Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Его фаза отстает от этого максимума яа л'4 там, где достигается каустика. График самого интеграла А1(Х) (рис. 97) отражает это поведение. Аналогичным образом вблизи каустнки, образующей нижнюю границу волновой области, имеем 480 Е. Вну»ар«нные емны где и а = ~ т(г) аз. и (414) Теперь сращивание двух решений дает ~~2 и»п + и» 4 (415) где и, — другое целое число, и К=- ',, -!/»Р1/«О,( 1)н . (416) что показывает, как решения теории лучей отражаются на нижних каустиках. Одним из приложений этих результатов является нахож.дение условий для захваченных волн.
Сумма двух решений (400) .мон«ет удовлетворять условиям как на верхней, так и на нижней каустике прн условии, что оба значения К одинаковы, а величины а, и с«», определяемые выражениями (407) и (414), имеют значения (408) и (415). Суммируя последние два условия, йолучаем простое условие для захваченных волн н с ) т.
(з) Нг = ( и+ — ) н, (417) где п = и, + и, может быть любым целым числом. Условие (417) известно таян«е в квантовой механике з теории решений типа захваченных волн уравнения Шредингера (72). Заметим, что и/2 появляется в (417) в силу того, что ! 9 ~ достигает своего максимума непосредственно перед каждой каустикой с фазой, отстающей иа Ы4 от этого максимума к моменту времени, когда достигается каустнка. У основной моды п = 0 (для внутренних волн — моды высшей частоты, соответствующей «волнообразным» колебаниям океанического термоклнна) эти два максимума совпадают. Теория лучей, даже когда ее «залечили» при помощи интеграла Эйри, в этом случае может датьтолько грубое представление формы волны, однако условие (417) для частоты во многих случаях оказывается довольно точным. Болыпие значения п соответствуют члену пересечений оси графиком ~ (г), которое, как было подчеркнуто при обсуждении уравнения (71), различно для разных решений типа захваченных волн.
Формы волн при и )~ 1 часто очень хорошо выражаются при помощи двух представлеяий интеграла Эйри (404) 481 4.77, Каугюили Рпс. 100. Сплошные кривые — решения (398), описывающие аахвачеииые волны для случая (ю (з))» -й зг = совет. Штриховые кривые— приближенные решения, получаемые при использовании условия (417).
Этц приближенные решевия вычисляются как пропор(з (. гг з~з ццокальиые ввтегралу Л1 ( — ( — ( т (з)Ы») ~, что согласует- ~ 2,) ся с (404) вблизи г=з„а также с лучевой теорией для больших Н вЂ” г, как зто можно покааать при помощи (374). Постоянное значение величпвы (т (з))з + з» кав для точной, так в для приближенной теорий оказывается точно равным л + 172. Решения являются четными или вечетвыми фувкциями з в зависимости от того, четко или иечетяо и. Все решевия вдесь срормироваиы так, что их максимальные авачеяия оливаковы.
и (411) вплоть до первого пересечения оси в каждом случае, а при гг ) 1, когда онн не совпадают,— при помощи теории лучей в промежутке (рис. 100). Звуковые волны могут распространяться значительно выше спокойного холодного озера в условиях «инверсии», когда температура воздуха возрастает с высотой приблизительно по линейному закону. Причиной такого поведения может быть аахваченная волна. Граничное условие, согласно которому др,7дз обрап(ается в нуль на поверхности озера г = О, может удовлетворяться при максимуме (Х = — — 1,02) решения в форме интеграла Эйри (404). Это дает з = 1,02(),'Р, где Р = юзс,з (Т г ггТИг) (418) является скоростью убывания выражения (396) с высотой, а а»в высота каустики. При этом волновая энергия для любой заданной частоты может быть сосредоточена в слое высоты х„меняющейся по закону ю »7». Таким образом, имеет место тенденция усиления интенсивности звука на поверхности для звуковых колебаний большей частоты.
З1-О«ОО у. Внутренние волны 482 4.!2. Генерирование волн движущимися вынуждающими воздействиями Выше были проанализированы волны, генерируемые осциллирующими источниками для однородных систем трех видов: когда кривизна (илп гауссова кривизна) кривой (или поверхности) волновых чисел либо нигде не обращается в пуль (равд. 4.9), либо всюду равна нулю (равд. 4.10), либо обращается в нуль только локально (равд.
4.11). Теперь мы покажем, что эта часть теории имеет гораздо больше прило.копий, чем мои<ет покаааться первоначально. Объясняется это тем, что указанную теорию можно сразу же обобщить (главным образом при помощи соотношения Допплера (143)) на случай волн, генерируемых движущимися с постоянной скоростью вынуждауощими воздействиями. Такими вынуждающими воздействиями могут быть, как и раньше, осциллирующие источники фиксированной частоты еоо. Однако особое значение может иметь случай стационарных двия.ущихся вынуждающих воздействий (случай еоо =- О); этот случай включает волны, генерируемые стационарным движением корабли, предварительно описанные в равд. 3.10. В этом разделе мы изложим сначала совсем простые модификации теории последних трех резделов, которые необходимы, чтобы применить зту теорию для вынуждающих воздействий с частотой во„движущихся с постоянной скоростью.
