Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Процесс, в результате которого достигается предельное значение (499) для болыпих ю, представляет большой интерес. Для компактного источника выражение (494) принимает вид а (,) = 2 ~ гм„(ОЦ'. (500) Из (481) и (487) получаем 2лСмиРмл,(0)=Сми ~ /ми(х) Их= ох ~ ~ /(х, р, з) рми (у, з) лр в/з; -в А (501) этот вптеграл весьма точно равен амплитуде произведения суммарной напрюкенности источника д на значение рмк (у„зв) в центре (у„гв) области источника (которая компактна по сравнению с св/юв и, следовательно, также и по сравнению с ббльпшм масштабом с,/юми области изменения величины рмл). В результате выражение (493) для мощности принимает вид Р= — р,'свю,'д'(1) '~"„~~' Сми(р„ц,(у„зв)]'(юв' — ю)вл) '/'.
ымлч "в (502) п (ю) = (ю/св)'А/(4л), (504) где А — площадь поперечного сечения волновода. Ясли частота вв достаточно велика, то сумма (502) содерлсит так много членов, что ее мозкно аппроксимировать интегралом. Для того чтобы это сделать, нужно определить и (ю) как гладкую функцию ю, представляющую приблин1енно число собственных функций с собственной частотой, меньшей ю. Например, в прямоугольнике (472) это число собственных функций (478) совпадает с числом точек (М, Л') с целыми координатами внутри четверти эллипса М )» О, Х )~ О, М' (юЫ(с,л))-'+ М'(ю/в/(с,л))-' ~ (1. (503) Очевидно, в качестве и (ю) можно взять илои/адь четверти эллипса (503), а именно произведение его полуосей вЫ(свл) и юЫ(свл) на л/4. Это дает в.
Внутренние ее»ни ЫО Каково бы ни было значение и (ю), мы аппроксимируем сумму (502) при большом о»е выражением Рж — Р 'сею-"дг(Г) ) А-г(еое юг)-ет п'(ег) а«о. (505) е Здесь и' (ю) аю является сглахеепным значением группы членов с ат ( юмк ( ее+ ееео в указанной сумме, а сглаженное значение величины Смен (рмн (у„г,)Р, согласно (482), равно ее среднему значению А г. Если п (ю) имеет значение (504), то выражение (505) легко вычисляется и получается равным выходной мощности источника (499) в неограниченной среде. Более того, нетрудно показать, что выражение (504) является единственным представлением функции и (от), при котором (505) не зависит от оге и равно мощности (499). Этот факт мох«по рассматривать как «физическое доказательство» неизбежной истинности классической теоремы, утверждающей, что уравнение (504) действительно справедливо при любой форме лолеречноео сечения с площадью А.
Интересно проследить детали перехода от (498) к (499) при возрастании юе в частном случае волновода прямоугольного сечения (472) с компактным источником в центре. Выражение (478) дает [™(2 ' 2 )г 1 (506) 1, если и ЛХ, и Л четные, 0 в противном случае, в силу чего отношение мощности (502) к ее значению (498) при низких частотах равно Р ~( ~ —, А,— г) — — Аюе 'Я „', "СзЬ (ю' ,— е»м ) '", (507) 0 0 ее«якое М, н четные где С н определяется условием (483).
На рис. Ю9 показано, каким образом выражение (507) совер. шает переход от постоянного значения, равного 1 прн еое ( ю к своему квадратично возрастающему асимптотическому значению при больших частотах, на основании (499) равному (о» »/се)'А ~(2п). (508) Парадоксально, что безразмерная выходная мощность (507) является убиваюи«ей функцией всюду, где она непрерывна! 512 о.18. Воляоводм 500 40 1О 1 2 3 4 В б Ювушт Р:ю.
109. Выходная мощность Р компактного акустического источника. с частотой юо, расположенного в центре волновода прямоугольного поперечного сечения с отношением пшривы к высоте ЫЬ = РГ2. Ордината представляет отношение мощности Р к значению (498), которое она всегда имеет при воч': ю (В действительности для источника, расположенного в центре, она имеет зто значение при юв с. 2а .) Непрерывная кривая представляет предельную форму (505), принимаемую в случае, когда волиовод отсутствует и источник ивлучает в открытое пространство.
