Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Мы встречались с этим фактом в связи с асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их распространения (равд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения в частных производных (345), которое прн аамене з на величину, кратную времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения (345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную порядка 1/2, а. Вяутренэие вовнн -и 2 Рве. 95. Последовательные волновые профиля (действительная часть (353)), построенные хак фуккцян гэ,'й для яоследовательных значений юос + (1!4) н, равных О, (1/4) я, (1с2) я, (3)4) л и я для случая незатухающих трехмерных внутренних волн, генерируемых осцилллрующкм источником, определяемым выражениями (337).
В этом случае энергия переносится от источника вдоль конической поверхности, а гребни дввжутся по нормалям к этой конической поверхности. но и расщепление стоячей волны па волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, а это вполне можно было бы упустить при любом непосредственном применении только что упомянутой аналогии. Если ввести распределение источников, проинтегрированное в плоскостях, нормальных к образующей, Г ()со 0 О) ехр ( — йохо) Ийо = =(2п) ' ~ ( )'(хо: ро хо)оуоохо=~э(хо) (351) то интеграл в (350) будет пропорционален производной от Я (х,) порядка 1/2.
Например, если )з (х,) принимает вид (337), то ы ~ (со~ Р(йо 0 0)ехр( — Исохо)вайо= — Спмз(Ь+(хо) '~, (352) о а тогда СЛ- (2ьо1 О)-'"(й + ,*)-"' < х ехр (1 ( юа1 — 2 агс1к (хо/ев) — 4 и )) . (353) 3 1 465 4.11. Каускгики На рис. 95 изображены последовательные волновые профили в этом случае для источника с суммарной напряженностью (9п)э С Мы видели, что даже в трехмерном случае асимптотическая форма внутренних волн, генерируемых осциллирующим источником, сравнительно проста. Заметим, что при вынуждающем воздействии типа диполя появились бы производные от волновых профилей, изображенных на рис.
95; эти продиффереицированные профили волн оказываются только чуть «более волнистыми». Чтобы учесть обусловленное вязкостью затухание, нужно было бы, как и ранее, ввести в подинтегральную функцито дополнительный множитель ехр ( — рок,'го). 4.П. Каустики На протяжении всего развития понятий групповой скорости и лучевой теории (начиная с равд. 3.6 и далее) мы до сих пор откладывали исследование локального поведения волн вблизи кауотик.
Здесь мы вводим это слово впервые; каустика представляет собой границу между областью со сложной волновой картиной, являющейся результатом интерференции двух групп волн, и соседней областью, не содержащей никаких волн." Каустики являются известными локальными особенностями многих различных конфигураций волн в жидкостях, причем все они могут быть исследованы вместе, так как ключом к их пониманию является одно математическое понятие — интеграл Эйри. Обычная лучевая теория неприменима вблизи кауствки, но интеграл Эйри позволяет нам создать «исцеленный» вариант, в котором эта локальная трудность преодолевается. В однородных системах, изучаемых методом стационарной фазы, такая локальная трудность возникает (равд.
3.7, 4.8 и 4,9) там, где оп»орал производная от фазы (или главная вторая производная, когда число измерений больже, чем одно) обращается в нуль вместе с самим градиентом. Вблизи такой точки интеграл Эйри играет ту же роль, что и интеграл Гаусса в обычной точке. В окрестности этих точек лучи сходлпгся, так как групповая скорость стационарна. Геометрическое место таких точек представляет каустику, которая отделяет область без лучей от области, дважды покрываемой лучами.
Однако допущения лучевой теории теряют силу в окрестности каустики, ') Возможно, что более общее опродолвиио могло бы допустить также наличие групп волн от различных источяивов, но даже в этом случае число групп волн во второй области было бы ка две лев»же, чем в первой, эо оыоо 4. Внутреэние во»нм поскольку локальные градиенты волнового числа становятся большими.
В неоднородных системах, таких, как звуковые волны в стратифицированной атмосфере или воздушном потоке (равд. 4.6), также возможно, чтобы лучи сходились, образуя «огибающую», вне которой, согласно лучевой теории, находится зона тишины. Внутренние волны также обычно имеют каустику с двумя системами лучей ниже ее и с отсутствием лучей выше ее; это может быть либо огибающая (рис, 80, б), либо геометрическое место точек возврата лучей (рис. 80, а).
Во всех этих случаях «исцеленный» вариант лучевой теории может быть получен из свойств интеграла Эйри, на этот раз из его дифференциальных свойств, Граница любой области захваченных волн является каустикой. Мы убедимся в том, что лучевая теория в своем «исцеленном» варианте является удобным и простым методом приближенного исследования систем захваченных волн. Прежде всего мы еще раэ вернемся к методу стационарной фазы, чтобы проследить, каким образом развивается ограниченное возмущение в одномерной волновой системе (раэд.
3.7). Мы покажем, как нужно изменить этот метод вблизи волнового числа Й = Й„где групповая скорость П = д«»/дй стацпонарна, т. е. там, где (354) что происходит с волнами па воде при минимуме их групповой скорости (рис. 56). Траектория П(Й») (355) распространения волн с волновым числом Й, являетсякаустикой, так как значения (/ по одну сторону от этого стационарного значения // (Й,) соответствуют двум волновым числам Й, а по другую сторону не соответствуют ни одному.
