И.А. Чарный - Подземная гидрогазодинамика (1132329), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для плоской задачи стягивания контура вефтеыосвости при нулевой вяакости вытесняющей воды рс = О (аадача Лейбевзова), методы точыого решения предложены в работах П. Я. Кочивой, Л. А. Галина, П. П. Куфарева и Ю. П. Виноградова (Лт. П. 2; 3, 4, 5, б). В основе этих методов лежит некоторая фувкцпя комплексяого переменного, реализующая ковформыое отображение неизвестной области течения ка круг вспомогательной плоскости. Задавая эту функцию в виде ряда, коэффициенты которого зависят от времени, из условий ыа подвижной гравице для коэффициентов можно получить систему обыквовеывых дифференциальных уравнений, для расчетов, впрочем, очень сложную. Следует отметить, что пря ыеодвомерыом стягивании контура ыефтевосности к скважине получается согласно этим решениям физически нереальный результат з виде точки возврата задолго до прорыва воды к скважине (рзс. УН.
5). Возможная причина лежит э неучете ииерционвых сил и капиллярных эффектов. 1 д. Замечаиих э ««дачах фильтрации 187 Другой метод решения задачи прн р«+ р был предложен В. Л. Даниловым (7, 8). Польауясь методами теории потенциала, В. Л. Данилов построим некоторое ивтегро-дифференциальное уравнение для подвижной границы раздела, которое затем было решено для нескольких примеров па быстродействующих вычислительных машинах. Решение В. Л. Данилова првводится нике Плоские и пространственные задачи о переме- шенин границы раадела двух веси«имеемых жидкостей с различными вяакостямв и удельными весами в недеформяруеммх пластах могут быть исследованы в точной постановке (для приведенной вылив схеыы процесса поршневого вытеснения) методами теории потенциала.
С математической точки зрении они сводятся к вадачам Коши для ннтегро-дифференциальных уравнений специального типа (7, 8, 9). Покажем применение этого метода на примере плоской аадачи о движении замкнутого контура нефтеноспости Г прн работе системы скважин в неограниченном пласте с постояннымн мощностью й, порнстостью т и провицаемостью )е (рис. ЧП. 8). Вязкость нефти внутри контура Г (область 6«) обозначим р«, вязкость воды вне контура Г (об- Рнс. ЧП. 5.
Схема образования точки возврата до прорыва в скважину лесть 6,) рм Влиянием различия удельных весов в пласте будем пренебрегать. Пусть скважины (в плоской аадаче это вертикальные линейные источники и стоки с постоянной интенсивностью) имеют координаты хп у; и объемные дебиты 6«(1), причем значениям индекса 1 =- 1, 2,...,1 соответствуют эксплуатационные скважины в 6«, а значениям « = 1'+ 1, 1-„'-2,...,1+1 — нагпетательные скважины в 6«. Прн указанных выше условиях течение является плоским, а давление р (х, у, 1) удовлетворяет уравнению Лапласа (ЧП.. П всюду, эа исключением особых точен-скважин и в общем случае бесконечно удаленной точки влоскости, а также особой линии — границы раздела жидкостей. На граявце раздела — контуре à — как в начальный момент, так и во все последующее время движения выполняются следующие условия: 1) давленое прн переходе через контур Г изменяется непрерывно; обозначая индексом « еь предельпоо значение р при подходе к Г взнутри я индексом « †» предельное значение прн подходе к Г снаружи, имеем Г Р =Р (ЧП.
4. 2) 6 / 2 2) нормальная составляющая скорости фильтрации вследствие неразрывности течения непрерывна при переходе через Г. Учитывая закон Дарси Рис. ЧП. 6. ю= — с«йгае(р, 1 = 1,2, (ЧП. 4. 3) иа условия ю„= м„ находим др+ др— с,— = сэ —, дп дп (Ч П. 4. 4.) 188 Гл. Р)в. Движение раздела двух жидвопией в лорипяой среде х й где е,= — — коэффициент текучести в нефтяной аоне; ее= — — то же в водрз ной зоне; н — внутренняя (для определенности) нормаль к контуру Г '. Введем уравнение неизвестной границы раздела Г в неявной форме: Р(*,у,г)=О.
