И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 66
Текст из файла (страница 66)
9) и (1Х. 7. 10) образуют систему четырех линейных да, до, да, даз уравнений для частвых производвых †, †, †, — . Решение этой системы дх' дх' д»' д» проще всего провзвести, исключая сначала частные производные по времени — — э, прв помощи уравиекия (1Х. 7. 10). Иэ (1Х.
7. 10), (1Х. 7. 9) д» ' д»' до» до» до» дх д» д» дх д» вЂ” (» — + — — = тд (х) — — — ~, » =-1, 2 (! Х. 7. 11) Г дд» да, дц» доь 1 Г Ыщ до» дх '(до, дх доь дх ~ ~ ит дх д» или з раскрытом виде — 4 — + д() — 1 — -Š— — = 8(*) —, ( дц» дх 1 до» дд» доь дгг до, сЫ ~ дх доз дх д» ддэ до» ( ддь дх 1 доэ йоь — Š— — +~ — () — +тг() — ~ — = 8(х) —.
до, дх ( даь д» ~ дх д» (1Х. 7. 12) до, доз Решения системы (1Х. 7. 12) для — и — будут дх дх до, »», даь Лэ (1Х. 7. 13) дх Л ' дх Л Уравнения (1Х. 7. 9) образуют кваэилияейвую систему ураввевий первого порядка в частных производвых обычно гиперболического типа. Такие системы встречаются вс многих задачах газовой дивамики (10, 11, 21) и могут быть исследовакы теми же методами. Введем в рассмотрение ураввевия характеристик. Имеем Гл. УХ.
Фильтрация смесей кесксльких жидкостей где де, — ()— доз то (х)— доь дз (1Х. 7. 14) Ьь= та (х)— Ноз от — Д вЂ” +тЯ(х)— доз Нх до сИ вЂ” Я вЂ” +та(х)— дц, Нх до ит та (х)— йо, дг (1Х. 7. 15) 0— доз до, тб (х)— доз дг — 1',) — + тЯ (х)— дд, Их до„ -е— ад, доз (1Х. 7. Щ 0— ддз ао, — ~) — + то (х)— доз йх доз дс илн в развернутом виде аоь дх тЯ (х) ~~тЯ (х) — — Ч вЂ” — + Я— ддз1 йо, ад, доз1 дг доз) дг аоз йг ) [' дх 1з ~дд, ддз1 дх ('дд, дд дд, доз~' (1Х. 7, 17) [т ( Н-т *Е~ — — ) — Е~ — ' — — ' — )' 1311 1дот доз1 ИГ 1доз доз дО, дя 1 то (х) ф~та (х) — — 0 — ~ — + 0 — — ) дх дць 1 доз доз доз 1 доз дз аО,'[ ит аО, кт) дх [ 8(.)[з( — ) — 8(х)1)~ — + — ) — — ()з ~ — — — — ) /дхтз Г дд, ддз 1 дх !дд, доз де|аезЪ [,дг) [ де~ дс,! дз ~дОз дят дО,дО,) Будем сначала искать сяльные разрывы функцкй оп оз, т.
е. закон двкження скачков насыщенности. Очевццно, в этом случае знаменатель Ь в (1Х. 7. 13) должен обратиться в нуль, что дает квадратное уравнение для йх(оп Решая его, получаем Ф=,.3,., [~Ф й)= .1 1)=( — — — ) +4 — — . ! ддь доз )З ддь доз (1Х. 7. 19) ( доз доз ) доз доз Если ищутся слабые разрывы, т. в. непрермвные значения функций оь о„ то одновременно обращается в нуль числитель Лг или Лз в (1Х. 7. 13), причем нетрудно показать, что прк Ь = О н Ьь —— О тождественно выполняется условие д =О. Приравнивая Ьь =- О, получаем дх доз / доз Нос ддь доз 1 8(.) — =Е[ — — — — ) йс йс '[ доз дз до дг д.дд д 7. Фиаьтраци трехфаанай смеси до, яли, сокращая пав ш дх / ддс дде дое ! тЯ (х) =.
(3 дс ~ дпз дос Но, ~ (1Х. 7. 20) Учитывая (!Х. 7.18), получаем пли (1Х. 7. 21) Р(х)=) тЯ(."".)дс, о где У вЂ” объем пор в трубке тока между нулевым сечеыием и сечеыием х. Последнее уравнение (1Х. 7. 21) является обыкыовенным дифференциальным уравнением, связывающим насыщенности ос и о,. Оыо имеет вещественные решения, если /е ) О, т. е. иогда система (!Х.
7. 9) принадлежит к гиперболическому типу н имеет два вещественных семейства характеристик в плоскостях оно,'их, с. Зван подкоренного выражения в (1Х. 7. 18) определяется знаком и величиыой произведения —. —. При обычных видах зависимостей фазовых провиддг ддз доз до,' цаеиостей ссс (оы ое, ое) возрастание какой-либо насыщенности о соответствует возрастанию расхода соответствующей фазы Ос и уменьшению расхода остальных двух фаз. В атом случае, с учетом (1Х. 7. 7) должно быть . ' е., О, доз — ( О и — — ) О, т. е.
