И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Рассмотрим какую-либо трубку тока переменного сечения (рис. У11. 2). Пусть площадь ее поперечного сечения есть функция длины 5, отсчитываемой вдоль оси. Будем считать, что скорости фильтрации во всех точках сечения 1 = 1 (5) одинаковы. Массовыми силами для простоты будем пренебрегать. Заметим попутно, что учет гравитационного аффекта, т. е. различия плотностей, не вносит никаких принципиальных затруднений, и, как правило, дает небольшую поправку. Из закона Дарси для расхода д, считая ясидкости несжимаемыми, имеем (Ъ'П. 3. 1) Предположим, что известны давления рг и р, в сечениях 5 = 5, и 5 = зз. Выразим д через Ре и Р,.
Для этого из (Ъ'11.3.1) найдем Чр дв Нр = — —— а откуда, интегрируя и замечая, что о не зависит от 5, получаем ве р Рг Ре= а Ре — Ре (УП. 3. 2) у д. Расчет скорости вытеснении одной жидкости другой 18д Если проницаемость й переменна, то вместо (ЧП. 3. 2) будем иметь (Ъ'?1. 3.
3) р — р Д =— ге вг Формулы (Ъ'11. 3. 2) н (ЧП. 3. 3) выражают закон Дарси для трубки переменного сечения с равномерным распределением скоростей в поперечных сечениях. Рассмотрим теперь жесткую трубку переменного сечения длиной 1, в которой одна жидкость вытесняет другую. Обозначим вытесняющую жидкость индексом 1, а вытесняемую — индексом 2. Этими яге Рс Рвс. Ч11. 3. индексами будем обозначать в дальнейшем величины, связанные.
с вытесняющей или вытесняемой жидкостью. Пусть в одном сечении трубки, занятом вытесняющей жидкостью, давление равно р» (контур питания), а в другом, отстоящем от первого на расстоянии з =— = 1, занятом вытесняемой жидкостью, равно р, (скважины). Предположим, что закон изменения площади 1 поперечного сечения трубки по длине известен: (ЧП. 3.
4) де /с Рн Р» — 2 а Ч сед! — 2 = еле сл Йг ' „1сг о с — 2 о (ЧП 3 Пусть первая жидкость занимает в данный моментдлнну трубки з, а вторая 1 — а (рис. Ч11. 3). Найдем в этом положении скорость. перемещения границы раздела, Обозначая давление в граничном сечении через ре 2 и считая проницаемость Й постоянной, согласно (Ъ'П. 3. 2) получаем 1дд Гв, УГД Движение раедела двух жидкостей в пористой среде Рассмотрим теперь течение, которое будет в той же трубке, когда она вся будет заполнена только одной жидкостью, например второй вытесняемой, при тех же контурных давлениях ри и р,.
Давление в этом же сечении д обозначим чеРез Рг г, скоРость едг г. ТогДа Р2 2 Рс Рн Рг — 2 д ье е лог — г —— Ре (УП. 3. 6) ~' де о Подынтегральные функции в (ЧП. 3. 5) и (ЧП. 3. 6) одинаковы, так как мы условились считать трубку недеформируемой. Тогда, разделив (УП. 3.
5) на (УП.3. 6), найдем Ри РŠ— 2 Р1 г Рс 2 — 2 Ие (р р ) Р2 — 2 Рс и 2 — 2 или — (ЧП 3 7) 2 — 2 ио (ри Р2 — 2) + (Р2 — 2 рс) где ро = И1 Ре (ЧП. 3. 8) Формула (УП. 3. 8) является искомой. Она позволяет связать скоРость лог г ДлЯ ДвУхгкиДкостной системысо скоРостьюерг г оДно- жидкостной. Таким образом, если одножидкостный поток известен, по формуле (УП. 3. 7) можно найти скорости в любой точке. Отметим, что этот вывод применим и к пространственным потокам.
Очевидно, формула (УП. 3. 7) будет строго верна для прямолинейного и радиального течений, когда деформаций трубок тока вследствие преломления на границе не происходит. Вообще же говоря, формула (ЧП. 3. 7) неверна, ибо, как указывалось выше, траектории частиц в одно- жидкостной и двухжидкостной системах могут быть различными.
В тех случаях, когда существуют траектории, общие для обеих жидкостей, например, прямая, из геометрических сообрагксний можно судить, в какую сторону мы делаем ошибку, пользуясь формулой (УП. 3. 7). Пусть, например, вытесняемая исидкость под напором вытесняющей поступает к линейной батарее скважин (рис. УП. 4); Т— контур питания, МЧ вЂ” граница раздела в данный момент, АЮ— прямолинейная осевая линия тока, проходящая через какую-либо скважину Я.
Рассмотрим примерный вид линии тока в обеих областях, проведенной через точку А', весьма близкую к А. Давления на контурах питания и скважин будем считать неизменными во всех рассматриваемых ниже случаях. д д. Расчет скорости внтеснения одной жидкости другой ИБ Предполоягим сначала, что вязкости обеих жидкостей равны, т.
