрируя уравнение (1Х. 5. 35), найдем частный интеграл (1Х. 5. 36) ечв(с, со) = С,. Из этого решения согласно (1Х.5.33) найдем второе частное решение: х=х~ — ). (1Х. 5. 37) Тогда общее решение уравнения (1Х.5.12) имеет вид: Л ~С„х( — )~ = О, (1Х. 5. 38) где Л вЂ” произвольная функция. В общем случае систему (1Х.5.32) приходится решать численными методами. Иногда возможно и аналитическое решение. Пусть второе уравнение системы (1Х.
5, 32) решено относительно х: е т ЕХ. Фиюьтроцкк смесей кеско*ьккх жидкостей йс т8 (х) да и8'(х)(е(а) ' Е(с) 1'(а)+.й(.) 1,'(а) да и8' (х) )ь (а) В атом случае можно решить систему уравнений (!Х. 5. 12) иным способом. Перепишем (1Х.5.39) в виде у ( )йх О(с)1 (а)+ид(х)1,(а) да и1ь (а) Из первого уравнения системы (1Х.5.40) имеем та (х) да и8' (х) 1, (а) (1Х. 5. 41) Уравнение (1Х.
5. 41) есть обыкновенное линейное уравнение первого порядка. Его решение имеет вид я(~) 1 ч) (а) — 0. (1Х. 5. 42) !,(а) иЯ, (а) 5(х) = — С1 — — У(а)~ е )(а)( ь и (1Х. 5. 43) Уравнение (1Х. 5. 43) есть первый частный интеграл системы уравнений (1Х. 5. 40). Ояо дает зависимость х = х(п, С,). Из второго уравнения системы (1Х. 5.
40) получим оч тя (х) Ы и.с („)й( ) 'рь( (1Х. 5. 44) (1Х. 5. 45) откуда с = ( р,(а)е(а+С,. Исходя из начального распределения насыщенности, можно найти решение для дальнейшего распределения. Этот метод принципиально позволяет найти решение во всех случаях. Некоторые численные примеры приведены в работе Чань Чжун-сяна [9], который рассмотрел также случаи переменной проницаемости ес = )с (х) в этих задачах. Рассмотрим частные случаи. 1 ° п(х) = и.= сопзь, е,е (с) = 1 е = сопзь. Очевидно, что в этом случае уже не нужно вводить функцию еь.
Из (1Х.5.12) получается система уравнений у а. Фильтрация двухфавной хсидкости с учетом массових сия дад Общее решение системы уравнений (1Х. 5,40) будет Ч" ~)~~)Я(х) + ~ )(а), в — ) (р,(а)йа) = О, где Ч' — произвольная функция. (1Х. 5. 46) Рис. 1Х. 22. 2. г (х) = и = сопз(, Я (х) == Ю = сопз(. При движении в трубке тока постоянного сечения Я(х) = Я = = сове( система уравнений (1Х. 5. 12) примет вид: сл дх да Я(О/ (о)+оЯ,(а) О Ее общее решение (1Х. 5.
47) Че ~а, х — — [У' (а) )' в) (Г) е)1 + вЯ, (а) СД = О. (1Х. 5. 48) Рассмотрим практический пример. Пусть пласт имеет наклон а к горизонту (рис. 1Х. 22). Вдоль горизонтальных линий тока в =- 0; вдоль наклонных линий тока в направлении а согласно (1Х.5. 10) У=+ — 1 ° )с Ат (еч где 1= з1п а. лвЮ(х)," = Я (а)+вЯ(х)),(о). (1Х.5.49) Через скважину, расположенную в центре пласта, заполненного одной жидкостью, нагнетается другая жидкость.
Пусть () = сопев и вначале пласт полностью заполнен одной жидкостью. Будем считать в первом приближении, что трубки тока остаются плоско-радиальными. Дифференциальное уравнение (1Х. 5. 20) движения фронта имеет вид: Гл. ГХ. Фильтраэия смесей иесколькик жидкостей На фронте вдоль наклонных прямых 1= ~айва должно удовлетворяться условие (1Х. 5. 21): льу(х) ~~ ~ = ду'(о ) ~ ая(* ) 1,' (и ) = '2' йг(оэ) х оо ( 'й) 1 (оэ) Таким образом, имеем Предположим, что на фронте (еы а, Я(х) — известные функции.
Задаваясь разными значениями х, по формуле (1Х.5.6) с',ег = Я(п) -~- аЮ(х) 7',(о) ~~р l Рвс. 1Х. 23. при (е = соазь можно построить зависимость (7, от и (рис. 1Х. 23). На рис. 1Х. 23 из начала координат проводим касательную к кривой Че (о). Величина о для точки касания согласно (1Х. 5. 23) есть фронтовая насыщенность, которая, таким образом, прн а + 0 зависит от х. Расчеты показывают, что при малых углах а и достаточных темпах нагнетания изменение фронтовой насыщенности от значения, даваемого теорией Баклея — Леверетта, т. е.
при к (х) = О, незначительно и ого в первом приближении можно не учитывать. Если же темп нагнетания мал, то это изменение стано- 1 вится существенным и фронтовая насы- Ф щеиность при учете гравитации, т. е. когда и(х) + О, отличается от значения, получаемого без учета гравитации по теории Баклея — Леверетта. Некоторые расчеты дэнн<ения скачков насыщенности приведены в 1171, а также в работе Чэнь Чжун-сяна (9). Везде выше обе жидкости предполагались иесясимаемыми. Точный учет сжимаемости, когда одна из фаа является газом, наталкивается на серьезные математические трудности и поэтому приходится идти на различные упрощающие допущения, например использование метода последовательной смены стационарных состояний и его разновидностей, соображений материального баланса и т.
п. У д. Фильтрация двуксдавной жидкости с учетом каяиллярного давления ЗЖ й 6. Фильтрация двухфазной жидкости с учетом капиллярного давления В ыше мы пренебрегали капиллярным давлением, т. е. считали, что р» = р». При этом, как отмечалось выше, капиллярные эффекты косвенно учитываются самим видом кривых фазовых проницаемостей, вообще говоря, существенно зависящих в зоне малых проницаемостей от насыщенностей.
Сложный механизм процесса вытеснения одной жидкости другой в пористой среде можно представить себе следующим образом, Поскольку реальная пористая среда характеризуется тем или иным распределением поперечных размеров поровых каналов, вытеснение начинается не одновременно во всех каналах. Когда мы говорим, г что пористая среда характеризуется некоторой проницаемостью я', это в действительности означает, г что гс — среднее значение д проницаемостей всех поровых каналов, относи- Рис. 1Х. 24, Пхоиа вытеснения в кРуглой тельно больших и малых, ~Рузе причем малые и большие поровые каналы характеризуются соответственно относительно меньшей и большей проницаемостью по сравнению с к — средним значением.
Вытеснение в пористой среде можно рассматривать следующмм образом. В поровых каналах с относительно большими размерами поперечных сечений вытеснение происходит приблизительно, как в трубах, ранее заполненных одной жидкостью, которая начинает вытесняться другой. Если диаметр трубы не очень мал, капиллярным скачком давлений можно в первом приближении пренебречь. При этом, учитывая к тому же лампнарный характер вытеснения, поперечное сечение трубы вытесняющей жидкостью заполняется не сразу, а постепенно — клин вытесняющей жидкости внедряется в вытесняемую примерно так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