исходная система гиперболическая. дде дде ддз до, асс до, Можно, однако, представить себе такие условия, когда в некоторых диапавонах изменения насыщенностей Ароизведеыие — будет отрицательно дд, ддз до, дпс и все подкоренное выражение в (1Х. 7. 18) или (1Х. 7. 21) будет также отрицательно, а в других положительно. В атом случае исходная система (1Х. 7. 9) является смешанной: в одной области зллнптнческого типа, в другой гиперболического, и мы приходим к весьма сложной аадаче Трикоми [22[, к которой, в частности, сводятся задачи трансзвуковых течений газовой динамики, когда в одних областях течения скорость дозвуковая, в других сверхзвуковая.
Этот вопрос рассматривался Ю. И. Сткляниийм [24], который пришел к выводу, что в физически реальных течениях трехфазных жидкостей в пористой среде исходная система (1Х. 7. 9) являетсн гиперболической. Из (1Х. 7. 21) следует, что система (1Х. 7, 9) является тан называемой приводимой, так как сетка характеристик в плоскости оп пе, получаемая обычно в результате численного интегрирования (1Х.
7. 21), не зависит от условий течения, а определяется исключительно вином функций дс (дс, пз), д (он о ), т. е. согласно (1Х. 7. 7) видом фазовых проницаемостей. Эта сетка может быть построена раз навсегда, после чего по уравнению (1Х. 7. 18) может быть построена в зависимости от начальных условий задачи сетка характеристик в плоскости х, с. Вместо плоскости х, с удобно ввести плоскость р, с: Гл. ГХ. Фильепрацик смесей нескольких асидкосксей Тогда уравнение (1Х. 7.
18) характеристик в плоскости 1', г примет вид: — — — ' + — ч- т( Р ] . (1Х. 7, 22) 1 ду 1 Г дее ддв дт 2 ) до, до,— Сетка характеристик в плоскостях 1', г и аг, ов полностью решают задачу фильтрации трехфазной смеси. Отметим, что вполне аналогично методом характеристик решаются аадачи плоского сверхзвукового обтекания профилей и одномерных неустановившихся движений газа (10, 21). На сильных разрывах, т.
е. иа скачках насыщенностей, выполняются усло- вия материального баланса, каждой фазы, получаемые точно так же, как и для двухфазной жидкости: дх ) дг (оси, оеэ) — О, (ои ов) о„р — о, Зе(оиу, овй) — Е,(оо ов) (1Х. 7. 23) овй — о, Индекс «ф» означает условия на фронте, т. е. на скачке насыщенности, беа индекса указаны условия сейчас же перед фронтом. Дальнейшее исследование фильтрации трехфазкой жидкости, а также не- которые численные расчеты приведены в )23), а также в работе Ю. И.
Сткля- нина (24). Отметим, что аналогичная система уравнений получается в задаче вытесне- ния нефти горячей водой, рассмотренной Файерсом (44) при некоторых упро- щающих предположениях. В приближенной постановке важный практический случай фильтрации трехфазной смеси — вытеснение газированной нефти водой — был рассмотрев Д. А. Эфросом (25). Ввиду очень малой ввэкости газа растворенный газ, выде- лнющнйся прн снижении давления ниже давления насыщения, под действием градиента давления в пласте обгоняет остальные компоненты смеси — воду и нефть. Прн этом образуются два фронта вытеснения — в газо-нефтяной зоне, куда вода не дошла, и в водо-нефтяной, откуда свободный газ ушел.
При этом в первом приближении можно рассматривать весь процесс движения в рамках теории Баклея — Леверетта для двухфазной смеси. Экспериментальное ксгледо- ванне этого вопроса выполнено в работах С. А. Кундина (26, 27), содержапшх ряд результатов, существенно важных для практических задач проектирования разработки таких месторождений. В частности, С. А. Купдвн показал, что при вытеснении газированной нефти водой существует некоторый оптимум пластозого давления ниже давле- ния нэсып1ения, при котором догтигаетея ванболыпая нефтеотдача.
В заключение приведем наиболее общие дифференциальные уравнения фильтрации трехфазной смесв нефть — гаэ — вода Мзскета (Лт. Ч111. 6) с учетом сжвмаемости всех трех фаз и растворимости газа в нефти я воде, выпи- санные для стационарных условий на поверхности земли. Эти уравнения, полу- чающиеся в результате подстановки в уравнения неразрывности для каждой фазы объемных скоростей, выражаемых согласно закону Даров, имеют следу- ющий внд в векторной форме прв оси в, направленной вниз (чу — обозначение д -,д — д оператора еваблав; с7 = ь —.+1' — -1-(с —; А В Ус — единичные векторы нади ду дз' правлений осей х, у, з): ( ьй, евйв егйг СУ~ — ' — тУ(Р— йп У*)+ — тУ(Р— авае)+ — и(Р— Е И ) 1= ) рирв бврв )гг д ! епон евое = т —.
(' — + — -- + ягог), ш(, ()„6, Р д. Устаноеившееск движение гагированной жидкости в пористая среде 355 тУ~ СУ(Р— Е»дг)]=т — [ — ), с»+се+ос=1, (1Х.7.24) кв ) д 7ав) Ргр» ' ! дг [, [),)' где ве, 㻠— массовые коэффициенты растворимо~ти газа в единице объема нефти и воды; 8», [)» — коэффициенты изменения объема нефти и воды при подъеме нефти и воды на поверхность и снижения давления до атмосферного; 0», Ов. Ос — плотности нефти, воды и газа. Все указанные выше величины предполагаются известными экспериментальными функциями давления, а фааовые проницаемости для нефти, воды и газа йв, Ьг, йю как и выше, экспериментальными функциями насыщенностей парового пространства о», а», а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
