Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 99
Текст из файла (страница 99)
(369) Проведенный выше вывод относился к рис. 96, показывающему форму П для )1)е' (й,) ) О, однако полученное заключение справедливо также и для )))е' (й,) ( О, когда контур П па рис. 96, а заменяется его зеркальным иэображением относительно действительной оси. Кубический корень в (364) нужно при этом взять отрицательным, так что з плоскости э путь интегрирования вернется к кривой, идущей от со ехр ((5/6) и)) к оо ехр ((1~6) п1) и использованной в (368). Интеграл Эйри (368) легко вычисляется, н результаты приведены на рис. 97.
Характер этого графика можно объяснять в, Внутренние аолнм 470 Рис. 97. Сплошная кривая — интеграл Эйрн Л1(Х). 1!1триховая кривая — его асимптотические формы (373) для Х ) 0 и (374) Лля Х<0. при помощи теории стационарной фазы. Когда Х принимает болыпое положительное значение, фаза уХ + ((/3) г' не имеет никакой стационарной точки около действительной оси, так что интеграл становится экспонепцнально малым, соответствуя, как мы увидим, стороне каустики без волн. Когда Х принимает больнюе отрицательное значение, существуют две далеко отстоящие друг от друга стационарные точки при действительных в, принимающих значения л = +) Х ~а/е и л.— ) Х )1/2.
(370) в зтих точках вторая производная от фазы, равная 2е, соответственно положительна и отрицательна. В данном случае естественно попытаться оценить интеграл Эйри как сумму двух интегралов Гаусса посредством деформации пути интегрирования (отчасти как на рис. 63) в кривую, проходящую через эти точки под углом +45' и — 45' к действительной оси (рис.
96). Эта оценка для Х ( О дает выражение А1(Х) (2л) '(ехр~ — — 1 ) Х)~~ + — л1~)[2л/(2) Х !Я~в))'/~+ +(2л) '(ехр ~ + — 1) Х Г вЂ” 4 л1((12л/(2)Х) / )) /, (371) содержащее два различных члена, имееощих волновой характер. Они модулируют ехр (17ф (/ес)) в (369), соответствуя, как мы увидим, двум группам волн на стороне каустики с Х ( О. Действительно, для больших положительных Х путь интегрирования можно подобным же образом деформировать (рис. 96) так, чтобы он прошел через мнимое положение стационарной «.11. На»с»«ики фазы г = +(Хм«, где подинтегральное выражение принимает значение ехр ( — (2(3) Х»ж), а фаза имеет вторую производную 2(ХМ«. Траектория наискорейшего спуска через эту точку параллельна действительной оси и позволяет оценить А1 (Х) как интеграл Гаусса (2п) ' ( ехр ( — — Х~~~) ~7 ~ ехр ( — Ха~а (е — (Х~~~)') сЬ.
(372) Графики выражения (372) для больших положительных Х, легко оцениваемого как А((Х) — и 02Х ' ехр( — з Х ) при Х)0, (373) и вырая«ения, представленного формулой (371), для больших отрицательных Х, а именно выра»кения А1(Х)- -' ~(Х~(-"« ° ®(Х('~ — —, ) п1 Х(0 (374) также изображены на рис. 97. Проведенные на нем штриховые кривые показывают, что интеграл Эйри быстро и плавно переходит от своей волнообразной асимптотической формы (374) для отрицательных Х к экспоненциально убывающей асимптотической форме (373) для положительных Х.
Когда «2 ((с) имеет вид (357), соотношения (365) и (369) дают 2ву (Ьс) . ~ см' ((сс) — х ) ~ »А(~ ,,)х ((1~2)ис"'(ас)) 1» 1((1(2) П»"'(ас)] Е 1 Х ехр (1 (сэ ()сс) 1 — ксх)). (375) 'Уравнение (375) показывает, насколько велики волны на той стороне каустики, где х — га»'(/сс) имеет тот же знак, что и сэ ™()сс); (376) там находятся две группы волн, так как функция Эйри для отрицательных Х содержит сумму двух экспонент (371). Эти две группы волн с близким волновым числом «пульсируют» вместе; на рис. 97, показывающем медленное изменение их амплитуды, действительно видно, что впервые она обращается в нуль при Х = — 2,34.
Мы видим (рис. 97 для положительных Х), что на другой стороне каустики амплитуда волны убывает экспоненциально и составляет всего лишь 3% ее макспмального значения уже на расстоянии ) х — 1«» ()сс) ( = 2,5 ) — гю'"()сс)) 2» (377) 472 4. Внутревии«волны от каустики. Этот интервал затухания постепенно возрастает со временем, но становится все более и более несущественной частью всей протяженности группы волн, которая растет пропорционально самому 1.
