И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 44
Текст из файла (страница 44)
11. 14). Зная форму границы раздела, можно легко определить перепад давления между любыми двумя сеченняьш. Из уравнений движении Даран для первой и второй жидкостей в кадр ком-либо сечении для проиаводной давления — вдоль подошвы получается дх формула (ЧП. П. 17) — — (Ч11. 11. 16) дх !г (г й+(Ро — 1) У дх ' Рт Рг Пусть начальное сечение будет а =О. Тогда, учитывая (Ч11. 11 3), (ЧП. 11. 5), (УП.
11. 7) в зависимости от положения второго сечения, из (УП, 11. 16) полу- чаем (рис. ЧП. ЗЗ, а): прн 0 < $ < $~, и=1 р(0, г) — р(х, 1) а йуь Р, прис, С$ <$о, 0<и<1 Во р(0, г) — р(х, С) а ( (' д$ Г5+Р ( йг — ~Ро 1п о — (Ро — 1) (1 — и)) . (УП. 11. 18) В частности, при Ро=О, Ц=1, безразмерная потеря давления па напор- ном участке течения, занятом жидкостью 1, равна б= — '5,= — '5,. (ЧП.
11. 19) Ро ти' Таким обрааои, зная 5о, $ь и (х), ьшжно проьмвести все расчеты. Параметр а для реальных условий, когда условие (УП. 11. 5) в точности не выполняется, можно оценить для заданного интервала времени Т по пввестному на единицу длины галереи суммарному объему аакачки жидкости 1 И', условно считая, что за зто время И' (г) изыепялось по аакону г Иг П)= у(г) 'и= о = И'=И'(Т) — о (УП 11 20) Здд Гл. У!1. Движение равдееа двух жидкостей в иористой среде Иа (ЧП.
П. 20) и (ЧП. 11. 7) — — (ЧП П 21) 2ЬУТ т Я 2т)в Ук Т 2т)е Уя Ь $1 Ь д [ и (1 — и) ди'[ — Пн Ц"~Ай=0. (ЧП. 11. 22) Интегрируя по частям, представим (ЧП. П. 22) в таком виде: 62 в — 2~~ и — 2~~ и — (и+1) 6 идй" +— р.— 1 [ 1+(р.— 1) я йв 1+(р,— 1) и, ) 1+(р — 1) и ~ ~ 1+(ро — 1) и, ~„и„(1 — ио) и„( рн ~и (1 — и) и' йо (л=0, 1, 2,...). (Ч'1.
П. 23) И' где ос= — -средний по времени расход закачиваемой жидкости 1. Т Указанный выше метод численного интегрирования уравнения (ЧП. 11. 6) при соблюдении условия (ЧН. 11. 10) является, очевидно, весьма трудоемким, так как исходная величина со должна определяться подбором. Ускорение расчетов может быть достигнуто применением современных быстродействующих вычислительных устройств, что было сделано Я. И. Алвхашкиным, выполнившим численное решение аадачи прямолинейного и радиального вытеснения при помощи вычислительной машины вСтрелав [36].
Представляет, однако, интерес получение хотя бы приближенных аналитических решений, удовлетворяющих требованиям практнческой точности и дс статочным обрааом определяющих влияние параметров до и а. Основной практический ввтерес представляет определение величия зо и зь покааывающпх движение точек А и В (рнс. ЧП. 33) пересечения границы раздела с подошвой и кровлей пласта и характеризующих степень вклиннваняя одной жидкости в другую. В качестве одного иа таких приближенных методов можно предложить метод, прибливеающийся по идее к методам, применяемым в теории пограничного слоя, в частности к методу интегральных соотношений, развитому Г. И. Баревблаттом для приближенного решения уравнений в частных производных нестацяонарной фильтрации жидкости и гааа [37 [.
Умножим сначала уравнение (ЧП. 11. 6) на з" (л = ОГ1, 2,...) и проивтегрируем в пределах от с = ьв до з = о„соответствующих ко и и: Ф 11. Задачи о витеенении одной жидноепи другой 2дг Пусть и,=О, и,=(. Тогда (Ч! !. 11. 23) обращается в следующее уравнение при условии, что и + со, и + со: о Фй Ч:"-""1'""1' — '-1 — '-'-: — 1 "- 1- 4е Ьо и†! с~ ! и(1 — и)и' 1+(р — 1) и (ЧИ. 11. 24) Нетрудно видеть, что условие (ЧН. 11. 10) получается из (УП. 11 ° 24) при и=О.
Будем искать теперь решение в виде ряда и Я) = а, + ~' аг!р! Я), ! (Ч11. 11. 25) где !р! ($) — некоторая линейно независимая система функций, видом которых мы задаемся; ао, а! — неопределенные коэффвциентм. Задаваясь и членами ряда и полагая в (У!!. 11. 24) последовательно я . —— = 0,1,2...., получаем (а + Ц уравненийдля коаффициектов ао, а! (! =. 1, 2,...н], а из условий (Ч11. 11.
13) и (Ч1!. 11. 14), следующих из самого дифференциального уравнения (Ч1!. 11. 6), получаем еще два уравнения для неизвестных абсцисс го, 5!. Таким образом, может быть составлена замкнутая система уравнений для определения всех неизвестных. При неограниченном возрастании числа членов и ряда (ЧН. 11. 25) будем, вообще говоря, формально неограниченно приближаться к точному решению. Для приближенных расчетов с достаточной для практики точностью можно аппроксимировать и ($) параболой 2-й илп 3-й степени, а иногда даже просто прямой линией н удержать только одно интегральное соотношение и = О, т.
