И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2. 19) 1'ат г 2 Рве д(ту) ду У вЂ” — = т — = — '~'зР. д1 дг (У1. 7. 7) В формуле (У1. 7. 7) пористость вь можно припять постоянной, так как изменение пористости ничтожно мало по сравнению с изменением объемного веса газа вследствие его значительной сжимаемостн. Подставляя в уравнение (У1. 7. 5) значения д н ди нз уравнении (Ч1. 7. 2), получаем окончательно дифференциальное уравнение гидравлической теории нестационарного безнапорного грунтового потока, называемое иногда уравнением Буссинеска (по имени впервые получившего его французского ученого): И'6 Ее.
'е!. Беенанорное движение живности е нористой среде Тогда уравнение (Ч1. 7. 7) можно записать так: т — — = — с7 Р. "тат др и р д1 1а (Ч1. 7. 8) Последнее уравнение можно представить еще в таком виде: т — — — = — с7 Р. "е'ат др др д рат др д1 и (Ч1. 7. 9) Но с!Р = у е1р, др 1 Рат "Р т' "т'ат Р Подставляя в уравнение (Ч1.7.9), получаем нс тат Рат др е — — = — с7 Р Рот е'ат Р д1, 1с или дР др ;72 Р де ос 1с (Ч!.
7. 10) В последнем уравнении р можно вырааить через Р согласно уравнению Р = ~" р'. Тогда получим 2рат — Р ~;72Р др й ° I 2рат дс не 1с "т'ат (Ч1. 7. 11) др Гат др а "тат а Р 1 ,ар ад д1 Рат дс ' рат ~ 2 Р— = — — ~7 — Р 'е'ат др еср с'ат т ! 1 т1 Рат де ос!с Рат ( 2 / или (Ч1. 7. 12) Уравнение (Ч1. 7.
12), как отметил Л. С. Лейбекзои, имеет замечательиое сходство с уравнением гидравлической теории кестациоиариого безиапориого движения жидкости. Действительно, уравнеиия (Ч1. 7. 12) и (Ч!. 7. 0) совпадают. Уравнение (Ч1. 7. 11) представляет собой окончательный вид уравнения Лейбеязояа для иестациоиаряого изотермического движеиия газа в пористой среде, Выражая Р через давление, уравнение (Ч!.7.11) можио записать еще так: у 7. Дифференциалънме уравнения гидроеличееной теории 177 Таким образом, между безнапорным грунтовым потоком и фильтрацией газа существует следующая анаЛогия: давлению газа р соответствует глубина или напор Н грунтового потока, коэффициенту й — для газа — коэффициент фильтрации с для грунтового потока.
р При помощи этой аналогии все задачи, решенные для фильтрации газа, могут быть распространены на соответствующие случаи безнапорного грунтового потока. ЛИТЕРАТУРА 1. Ч а р н ы й И. А. Расчет понижения свободной поверхности в теле плотины при изменении уровней верхнего и нижнего бьефов. Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1953. 2. М и х а й л о в Г. К. Применение модели предельно анизотропных грунтов для оценки решений некоторых краевых задач о движении потока грунтовых вод по водоупору.
Инж. сб. АН СССР, т. ХЧ, 1953. 3. Ч а р и ы й И. А. Строгое доказательство формулы Дюпюи для безнапорвой фильтрации с промежутком высачнвания. Доил. АН СССР, т. 79, № 6, 1951. 4. Ч а р н ы й И. А. Безнапорная фильтрация в среде с переменной вдоль вертикали проницаемостью. Докл.
АН СССР, т. 88, № 5, 1953. 5. Ч а р н ы й И. А. Об одном интегральном соотношении теории фильтрации и его некоторых приложениях. Материалы межвузовского совещания по вопросам новой техники в нефтяной промышленности. Гостоптехнадат, 1958. 6. Ч а р вы й И. А. О величине промежутка высачивания при беанапорной фильтрации. Докл. АН СССР, т. 88, № 5, 1953.
7. А р а в и н В. И., Н у м е р о в С. Н. Фильтрационные расчеты гидротехнических сооружений. Госстройиздат, 1948. 8. Ш е с т а к о в В. М. Определение участка высачивания фильтрационного потока у стенки скважины. Иав. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, № 1, 1959. 9. Ч а р н ы й И. А. Приток грунтовых води скважинам и иглофильтрам. Инж.