е. система одножидкостяая. Тогда на границе раздела не будет преломления линий тока и линия тока, проходящая через А', будет изображаться плавной кривой А'В'Ю. Пусть теперь рт + рз', тогда линия тока, проходящая через А', будет иметь излом на границе раздела. Если рт < ра, то из закона преломления следует, что линия тока будет иметь вид ломаной А'СЯ, т. е. приблизится к прямой АЯ. Формула (ЧП. 3,?) соответствует условию, что линия Л'В'Я остается неизменной, чего, как мы видим, в действитечьности не происходит. Таким образом, во второй аоне при рт < рз в окрестности прямой Рис. ЧП.
4. Схема линии тока при прорыве к скважиие при различном соотвошеиии вязкостей выте- сияемой и вытесняющей жидкостей. АЯ происходит сгущение линий тока по сраинению с картиной линий тока при рт = рз. Заставляя теперь точку Л' стремиться к А, приходим к выводу, что скорость точки В границы раздела, лежащей на прямолинейной траектории АЯ, в действительности будет несколько больше той величины, которая получится по формуле (Ч11. 3. 7), так как сгущение линий тока соответствует увеличению скоростей. Следовательно, зта формула для движения по прямой ЛЯ дает при рт < рз несколько заниженное значение скорости против действительной.
Рассуждая совершенно аналогичным образом, мы придем к заключению, что при рл > рз анния тока будет иметь вид А'РБ и в атом случае для точки В по формуле (Ч11. 3. 7) получится значение скорости, большее действительного, Таким же образом можно показать, что для точки К формула (Ч11. 3. 7) будет давать обратные результаты, нежели для точки В, т. е. преувеличенные значения скорости при рт < рз и преуменьшенные при рт ) ра.
Из зтих соображений оказывается возможным установить, в какую сторону мы ошибаемся, пользуясь формулой (Ч11. 3. 7). Схемы одномерного вытеснении одной жидкости другой в трубке тока переменного сечения широко используются в расчетах раз- .!Вб Гл. )ел'П Деижепие раздела доух жидкостей е пористой среде работки нефтяных и газовых месторождений. Прн помощи этих схем можно рассмотреть, в частности, задачи о наивыгоднейшей расстаяовке батарей скважин (Лт. 1. 16; Лт. 11. 9; Лт.
1У. 21. й 4. Замечания о задачах фильтрации о нодиисияыми граничными уелоииями. Сиед.ипе вадачи о дииженнн границы раздела к решению интегро-дифференциального уравнения специального типа Задачи с теми или иными краевыми условиями яа подвижных границах, форма и аакоы движения которых неизвестны и подлежат определевию, в большпястве случаев еще яе имеют точных эффективных решений. К вим отыосятся, в частности, задачи точной теории волн ва гравице раздела жидкостей, теории образования и движения ыеодвомервых ударных вола и т. д.
Помимо указанного выше првближеяыого метода жестких трубок тока, к решению аадач движения границы раздела жидкостей в пористых средах примевяются другие приближеввые методы, освоваввые па той или иной лпыеаризацип условий ва подвижной границе.
Иногда применяются и чисто вычислительные методы, в том числе с использоваывем цифровых вли моделирующих устройств, для решеывя уоавыеяия .Лапласа при заданных гракичяых условиях ы ызвествых областях. Прй помощи этих устройств задача движения границы раадела решается следующим образомс в начальный момент с †.
— О граница раздела известна и, решая совместно уравиеяия Лапласа туеФе=:О, ту еФз = О в областях, занятых движущимися жидкостями С и В при граничных условиях для С =- О, можио вычислить нормаль- дФ, дФе вые компояс~ты скорости ш,п =- и,„: — ' =- —,е для точек граввцы раздела дп дп в момент с =-О. Выбирая затем дастаточяо малый интервал времешс,~~, я, можно построить новое положение границы раздела по элемеятэрвым перемещениям вдоль ыормзли ,~„п — ш„,"~ се (см. рис. У!1. 1). Затем вновь решаются уравнения Лапласа уже для новой коыфвгурацяп границы раздела к момекгу с = Л сс, определяются ыормальвые коьшопеыты скоростя и находится перемещение границы раздела к гледующсмч моменту: с == с'к се + ,"~ се.
Процесс повторяется вплоть до яселаемого момевта с = сь й + ~,сз -~- ... + с',с„. Обычыо выбираются равные вятервалы с~ сс =- сь се =- ...=~ с. Контролем служит степень совпаде- 1 ввя расчетов при шаге сь с и — сь с, как это обычно делается при ковечяо-рааког сгыых схемах, а также проверка баланса объемов, пройденных жидкостями С и В. Существеывым ыедостатком этого метода, как, впрочем, и многих других ковечпо-развосткых схем, является отсутствие доказательства сходымость процесса к точному решению прп стремлеяыя шзгз ~Ь с к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