(ЧП. 4. 5) Начальпое положение ее Го известно: Р(х у,О) =Ге(х, у) =О. Берн полную производную от уравнения (ЧП.4. 5) по времени, имеем (ЧП. 4. О) др ду ду дх ду дх ду ду — = — + — — + — — =- — + — о„= О„ (ЧП. 4. 7) дв дс ' дх дг ду Щ дс дн он — скорость перемещения контура Г по нормали и к нему. Из (ЧП.4. 3) и (ЧП.4.
4) следует 1 е, др+ ее др ин = — и'н= — — —, т т дн т дл (ЧП. 4. 8) др т ду) дг" дп ез д! ~ дн (ЧП. 4. 9б) Задача состоит в отыскании функции г (х, у, г) = О, удовлетворяющей уравнению движения (ЧП. 4. 9а) либо (ЧП. 4. 9б) и начальному условию (ЧП. 4. 6), причем функция р должна удовлетворять уравнению (ЧП. 4. 1), условиям (ЧП. 4. 3), (ЧП. 4. 5) и иметь заданные особенности в точках скважин. Перейдем к выводу уравнения движения границы Г. Введем гармоническую функцию, представляющую сумму полей давлений от отдельных скважин: 1+! Ч('У,г)= Зя„,,">,();(1)1 — „+ и„„,,'~', Е В) 1.— „,, 1 "! 1 1 1 ' 1=! 1=)т! ~; =(* — х;)'+(у — у!)*. (ЧП.
4. 10) Распределение давления в пласте будем искать в виде р(х,у,с)= р(х,у,!)+ ~ О(5,т),е) 1п — дп, 1 г (ЧП. 4. 1!) где йв=(х — 5)з+(у — в))з; и — дуговая абсцисса точки контура Г с декарто- выми косрдияатамк 5, тб Π— плотность логарифмического потенциала простого слоя в точке ч, ти к~прерывно распределенная по Г'. т Все дальнейшие рассуждения сохраняют силу прн проницаемости Ул з области Оь отличной от проницаемости )ев в области Сз. з Потепцлал простого слоя, нанесенного на границу, был использован при решении обратной задачи Г. Г.
Тумашевым (11). Тогда из (ЧП 4. 7) и (ЧП. 4. В) вытекают две эквивалентные формы уравзюняя движеяия: др+ т ду! ду (ЧП. 4. Оа) дн ег дс ~ дп ' д 4. Замечания о еадачаз фильтрации Фуыкция р (Ч11. 4. П) удовлетворяет уравнению (Ч11. 4. 1), условию (Ч!1. 4, 2) и по построению имеет ааданные особенности в точках скважин хг,уо Согласно известным свойствам потенциала простого слоя из (Ч11.4.
11) следует [10] др+ дрв — — = — 2лй. дп дп (Ч11, 4. 12) Используя (Ч!1. 4. 9а) н (Ч11. 4. 9б), из (Ч11. 4. 12) имеем соотяошеыие, впервые полученное Г. Г. Тумашевым [11]: (Ч!1. 4. 13) Остается уловлетворить условию (Ч1!. 4. 5) и уравнению(Ч11. 4. 9а), или (ЧПч4. 96). Вместо (Ч11.4. 5) удовлетворим следующему условию, вытекающему из (Ч11.4.12) и (Ч11.4. 13): (Ч1!.
