Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 97
Текст из файла (страница 97)
В самом деле, она «выбирает» составляющую шо .= О, которая включает только. рнтезрирозание по го. Действительно, если бы интеграл (334) был взят от — оо до оо, он дал бы амплитудный козффициент е г(й„О) ехр( — »йохо) с)йо — — (2я) ' ~ У(хо оо) дго= 6з(хо), (335) который равен произведению (2я) ' на напряженность источника, проинтегрированную по направлению, нормальному к Я (т. е. по направлению го).
Однако тот факт, что в случае полупрямой интеграл в (334) берется только О до ос, вносит значительное изменение, которое придает решению его волновой характер. Компонента выражения (334), пропорциональная ехр (с (о»ог — йох)1, для О «й, < со имеет волновые гребни, двиясущиеся в ожидаемом направлении воарастающих хо (по диагонали вниз под прямым углом к лучам). Комбинированная волна (334) принимает форму, зависящую от классического расщепления, посредством которого любая функция )з (хо), задаваемая интегралом Фурье, как в (335), представляется в виде суммы (з(хо)+(з(хо) = ~ Г(й„О) ехр( — »йохо) вайо+ о о + ~ Р (йо, О)ехр( — сйохо)сйо.
(336) Физически зто соответствует расщеплению апоячей волны (з (и,) ехр (»соог) на сумму двух безликих волн, движущихся в направлениях положительных и отрицательных х, соответственно. Стратифицированная среда получает проинтегрированное распределение источ- й. Внутренние еолни 438 Рис. 92. 11оследавательные волновые профили (дейстчпстельная часть выражения (338) нлн (339)), построенные как функцспг не!Ь для последовательных аначепий снег, равных О, (1с4) и, (1с2) л, (3/4) п в п для случая неаатухасощвх плоских внутренних волн, генерируемых осцвллирующвм источником, определяемым выралсеннямн (337).
Гребни, конечно, двнясутся верпендвкулярно к направленвю ее, вдоль которого распространяется волновая енергня. пиков (335), раси(еггляет его, как в (336), и посылает волны с амплитудой )е (хе) по диагонали вверх и направо, а волны с амплитудой )я (х,) — по диагонали вниз и налево. Для любой рациональной функции )в (х,) расщепление (336) достигается наиболее просто посредством представления ее в виде элементарных дробей и включения тех из инх, которые содержат полюсы в верхней половине комплексной плоскости аю в 1.ч, а остальных — в 19.
НапРимеР, если )а(хю) =- 2СЬ(х'„+ й') ', то Ц(хе) = С (й+ гно) ' (337) что читатель моясет проверить при помощи правила разложения на злементарные дроби нли же непосредственнымвычислением, используя и' (Ьт 0) =- С ехр ( — Ьйе). Б этом случае волны (334) могкно представить в виде д = — л(ЛГ ' (ехр ((сое()1 С (й + (л,)-' (338) или же — через модуль и аргумент — в виде д=лС)г' ' (Ьа+х,*) ' ехр(11еэог — агой',(хо!Ь) — -;-фл1), (339) который подчеркивает волпоподобную занисимость от рю хотя и указывает на отсутствие какой бы то ни было сформировавшейся длины волны.
На рис. 92 представлен вид последователь- .х.10. Волн», еенерируемне оециллирующим источником 459 ных конфигураций волн в атом случае. При отсутствии диссипации энергии эта картина волнового движения под прямым углом к лучам распространялась бы вдоль лучей до бесконечности и без затухания. Однако в проведенный выше анализ нетрудно включить эффекты вязкого затухания со скоростью (220) на единицу пути зе вдоль лучей. Эту скорость можно записать в виде (340) р=2рнке, где ре= — тЛ' 'созесВ, причем йю как и выше, представляет собой модуль волнового вектора.
