Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Когда интегрирование по /с в двумерном представлении интеграла (422) производится с учетом условия излучения, вклад в зиачение атого интеграла дают два полюса (466) при 6, приза. о. Внутренние волна -- ежели Рис, 108б. Для того же случая, что и на рис. 108з, здесь показаны расположение стрелок и соответствующее расположение волн. Эти волны включают стационарные возмущения со сравнительно большим вертикальным волновым числом вниз по потоку от препятствия и возмущения со сравнительно малым вертикальным волновым числом ) т ) вверх по потоку от него. Они включают также вподветревные волны» с длиной волны 2яГ/)У на подветренной стороне препятствия.
нимающем (равд. 4. 9) чисто мнимое значение — / ж Вычет в обоих равен р'(О, и) ехр( — »п»е) рж (уВ (0 / —... г" (О, т)ехр( — »тз). (467) Физически полюсы воспроизводят величины горизонтальной скорости распространения энергии доэо/д/с = »»е + дегlд/с = »»г -»- М ) т ( х (468) для внутренних волн при й = 1 = 0 (х -составляющая групповой скорости которых (91) равна .+-/т' ) т )-»). Одно из значений (468) может быть отрицательным, что соответствует распространению энергии вперед от препятствия, если ) т, ! ( /»е/)г„при этом групповая скорость превышает Тогда перед препятствием выражение (422) равно интегралу по т только э этом интервале от произведения — 2я» на вычет (467), что дает ЛГУ .о=. — 2яе ~ $'т(/уз — Рзтз) 'Р(9.
т) ехр( — етя) е/т. (469) -Ю/У а.1л. Генерирование волн движущимися воздействиями За препятствием мы имеем 501 с/= — 2я/(2 ~ — ~ ) '>'т(Л>» — '>сато) 'г'(О,т)ехр( — етг)с/т, — >е>у (470) что является вкладом от двух полюсов (466), когда ~ л> ) ~ )Л'/р, и только от одного полюса, когда ~ т ! ( Л'/>'. Мы показали, что компоненты распределения источников в области сравнительно болыпого вертикального размера (соответствующего вертикальной компоненте волнового числа, меньшей Л'/у') генерируют возмущение вверх по потоку. Происходит это главным образом потому, что соответствующая групповая скорость превосходит >'. Механику этого явления, а именно, каким образом «двумерные» препятствия сравнительно большого вертикального размера, движущиеся в стратифицированной жидкости, могут толкать перед собой жидкость, можно грубо объяснить следующим образом.
Часть нсидкостн, находящаяся впереди и первоначально двигавшаяся со скоростью (у', О) относительно препятствия, не может обладать достаточной кинетической энергией ((1/2) ро>ез на единицу объема), чтобы сообщить избыточную потенциальную энергию (1/2) р,Л" ьз, необходимую для такого вертикального перемещения ь", чтобы препятствие обойти (либо сверху, либо снизу), а тогда эта жидкость должна скапливаться в слое перед препятствием. Это грубое рассуждение имеет то достоинство, что оно объясняет, почему сильное возмущение, распространяющееся перед двумерным препятствием, полностью отсутствует для трехмерного препятствия, которое генерирует волны только позади себя (рис. 107).
Очевидно, жидкость, дни>кение которой относительно трехмерного препятствия не обладает достаточной энергией, чтобы обойти препятствие при помощи вертикальных перемещений, всегда может совершить атот обход при помощи горизонтальных перемещений. Неинтегрируемая особенность в интеграле (469) при | т ! = = Лг/ >е отражает реальное физическое явление. Энергия в фурье- компонентах при значениях ) т ), чуть меньших Л'/)е, может распространяться вперед со скоростями, только немного превосходящими скорость препятствия.
В пределе она может «скапливаться» перед препятствием, так что возмущение может возрасти до очень больших значений. Однако атот рост на практике ограничен диссипацией, нелинейностыо или ограниченной продол>кительностью вынуждающего движения, Наряду с воамущениями в виде слоя перед препятствием и за ним на рис, 108б показано танисе, что существуют цилиндри- 502 е.