сб. АН СССР, т. ХЧН, 1953. 10. Ч а р н ы й И. А. Безнапорный приток к гидродинамически несовершенным скважинам и иглофильтрам. Изв. АН СССР, ОТН, № 2, 1953. ГЛАВА У11 ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ й 1. Введение Задача о движении границы раздела двух жидкостей в пористой среде является в точной постановке одной из наиболее сложных в теории фильтрации. Первые исследования ее, возникшие в связи с вопросом о стягивании контура нефтеносности при водонапорном режиме течения, принадлежат Л. С. Лейбензону 1Лт. 1. 6, 71 Дальнейшее развитие эта задача получила в работах М. Маскета, В.
Н. Щелкачева, П. Я. Полубариновой-Кочиной и других. Задача о движении в пористой среде границы раздела двух жидкостей с различными физическими свойствами — вязкостью и плотностью — встречается не только в вопросах эксплуатации нефтяных месторождений, но и в случае водонапорного режима газовых месторождений, когда газ критекает к скважинам под напором краевой воды, ряда технологических процессов, где одна жидкость замещает другую в пористой среде, и т. д. В общем случае строгое гидродинамическое решение, пригодное для практических расчетов„отсутствует. Исследованы лишь отдельные, частные случаи, а также разработан ряд приближенных методов, некоторые из которых изложены ниже.
Без принципиальных затруднений получается решение задачи о движении жидкой частицы вдоль линии тока при установившемся течении, т. е. для одножидкостной системы при постоянных значениях контурных потенциалов. На границе раздела двух сред происходит своеобразное преломление линий тока. Пусть (рис. Ч11.
1) кривая Р'Ч является границей раздела двух жидкостей с вязкостями рз, рз и пусть, например„ Дз ) Р1. Рассмотрим произвольную точку М границы РЧ и проведем через нее касательную т к Рч и нормаль и. Найдем проекции скоростей д 1. Веедезие фильтрации частиц первой и второй гкидкостей, находящихся в этот момент в точке М, на т и й. Согласно неразрывности течения элементарные расходы обеих жидкостей через произвольный элемент границы раздела доляены быть равны. Отсюда следует, что и нормальные проекции обеих скоростей равны, т. е.
1р1„= 1рг„. Давление в пласте в точке М также должно быть одинаково для обеих жидкостей, так как при малых дозвуковых скоростях разрыва давления в сплошном потоке быть не может. Касательные же компоненты скоростей обеих жидкостей согласно закону Дарси будут, опу- 6 окая для простоты массовые силы, г~ Ь др КЕ1 р дт е др Леге = — — — . р дт Проницаемость й считаем постоянной.
НО 111 112 различны, СЛЕДОВатЕЛЬНО, В12:~ Шг„к если 112 ) 111, то к 12 ) к ге ° Отсюда следует, что и результирующие векторы скоростей 1р1 и 1рг точки М для частиц каждой жидкости будут различны и, следовательно, линии тока :1М и ВМ, проходящие через т~чку М в кагкдой нз жидкостей, будут иметь излом в точке М. Заметим, что в общем случае граница раздела не является в процессе течения эквипотенциалью, хотя в начальный момент и может быть таковой.
Точное решение задачи о продвижении границы раздела, когда р1~ рг, — в общем случае нерадиального н непрямолинейного течения — наталкивается на чрезв1ечайные математические затруднения. Поэтому вместо точных решений приходится искать приближенные. Следует сделать еще одно существенное замечание о самой физической природе вытеснения одной жидкости другой из пористой среды и о математической постановке такого рода задач. Как было указано выше ($4, гл. 1), вследствие неравномерного распределения размеров иоровых каналов действительные скорости частиц жидкости распределены неравномерно.
Поэтому в большинстве рассматриваемых ниже задач определяются расчетные средние действительные скорости частиц в сечениях элементарных трубок Ш тока, связанные со скоростью фильтрации й соотношением г = —, 1ВО Гл. «11. Деижеыие раздела деух жидкостей е пористой среде й 2. Уравнения движения отмеченных частиц в потоке однородной жидкости Рассмотрим уравнения движения отмеченных частиц в потоке однородной жидкости.
Пусть дана однородная жидкость, потенциал движения которой Ф (х, у, з, 8) известен. дз Истинная скорость движения частицы —, скорость фильтрации из = т —, где Ыг — элемент траектории. дз Тогда уравнения движения в координатной форме могут быть записаны в виде дх дф т — = — — =~,(х,у, 2,1), Й дх 12(х, у, х, 1), ду дФ дс дФ тй — — — — — — Ях, у,з,1). (ЧП. 2.