Общая теория (равд. 3.7) стационарной фазы в одномерном случае дает затухание амплитуды по закону 1 Ы» по мере рассеивания энергии, однако неприменимость этой теории вблизи каустикн очевидна иэ-за множителя при г П-', равного ( ю (Й) )-мз и неограниченно возрастающего при приближении к каустике. Истинная амплитуда на самой каустике ни в коем случае пе может быть бесконечной, так как А1 (О) имеет конечное значение 0,355. Однако эта амплитуда действительно затухает более медленно, чем г ' ': согласно (369), она затухает пропорционально» и». В самом деле, уравнение (365) показывает, что для фиксированного х~ц удовлетворяющего условию (376) наличия волн, асимптотически возвращается к лиду, содержащему Гцз, поскольку ! Х ) «!ив (374) затухает со временем пропорционально ~ и«.
В этом случае на каустической границе волновой области происходит небольшое возрастание амплитуды (от значения порядка ~-ц' до значения порядка 1 ьэ) непосредственно перед ее экспопенциальиым спадом до нуля. Каустика есть нечто подобное «ране» для простой теории лучей, которая предсказывает возрастание амплитуды до бесконечности на каустике, разрыв и затем убывание до нуля. Решение в виде интеграла Эйрн (375) «аалечивает» эту рану, делая возможным вполне конечный и непрерывный переход от одного режима к другому.
Да»ке в однородных одномерных волновых системах каустика не должна быть сама по себе лучом. Мы показывали на рис. 60, что в случае, когда начальное воамущение не находится в ограниченной области, лучи в плоскости (х, г) могут быть непересекающимися прямыми. Эти прямые могут иметь криволинейную огибающую, где опи сходятся (рнс. 98); эта огибающая и есть каустина с двумя группами лучей с одной стороны и с отсутствием лучей с другой.
Этот случай можно проанализировать, записывая возмущение в виде (356) с (378) гФ (й) = $о» (й) + д (й) — йх, так что условие стационарности фазы будет иметь вид х = я' (й) + го»' (й). (379) Уравнение (379) описывает систему прямолинейных лучей, такую, что волны с волновым числом к первоначально находи- 4.11. Кайслсили 478: с Рнс. 98. Каустика С как огибающая прямолинейных лучей л — (Ес = =сове( е нлоскостн (с, 1) длн однородной одномерной системы волн. лись при х = и' (й).
Каустика определяется уравнениями (359), в силу которых х = л' (Есс) + 1ю' (йс) при д" (й,) + (ю ' (йс) = 0 (380) Уравнения (380) представляют собой просто параметрические. уравнения огибающей прямых (379); второе из них определяет параметр Есс (волновое число на каустике) как функцию времени. Для такой криволинейной каустики уравнение (369), в котором ф определяется выраясением (378), дает 2яр (Есс) А. ) л (Есс)+ по (Есс) Н(Е2) Х" (Ьс)+(1С2) ЕЮ'" (ЕСс)) Е (((1'2) З'"'(ЕСс)+(1(2) ЕЮ"'(ЕСс))м' ~ х ехр (1 (д (Есс) + йо (Есс) — Ес,х)) (381) со свойствами, аналогичными тем, которые обсуждались выше. Другим непосредственным обобщением одномерной теории является случай распространения в двух или трех измерениях, как рассматриналось в равд. 4.8.
Подробности достаточно изложить для первоначально ограниченного возмущения, распространяющегося в двух измерениях. Задача в таком случае состоит в том, чтобы асимптотически оценить интеграл О д = — ~ ~ 0е А Ест) ехр ((йф (Есс Есе)) г(Ес» дйа (382)' Общая теория стационарной фазы дает такую оценку в виде (262). однако эта оценка становится бесконечной там, где якобиан У = д (Ум Уе)/д (йм йе) (3831 обращается в нуль. В теории, где энергия переносится вдоль лучей, бесконечность неизбежна; действительно, лучи должны 4. Внутренние сенин были бы сходиться там, где У обращается в нуль, потому что объем, занимаемый энергией в момент г в элементе волновых чисел с[йзс[йз, в таком случае равен [ д (У,г, У,г)(д (й„й,) [ сей,ссйз = (' [ Х [ сей,ссйз. (384) Но при этом нарушались бы также предположения теории лучей (медленное иаменение [с). Интеграл Эйри еще раз «залечивает рануз.
Как и в равд. 3.8, мы оценим (382), используя локальные оси, з которых тензор д-'з[з)дйсйс) — — с)зю[дйсдйс (385) имеет только диагональные элементы. Теперь в любой точке каустики (й;, й,') один из этих диагональных элементов должен быть сам равен нулю, поскольку дензермсснангн У этого тензора обращается в пуль; мы предположим, что только один из них равен нулю, и пронумеруем осп таким образом, чтобы это был элемент дзезсдй,'. Вблизи (й;, й,') мы представим интеграл (382) как произведение с)= ~ ехр (сд [(й,— йс) (аз[2/дйс) + — „. (й, — й~с)з (дззр!дй',)*]) с(йс Х )С 2 Оз(йз йэ)(ехр [Из[з(йс,йз))) ) ехр[ с 2 (йз — йз) (д~Фдй',)'~ с(йю (386) где первая строка оценивает интеграл по йд в форме интеграла Эйри, а во вторую строку включаются все остальные множители, в том числе и интеграл Гаусса по й,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