Мы примем, что эта скорость равна — У, так что, как и в равд. 4.6, У представляет собой скорость жидкости относительно движущегося источника. В качестве основного примера приводятся корабельные волны (случай юо =- 0 для гравитационных волн на глубокой воде), хотя теория используется также, чтобы показать геометрию волновой картины, возбуждаемой колебаниями движущегося корабля при ненулевой частоте. И, наконец, детально изучаются внутренние волны, генерируемые некоторым объектом, движущимся стационарно в стратифицированной жидкости. В дифференциальном уравнении или в граничном условии источник волн, осциллирующий с частотой оуо и движущийся со скоростью — у,уможно представить вынуждающим членом (419) у (х + Ю) ехр (еюоу), который является обобщением выражения (267). Если у (х) имеет яреобрааование Фурье Р ()с), как в (266), то вынуждаю- Е.1в.
Генерирование волн движущимися воздействиями щий член (419) принимает вид Р (к) елР (с [соог — )с; (ад+ $"ва))) с(1с, сПся сПсо (420) (где переменная йо в двумерных задачах опускается). При (420) волны, генерируемые с волновым числом йп имеют частоту -о-йврд-ыс (421) относительно жидкости. Уравнение (421) совпадает с уже установленным соотношением Допплера (143). Соответствующие волновые движения можно сразу же выписать в виде (' ( Р<") охв(~Ч"" — 'в(~в+'00)) сПс, сй,М,, (422) Г'(сов — йт рп к) с7.:~.123 если, как и в равд. 4.9, в правой части основного уравнения или граничного условия появляется член В (св, )с) а ехр (с (сот — )с,ас)), (423) соответствующий синусоидальной волне а ехр Ь (свс — Йдх~)).
(424) Гслн имеет место (422), то поверхность волновых чисел В (вли в двумерном случае кривая волновых чисел) определяется как геометрическое место точек В (соо )с/Рв 1с) ' 0 (425) на котором подинтегральная функция имеет полюсы, т. е. на котором частота св „относительно жидкости, определяемая выражением (421), удовлетворяет днсперсионному соотношению В (ы, й) = 0 для свободных волн (волн без вынуждения).
Вся теория, необходимая для оценки волн (422), содержится в предыдущих трех разделах. Чтобы представить интеграл (269) в виде (422), нам нужно только заменить В(соо,1с) выражением В(соо — Йв$'и )с) = В с(соо, Ц (426) и в то ясе самое время заменить ав виразссением хе + Р в:=- Х, (427) (координатой относительно источника). Следовательно, для оценки (422) мы можем применять любую часть общей теории, просто осуществив всюду указанные замены.
3 с* 4. Внутренние нонна В частности, подстановка (426) заменяет уравнение (278) для поверхности (или кривой) воляовых чисел уравнением (425). Даже для волн, изотропных относительно жидкости, уравнение (425) становится анизотропным за счет движения источника. Поэтому для оценки волн, генерируемых движущимися источниками, и в случае изотропных систем требуется общая теорня в том виде, который дан в этой главе (теория для анизотропных волн). Значительно раныпе,мы показали (равд. 3.',)), что нужно проявлять осторожность, чтобы правильно применить условие излучения для движущихся вынуждающих воздействий. В общей теории осциллирующих источников условие излучения располагает волны с волновым числом й вдоль направления и нормали к Я, выбирая из двух направлений нормали то, вдоль которого аг возрастает выгае ые.
Чтобы выразить этот факт, для удобства обозначим поверхность (425) волновых чиселдля источников с частотой ые через Я (аге); тогда волны будут обнаружены вдоль той нормали и к Я (аге), которая идет в направлении 5' (аг„-)- б) при б >О. (!Рггведенное зыже правило допускает простую физическую пнтерпретациго. Согласно (421), это направление нормали и является направлением вектора градиента доге!д(сг 1'; —, дсо с)д)сг — )су + Гг (428) где Г, — групповая скорость относительно жидкости. Однако замена (427) означает. что положение волн описывается относительно источника; вектор (428), очевидно, представляет скорость распространения их энергии в указанной системе отсчета.
Двумерные волны, генерируемые движущимися вынуждающими воздействиями, должны принимать асямптотическую форму, определяемую условиямн (288), (289) и (290) после замен (426) и (427). Таким образом, для произвольно выбранного направления г. они включают дополнительные члены сг:.= г' (7сг, )сзюг) ((дд,/дгг)оч) '(8пг)(кбЧХ))~~~ х и ехр [г(ыег — Ус) гХ;+О)) (429) от любых точек ()с",', гс'",') на кривой Я (ые) волновых чисел, где нормаль и, направленная в сторону Я(ые + б), имеет направление Л. Однако вблизи точки перегиба кривой Я (ые) вместо этого нужно использовать аналогично видоизмененный вариант выражения (394). эгы можем легко получить мощность Рт, необходимую, чтобы генерировать волны в этом случае (для нахождения аналогичного выражения в трехмерном случае см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