Ц Функции ~ы ~2, ~2 известны, поскольку потенциал Ф(х, у, х, 8) считается заданным. Интегрируя систему (ЧП.2. (), получаем закон движения илп траекторию жидкой частицы в виде х = х(~), у = у(1), з = з(2). Интегрирование производится особенно просто, если скорость есть известная функция одной величины 2: т —, = из(2). дз Можно поставить более широкую задачу о движении жидкой линии или жидкой поверхности.
где т — пористость. По этим скоростям и будет производиться в дальнейшем расчет движения отмеченных частиц, границы раздела двух жидкостей и т. д. При этом будут получаться принципиально правильные результаты для интегральных характеристик — расходов и средних скоростей. Истинные же скорости частиц могут отличаться от этих средних.
В рассматриваемых ниже задачах атой главы жидкости предполагаются несмешивающимися, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. Вытеснение одной жидкости предполагается происходящим полностью — так называемое «поршневое» вытеснение. Это также является идеализацией, так как в действительности полного вытеснения не происходит, Задачи, в которых учитывается неполнота вытеснения, рассмотрены в главе 1Х. У д. Расчет скорости витеснениа одной гкидкости другой 181 Пусть надо найти уравнение жидкой поверхности Р(х, у, г, г) = 0 при начальном условии 1г (х, у, г, 0) = 1 (х, у, г), (ЧП..
2) где 1(х, у, г) — известная функция. Проекции перемещения жидкой частицы за время 6 1 будут и о ое — 61, — 61, — 61, где и, о, ш — проекции скорости фильтрации на оси х, у,г. Требуя, чтобы зти частицы остались на жидкой поверхности, имеем Р(х+ — бг, у+ — бс, г+ — йд, 1+ 6 с) = О. Развертывая зто соотношение в ряд Тейлора и удерживая члены с первой степенью 61, получаем г(х У г г)+ бе о + — Ьсд + бед +бед и дР о др ое др др откуда, так нан Г (х, у, г, г) = 0 по условию, устремляя Ы н нулю, получаем дР др дР дР и — + в — + нг — + лг — = 0 дк ду де дг или, заменяя скорости через производные потенциала, т — — дгай Ф йгай Р = О.
дР дс (ЧП. 2. 4) Линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (ЧП.2.3) представляет собой соотношение Кельвинае удовлетворяющееся на всякой поверхности Р (х, у, г, 1) =- О, движущейся вместе с жидкостью, т. е. на любой жидкой поверхности. Требование найти решение уравнения (Ч11.
2. 3), удовлетворяющее условию (ЧП. 2. 2), представляет собой задачу Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (ЧП. 2. 3), имеет вид (1): дк ду дг ат (ЧП. 2. 5) и о ие т причем и, г, гд — известные функции координат н времени, так как потенциал скорости Ф задан. Ряд частных случаев рассмотрен Маскетом (Лт. 1. 11), а также в ряде других работ (Лт.
1. 8, 12, 19; Лт. 11 2; 2, 24, 39, 401. (ЧП. 2. 3), 8 3. Расчет скорости вытеснения одной жидкости другом из трубок тока, предполагаемых неизменными Мы у;ке видели, что в общем случае — непрямолннейного и не- радиального течений — линни тока на границе раздела двух жидкостей испытывают преломление. Молоко мысленно построить систему 585 Гл. У!1.
Движение равдела двух жидкостей в коростой среде трубок тока в областях, занятых движущимися жидкостями. На границе раздела каждая трубка тока будет иметь излом, перемещающийся вместе с этой границей по мере вытеснения одной жидкости другой. Такам образом, весь процесс течения можно рассматривать как вытеснение одной жидкости другой из системы деформируемых трубок тока, сечения которых изменяются в зависимости от времени. Заменим теперь эту истинную картину течения другой, физически заведомо неверной картиной. Предположим, что за все время движения остается неизменной картина Ре Рз линий тока, существовавшая в начальный момент 5 =- О. 5 Тогда задача сводится 51 5 к расчету времени вытеснения одной жидкости другой из системы трубок переменного по длине сечения, когда все эти трубки являются уже жесткими, недеформируе мыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