Как и в равд. 3.7, мы исследуем асимптотическое поведепие ~= ) Р(Й) ехр (йф(Й)) И, о где ф (Й) = е» (Й) — Йт/г, (357) обращая особое внимание на те значения Й, где фааа»ф (Й) имеет первую производную, равную нулю, т. е. где х/г = «»'(Й) = Г/(Й). (358) Метод, подробно описанный в равд. 3.7, нельзя испольэовать ,при Й = Й„где, согласно (354) и (357), равна нулю также и вто- 4.«1. Каустики рая производная от ф Этот метод должен даватьплохое приближение даже вблизи й = й„где производная ф" (й) мала, так что ее вклад в разложение «р в ряд Тейлора не должен превосходить соответствующий вклад от ф"'(й). Тем не менее можно воспользоваться идеей метода, развитого в равд. 3.7.
Вдали от стационарной точки мы деформируем путь интегрирования в такой, на котором мнимая часть «р равна по меныоей мере +6. Однако вблизи стационарной точки (где это невозможно) строится короткое связующее звено ?, на котором для оценки асимптотического впачения интеграла применяется разложение в ряд Тейлора. При условии (355) уравнения (357) и (354) дают ф'(Ус,) = 0 и «р" (й,) = О. (359) Тогда контуры, на которых мнимая часть «у равна +б, принимают вид кривых, изображенных на рис.
96, а, при Ф (йс) = сэ (йс) ) 0~ (360) и являются их зеркальными изображениями, если ю"'(й,) отрицательно. (Мы опускаем рассмотрение нестандартного случая, когда сэ"'(й,) обращается в нуль.) За звено Ь лучше всего принять «траекторию наискорейшего спуска» ехр (сг«р (й)1 от й = й, к указанным контурам. Эта траектория представляет собой пару прямолинейных отрезков, каждый из которых наклонен под углом 30' к действительной оси, поскольку (359) дает ф(й)=-«Р(?сс)+ с (й — йс)'Ф'"(йс) — , '0(й — йс)', (361) а (й — й,)» чисто мнимо, когда агя (й — й«) равен либо (1/6) я, либо (5!6) я.
Мы используем то же самое звено Ь во всей окрестности каустики, т. е. там, где (355) почти (но неточно) удовлетворяется. Тогда «у (й) включает линейный член (й — йс) «Р'(?сс) =- (й — ?сс) (ю'(?с«) — Нс) (362) который является значительной добавкой в непосредственной близости к й = й,. Однако прн малых аначениях коэффициента, стоящего в квадратных скобках, на концах Ь в (361) должен доминировать кубический член.
Поэтому звено ?, остается эффективным при увеличении мнимой части «р до +б. Атогда с точностью до ошибки О (ехр ( — Сб)) интеграл (356) может быть взят как интеграл по звену ?, что дает ~ = ~ (ск (йс)+О (~ й — йс ~)) ехр ??сг (? «г(йс) гв(й — йе) «р' (йс) + + —,' (й — й,) р" (й,)+ О(~ й — й, ~ )1) ?й. (363) эо а.
Внутреннив волны оо ехр (Зп!) о ехрЯп!) Рис. 96. а — типичкое поведение (вблизи лгобой стацкокаркой точка йс фазовой фупкции ф (й), где ф" (йс) = О, а вр'" (йс) 0) кривых в комплекской плоскости, вдоль которых вр (й) имеет постояпкую мкимую часть +б. Мы преобразуем путь иктегрировакия в иптеграле (356) в такой, иа котором мкимая часть ф (й) равна +б, за исключением окрестности й, где для перехода с одвого такого пути иа другой используетсй звено Ь; б — комплексная плоскость в, определяоиая заменой (364): (!) — соответствующий ).
путь интегрирования, используемый для вычисления интеграла Зйри А! (Х); (й) — преобразоваипый путь иктегрироеапия, используемый для получения асимптоткческого выражения (37!) интеграла А! (Х) при больших отрицательных Х; (ш) — преобравоваквый путь иитегрироваиия, используемый для получекия асимптотической формы (373) интеграла А! (Х) для больших положительных Х. 4.11. Каустики 469 Чтобы оценить (363), нам нужен не интеграл Гаусса с экспонентой от квадратичного выражения, а другой стандартный интеграл — интеграл Эйри с экспонентой от суммы линейного и кубического членов. Прн помощи подстановки й — йе = ~ — Р)1)"'(й,) ~ з, (364) которая упрощает кубический член до (1/3) )хз,а затем замены (365) которая приводит линейный член к )з Х, интеграл (363) можно привести к стандартной форме )". = Р(й,) (ехр (Пф (й,)1) )'.
х ~ ~ эф (йе)~ ~ ехр) ) (эХ+ ~ зх) ) дз (366) с коэффициентом погрешности 1 + О (~ Мэ), так как (364) дает О(1й — й, 1) = О(г1й — й, 1') = О(г-'гх). (367) Интеграл в (366) берется по криволинейному пути в плоскости ги соответствующему 1. в плоскости й. На концах этого пути модуль подинтегрального выражения убывает до О (ехр ( — й)1. Поэтому интеграл отличается от того же самого интеграла, взятого по всему пути до бесконечности, на величину только этого порядка. Мы определяем е ехр ц)/6) и~) А) (Х)=(2я) ' ~ ехр() (гХ+ — хх) ( с)г (368) ехр Ц),'б) ~1) и тогда получаем, что асимптотическое представление ~ имеет вид ~ — 2яР (й,) (ехр ОГ)1) (й,)1) ( — Е)()"' (й,) ~ А1(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