Внутренние еолнн ческие волны с длиною 2яо'/Л', соответствующие волновым числам на окружности. Эти волны стационарны по отношению к препятствию и обнаруживаются за ним во всех направлениях, образующих с горизонталью угол О, меньший я/2. Их форма определяется выражением (429) в виде д = Р (У еЛ1 соз О, У еЛ' з1 и 0) (Сд О) (Ояе/()У~'Х)) '/з х Хехр~ — Е ~У ~ТХ+ 4 я)1, (471) где Х вЂ” расстояние от препятствия. (Здесь мы использовали тот факт, что кривизна окружности х равна Р/Л~, в то время как (дВ,/дя)-' равно (2Л')-г ~д О; чтобы включить комплексно сопряженный член, был снова введен коэффициент 2.) В силу тех же причин, что и ранее, пря О -ч- я/2 появляется сянгулярность поведения: это волны с волновыми числами, приближающимися к й = О, ! т ! = Л~/у', для которых величина скорости распространения энергии е) + е' снова стремится к нулю.
К тому же при этом требуется очень большое время, чтобы эти волны ушли из области вынуждающего воздействия; одяако происходящее в результате нарастание волн вертикально над движущимся препятствием на практике снова ограничено диссипацией, нелинейностью или же ограниченной продолжительностью вынуждающего движения.
4ЛЗ. Вопноводы Введение во внутренние волны, подобное настоящей'главе, не должно создавать впечатление, что все интересные гравитационные волны в стратифицированных жидкостях имеют длины волн, измеряемые в метрах (или даже миллиметрах), а не в километрах. Конечно, большая часть этой главы посвящена теории лучей и поэтому тем сравнительно коротким волнам, к которым можно применить эту теорию. Даже волны, захваченные в океаническом термоклине (равд.
4.3), имеюттолько немного большие длины. Однако в атом разделе будут описаны и волны с длинами во много десятков километров, которые благодаря совместному действию акустических и гравитационных волн могут горизонтально переносить на большие расстояния изменения давления в стратнфицированной атмосфере Земли. Как и в других разделах настоящей главы, мы включаем этот аспект внутренних волн в контекст общей теории; на этот раз — теории лвазиодномернах еолн в лоидяоппях или, короче «.18. Во»нов»да 503 говоря, волноводов.
Строго одномерные волны в жидкостях, рассмотренные в гл. 2, включают движения жидкости, которые с высокой степенью приближения являются продольными, т. е,происходят в направлении распространения. В волноводах распространение в одном измерении обусловлено движениями жидкости, имеющими наряду с продольными также и значительные поперечные составляющие. Распространение в волноводах дает хорошие иллюстрации одномерной теории дисперсии и групповой скорости. Между прочим, в электротехнике часто используют волноводы для электромагнитных волн, но в этой книге мы будем рассматривать только волноводы для волн в жидкостях. Мы начнем с акустических волноводов, в которых звуковая энергия переносится вдоль трубок постоянного поперечного сечения.
Мы покажем, что ниже некоторой определенной частоты «ом волновое движение должно быть строго одномерным, но при больших частотах оно становится существенно трехмерным. Особый интерес представляют детали, связанные с переходом в выходной мощности компактного источника от строго одномерной формы к трехмерной форме для существенно неограниченной жидкости (ср. с равд. 1,4) при росте частоты. Волноводы не обязательно имеют границы со всех сторон: они могут быть односторонними. Атмосфера, ограниченная только снизу, действует как односторонний «гравитационно- акустический волновод», почти вся волновая энергия которого сосредоточена в пределах пограничного слоя высотой около ЗО км.
Мы изучим это при помощи объединенной теории звуковых и внутренних волн, которая была развита в равд. 4.2. С этой точки зрения воду со свободной поверхностью можно было бы рассматривать как «односторонний волновод», который допускает одномерное распространение поверхностных волн, почти вся энергия которых сосредоточена в пределах слоя, примыкающего к свободной поверхности и имеющего толщину, равную четверти длины волны (см. гл, 3). Истинно квазиодномерное распространение, однако, лучше иллюстрируется (поскольку волны на воде, в конце концов, распространяются в двух горизонтальных измерениях) береговым явлением «предельных волн». В конце этого раздела дается анализ того, каким образом «предельные волны» переносят вдоль отлогого берега сигналы с довольно большими длинами волн, причем их энергия сосредоточена в прибрежной полосе, ширина которой сравнима с этими длинами волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