Такая скорость затухания энергии вводит в амплитуду волн с волновым числом Йн экспоненциальный множитель ехр ( — Цн!сесе). Это должно быть включено в интеграл (332) и, следовательно, в (334), что дает д=- — н~У '(ехр(еврг)] ~ Г(йо О) ехр( — Йнхо Оооо) ейе. 'а (341) Заметим, что для незатухающих волн общее понятие (равд. 4.9) компактных источников (размеры области определения фурье-преобразования которых в пространстве волновых чисел много больше размеров Я) бессмысленно, когда Я простирается до бесконечности, как во всех волновых системах, изучаемых в этом разделе.
Однако смысл этого понятия восстанавливается при введении вязкого затухания, которое для внутренних волн на расстояниях от источника, больших зю исключает все волновые числа, значительно превосходящие (разе)-н'; тогда источники, размеры области определения фурье-преобразования которых намного превышают это число, будут действительно компактными.
Если, например, сечение цилиндрического провода, колеблющегося горизонтально в жидкости, компактно в этом смысле, то его можно представить горизонтальным диполем с напряженностью 6 ехр (денег), равной отнесенной к единице длины силе, с которой он действует на жидкость. Это дает Р(й, т) ж й6, (342) как и в (308), так что значение г (й„0) в повернутых осях волновых чисел (йю т,) равно У (кн соз В) 6 и д=(лй 'созВ)6(ехр(йоее)) 1 йоехр( — йохо — рнФо)ййо (343) э 460 4. Ннутрвнние волны Рпс. 93.
Последовательные волновые профили (деяствптельпая часть выражения (343)), рассчитанные Томасом и Стивенсоном длп последовательных значений юоа равных — (1/2) и. — (1)4) я, О, (1)4) я и (1/2) и для случая двумерных внутренних волн, возбужденных компактным осцплппрующам источником п затухающих вследствпе вяакостп. На рнс. 93 представлен вид последовательных волновых профилей в этом случае, полученных на основании формулы (343) Томасом и Стивенсоном, а на рис. 94 приведены весьма удовлетворительные результаты сравнения полученных этими авторами теоретических данных с их тонкими экспериментальными паблюденнями.
Волновые системы с поверхностью Я, имеющей отличную от пуля полную кривизну, исследованные в равд. 4.9 методом стационарной фазы, и описанные выше системы, для которых метод стационарной фазы непригоден, потому что о' является плоскостью, представляют собой крайние случаи. Существует также н промеокуточный случай, когда Я является развертывающейся поверхностью. В атом случае имеется только одно главное направление с ненулевой кривизной, в котором можно использовать метод стационарной фазы, а в другом направлении следует пользоваться описанными выше методами, требующими оценки бесконечного интеграла. Такая поверхность с гауссовой кривизной К, всюду равной нулю, обязательно яв- о.20. Волны, генерируемые оечиллируюи1им иевьочнином 461 Ф с 1,0 0,8 о ен с „О,Б 0,« 0,20 0,2 (ру )щ 0,2 0 0,5 1,О 1,5 2,0 2,5 8 7 ор е е ю 5 100 Ъ~ 50 0 50 1ОО 150 х„ыы (р„)ю Рис.
94. Эти диаграммы Томаса и Стивенсона показывают прекрасное согласование мея<ду их измерениями (точки) и их расчетами (кривые). Не поясняя их обозначений в деталях, отметим, что проверке подлежали следугощие данные: а — огибающая волновых профилеи; 6 — изменение щирины волны, пропорциональное расстоянию ог источника в степени Ф/31 о — наклон центрального луча к вертикали; е — ивменение иаксимальной амплитуды волны.
пропорциональное расстоянию ат источника в степени — 2/3. ляется развертывающейся (деформирующейся в плоскость без растяжения), и нормали к ней образуют только однопараметрическое бесконечное множество направлений — «веер» лучей, вдоль которых вынуждена распространяться волновая энергия. Мы укажем общий метод исследования, применяя его для случая внутренних волн, когда поверхность Я является конусом, а нормали к атому конусу образуют дополнительный конический «веер» лучей. 462 4. Викосреанио ооон»о В стратифицированной жидкости трехмерный осциллирующнй источник д171дг = 7' (х, Р, г) ехР (1соос) (344) генерирует внутренние волны, удовлетворяющие уравнению (321) с постоянной 7»". Это уравнение принимает вид (]т г сог)(д»11дгг с дгд[дуг) соодгд[дгг = 1соо (с771дг) ехр (1со»1).