4. 14) Из (Ч11. 4. 14) и (Ч11. 4, 9а) вытекает условие (Ч11. 4. 5). Предельное аначение производной давления по и при стремлеыии к Г изнутри равно др+ дьр Г д 1 — = — — лй+ [ 0 — 1п — дп. дп дп дп Л (Ч11. 4. 15) г дР 1дР й [ 1 дР / дР ) д 1 2 с,с дьр — / — — — / [ — ь — ] — 1о — дп = — — 'з —. (Ч11.4. 17) де/ дп я) [дс/дп/дп Я гп с+се дп 1 Таким образом, задача отыскания функции Р(з,у, г)=0 (Ч11.4.5) сведеыа к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения (Ч11. 4.
17) с начальным условием (Ч!1. 4. 6). Для избавления от иытегрироваыия по искомому контуру Г перейдем' к полярной системе координат г, В, в которой уравнение контура имеет вид: Р(г,В,С)=г — У(В,С)=0; (ЧП. 4. 13) в начальный момеат !=О Р (ц В,О)=1~(В) — 1(В,О) =0 или )(6,0) =У (В), (Ч11.4. 19) где (ь(В) — известная функции. Переходя к новой системе яо формулам з=гсозз, у=ге!оВ, зсВ йзсозам уз=-Оьз(ппо С=Всозть ь)=05!от х При атом полагаем, что искомый контур Г звездообрааев, т. е. любой радиус, исходящий из выбранного полюса, пересекает его лишь один раа.
др+ Подставляя в (Ч11. 4. 9а) значения — из (Ч11. 4. 15), 0 из (Ч11. 4. 13) дп н вводя обозначение с,— се (Ч11. 4. 16) с,+се пояучаем уравнение 160 Гл. УП. Движение разделе деуз леидпоетей е пористой среде после преобразований получаем интегро-дифференциальное уравнение с постоянным интервалом интегрирования 2Л ! (Е с) 1, (Е, с) — — д! ! («, с) 7, («, с) К (О, », с) д« = й (' о |+с ~ > ч Ос (с) кс (е,с).
<Ч||.'. 20) 2ята и >=| !ь (О,с) — 1(е,с) !(«,с) соь (Π— «) — !е (О, с) 7(«, с) ь!п (Π— «) к (е, , с) !а <О,с) — 2! (Е,с) ! <«,|) со-(Š— «) + )ь <»,с) где !ь(О,С) — с(6,|) Ос соь(6 — ас)-!з (6, С) Ос ь!п(8 — а;) к|<0,с)- ! (О,с) — 27(е,с) 0; соь(0 — ас)+Ос е с д!(е ~) . 7, (6 с) д! (6') . ' ( (! + 7.) >;>с (С), С = ! + |, ..., с + |. де Если имеется одна нефтяная скважина дебита <с(с) в начале координат, то уравнение [ЧП. 4. 20) переходит в следующее: ! (О, с) )с (8, с) — — ~ ! (», с) !с (», с) к (О, «, с) « = С7 (с). (чп.
4. 22) | — Х е Точное решение уравнения (ЧП. 4. 20), а также (ЧП. 4. 22) при начальном услонви (ЧП. 4. |9) удается найти лишь в простейших частных случаях расположения скважин и начальной границы раздела (ЧП. 4. |9). В общем случае для численного решения можно использовать метод конечных разностей. Приведем для иллюстрации основные этапы расчета перемещения первоначально кругового контура к аксцентрично расположенной скважине (рис. ЧП. 7) (7).
Введем безразмерные переменные, предполагая (с == сонь!: 1= >с с= т ° (ЧП 4 23) Рис. ЧП. 7. Стягивание кон- -|о тура нефтеносности ири при- где СС вЂ” кратчайшее расстояние от начального токе нефти к скважине, экс- 0 центрнчно распело>конной в контура до скважины; То =— круговом пласте. Око* время «обводнения» скважины при р, = рю т. е. при 2=0. При этом дебит источника считается положительным. Уравнение начального контура имеет вид: >о о>= — о г — ' стэ> — н>, 1 (ЧП. 4 24) 1 — е о где е == — — эксцектрисптет скважины. сс р а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