е. удовлетворить балансу расхода. Нанриыер, можно представить и ($) в таком виде: . Й) = а, й- $о)+ а,(Б — %о)~, (ЧН. 11 26) Для дополнительного неизвестного коэффициента аз может быть использовано условие (Ч!1. 11. 15) или одно интегральное соотношение (Ч1!. 11. 23) для н = !. Ограничимся квадратичной параболой (Ч!1. !1. 26). Аппроксимация параболами более высокого порядка была произведена В. Н. Донецким [17), причем были получены результаты, аналогичные приведенным ниже. Для параметров аг, а„5„з! из условий (ЧП. 11. 13) н (УП. 11. 14) пол учим и = а =о — — 5, и = — — — = аг+ 2ае (5! — 5о).
(ЧН. 11. 28) 1 рой! и о ! 2 -о' ! 2 Ро Из (Ч!!. 11. 10) 1з с, = — + и дгч = — + — а! (5! — ['о)з+ —, аг (5! — 5о)г. (У[!. 11. 29) 2и Р 2о ! 1 1о когда и(Цг)=0, и искать параметры а„а,, $о, $! из условий (У11. 11.13) (ЧП. 11 14), (Ч!! 11. 10) и условия и (5!)=1. Полипом Зй степени для и(5) будет иметь внд! и ($) = а! (5 — 5о)+аз (5 — $в)'+ аз (5 — 5е)е.
(Ч1!. 11. 27) 2дд Гл. УГ!. Движение Раздела двух жидкостей в нористой среде Из условия и(4г)=1 и (Ч11. И,28) 1=о (ьг ео)+от (ьг чо) 1 Г ро4г+$о а П+роП 2(4г $о) ~ 2 ро ~. (1И.И.З0) Подставляя а„по из (Ч1!. И. 28) в (Ч!1, И. 29) и (У!!. И.ЗО), после упрощения получаем два уравнения для 4о и $,: сг= — +~ — !11 — — ! — — + —.~(4,— ыг, (Уп. И. 31) 2а Г а ! 1+ро! 4о ро5г 7 ро ~2~ Зро) 6 12 (ЧП. И. 32) Обозначим 2а 4г — $в=г, ро (У11. И.
33) Тогда 4г= в+4о и из (У11. И. 32) получаем — — — — (УП. и. 34) 4 рвг 4а I 1+ро! (ро — 1) г !го — 1 ро — 1 ! 2ро ! Подставляя зто выражение в (Ч11. И, 31), получаем — гв+ — (р — 1) г + — (ро+1) го+ 2Ь (ро — 1) г — 4=0. (У11. И.
35) р,, Ь 12 12 о ' 3 Найдя отсюда г, из (Ч!!. И.34) можно вычислить 4 . Можно также непосредственно искать "о. Для нахождения 4о предварительно целесообразно уравнения (Ч11. И. 37) й (Ч11. И. 36) выразить через 4о и г: 1= ((р 1)(Ь+$о)+р г!г 1 4 1 Ь вЂ” 4о=г — — (Ь(2ро — 1)+(ро — 2) $о+рог) г~ 12 (У11. И. 36) (ЧП. И. 37) Из (У1!. И.
38) и (У11. И. 36) можно после некоторых преобразований выразить г через 4ог З(р,— Ц (Ь' — г,') — 8 г(1+Зро) Цо — 8а (У!!. И. 39) Подставляя г вз (У1!. И. 39) в (Ч!!. И. 37), после простых, но довольно громоздких алгебраических выкладок получаем уравнение 4-8 степени для 4о: 3 (Ро 1) 4о+3" (Ро 1) 4в+ (3 (Ро 1) (Ро+ 1) Ь 12Ро 56 !го+ 4) ео+ + ( — 3 (р — 1) Ь + (104 р + 16 р + 8) Ь ) Е + +( 3!'о(ро П Ь вЂ” (80рв — 16р.)Ь +64р )=0 (Ч!1 И 40) уравнение (Ч11.И. 36) с учетом (Ч11. И.З5) может быть ааменено следующим: 12(Ь вЂ” 4о)=8г+(4о — 2а) гг„ (Ч11.
И. 38) 227 З 11. Задачи о оитеенении одной жидкоелли друзой б= — Ь|л= — Ь(з+;,). 1 1 2 2 (Ч11. И. 41) д)йу Одд -бд Ро ~'1г -Са -Об д Рис. ЧП. 34. Рис. Ч1!. 35. Схема истечения в сухой грунт. Если задан параметр Ь, то ее и з определяются непосредственно иа уравнений (ЧН. И. 40) или (ЧП. И. 35). Если задан перепад давления и, следовательно, б, можно по уравнению (ЧН. И. 19) построить график б = б (Ь) и по известному д найти нужное аначение Ь.
Можно также решать задачу аналитически, что в точной постановке было выполнено С. Н. Бузиновым (38]. При ро = 0 уравнения (ЧП. И. 35) и (ЧН. И. 40) принимают следующий ввд: — Ьзз+4зз — 24 Ьз-48=0, (Ч1!. И. 42) — 35 — ЗЬ 5 -]-(ЗЬ +4) 5 +ЗЬ +8Ь=О. (Ч11. И. 43) К этим уравнениям добавляется при неизвесжюм Ь условие (Ч11. И. 41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