(345) Любое линейное дифференциальное уравнение в частных производных, аналогичное уравнению (345), в котором независимая переменная входит только в производные по координатам одного порядка (здесь 2), имеет поверхность волновых чисел, которая является окопической» в общем смысле, т. е. образована прямыми, проходящими через начало координат, и поэтому имеет нулевую гауссову кривизну; по существу это вытекает из того, что в силу такого уравнения В представляется однородной функцией [с, 1 и т.
Например, для уравнения (345) В (со, 1с, 1, т) =- [соотг — (Д'г — сог) (1с'+ 1г)]1(онп), (346) что дает дисперсионное соотношение В = О вида (24), так что поверхность со =-- соо волновых чисел является конусом с полу- углом раствора О =- агс соз (о>»Ю). Для оценки волн, излучаемых в определенном направлении 1,, мы используем специальные оси, подобные тем, которые изображены на рнс. 91. Прежде всего мы примем вертикальную плоскость, проходящую через Ь, за плоскость ро =-- О; после этого другие осн выбираются, как и ранее: ось хо — вдоль образующей конуса, так что она имеет направление волнового вектора, а г, (конечно, под прямым углом к оси оо) — вдоль луча, Эти оси удобны потому, что в методестационарнойфаэы считается, что только образующая в вертикальной плоскости, проходящей через Ь, вносит вклад в излучение вдоль Ь,причем этот вклад вносит, как и раньше, вся полупрямая, представляемая данной образующей. Уравнение (284) в этом случае прнпимает вид д= — 2н1 [ехр(1»>»1)] ~ ~ г ([со 1о ого) (дВ[двг»Г' Х 3» Х ехР [ — 1([сохо+ в»ого)] с[[со с[1»' (342) отличие от выражения (332) состоит в том, что кривизна конуса не допускает обращения то в нуль, за исключением случая, когда 1» =- О.
Легко показать, что нривизна конуса в плоскости 463 4.10. Вомиы, генерируемые оециммируюгцим источником й, = сопз1 в точке 1« = 0 представляется как ко = (д то)д)о) = )еа гии 0~ (348) действительно, кривизна кругового поперечного сечения конуса плоскостью т = сопз1 составляет 1« ' = ()го соэ 9) ', и эта величина долл«на быть равна произведению созес 0 на кривизну но в плоскости, нормальной к образующей. Метод стационарной фазы в одномерном случае (равд, 3.7), примененный к интегрированию по 1, в (347), теперь дает д= — 2лг(ехр(1 (оо«1 — ' 4 л) () ~ г ()«„0, 0) (2)т) ' Х 'о х (2льк зо) пэ ехр ( — й,х,) гО«„(349) поскольку, как и ранее, уравнение (333) дает дВ~дто на прямой 1« =- то = О. При этом асимптотическая форма волн имеет вид д= Дг '(2лг!(зоСаО))Ы (ехР~1 (го«с — — л) ~) Х х ~ У«о~ г" ()го, О, 0)ехр( — йохо)д)го, (350) 'о Уменьшение амплитуды в выражении (350) по закону з-оп' происходит из-за того, что энергия распространяется от источника в коническом «веерео лучей; расстояние между двумя лучами возрастает пропорционально расстоянию вдоль них.
Однако, хотя энергия н распространяется тангенциалъно к вееру, ширина пучка по нормали к вееру не увеличивается. В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная особенность, аадаэаемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение области интегрирования до (О, сс) превращает генерируемую осциллирующим источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 и 93). НОВЫЙ КОЭффнцнспт й'1« ВВОдИт дОПОЛНИтЕЛЬНО ОПЕрацНЮ, ИЗВЕ- стную как взятие про вводной порядка 1!2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