Разрывная кривая представляет точное выражение (507). Однако при каждой собственной частоте юмн она резко возрастает (теоретически вплоть до оо), но очень быстро снова оказывается близкой к асимптотической кривой. Указанное отклонение появляется только при частотах, которые совсем незначительно превосходят собственную частоту юьгя; диссипация анергии в дальнейшем сгладила бы зги отклонения. В случае звуковых волн в трубе мы видели, что распространение при особенно низких частотах происходит посредством дви- в.
Внутренние волны И2 жений весьма простого вида, аналогичных (473). В волноводах, вообще говоря, дело обстоит иначе. Атмосфера может действовать как односторонний волновод, и наибольший интерес в таком волноводе представляют низкочастотные колебания, которые могут переносить изменения давления над поверхностью Земли. В данном случае нельзя использовать такое же простое дисперсионное соотношение, как и (473), поскольку скорость звука со меняется с высотой.
К тому же гравитационные волны связаны с внутренними волнами; действительно, волновое число мало по сравнению с [ — р,(г)/р, (г)], что противоречит условию (52), при котором звуковые и внутренние волны не связаны друг с другом. Уравнения (35) и (36) описывают гравитационно-акустические волны в стратифицированной атмосфере. Распространение в гравитационно-акустическом волноводе происходит в виде волн Я = Р (г) ехр [1 (еог — йх)], ре = Р (г) ехр [1 (во~ — /вх)], (509) причем на основании (35) и (36) мы имеем ([/У (г)Р— юг) Д (г) = — ио (Р' (г)+ д [со (г)]-' Р (г)) (510) и в Е~ (г) = ехр [ ) д [со (г)Гг е/г), о в Е (г) = ехр ( ~ д-е [/[/ (г)]г е]г~, Ъ (512) и важно отметить, что их произведение Е, (г) Ео (г) = [ро (О)/ро (г)] (513) изменяется обратно пропорционально плотности; кроме того, мы моя<ем показать, что при атмосферных условиях выражение [Ег(г)/Е, (г)] = [со (г)/со (0)]оехр ( — (2 — у) ) у [со(г)] ~е]г] (514) о представляет собой экспоненциально убывающую функцию г (рис.
110). (сог [со (г)] ' — /вг) Р (г) = ]в Я' (г) + д ~ Ф (г)Р ч (г) ). (511) Экспоненциальные интегрирующие множители для этих урав- нений имеют вид а.И. Волноесды 540 . ИО 500 00 0,5 \о 20 30 г,лм Рис. 110. Характерное ивмекекие скорости звука с высотой в нижнем тридцатикилометровоы слое атмосферы и соответствующее отношение Е, (г)/Е, (г), получеккое ив (514) при у = 1,4. Восходящая компонента массового потока д равна нулю на поверхности Земли, т.
е. при г = О, в силу чего соответствующее решение уравнения (511) имеет вид с тг(л)=[(шЕг(г)] ' ~ (ш~ [со(лг)гг — ВЧ Р(гг) Ег(гг) дгг. (515) Ь Тогда решение уравнения (510) формально можно записать в виде г (г) = [Ег (г)] [ Р (()) + ~ (Р' (лг)] — шг) [Ег (гг'/Ег (гг)] Егг М 'с ы Х ~ ([с, (гг)] г — (ш/й) ') Р (лг) Ег (гг) с(гг), (516) с а зто дает интегральное уравнение, которое позволяет определить Р (г) методом последовательных приближений.
Первое ге-сшсс Л, Внутренние еелнее приближение имеет вид (517) Рт (г) = [Е, (з)] 'Р (О). Оно было бы точным решением только в изотермической атмосфере с постоянной скоростью звука се (з); при этом двойной интеграл в уравнении (516) может обратиться в нуль, если значение ео//е равно атой постоянной. Если же это не так, то мы переходим ко второму приближению Р, (з), определяемому уравнением (510), в правой части которого вместо Р (г) подставлено Р, (г), и т. д.
На каждом шаге (и+ 1)-е приближение Р„+, (з) дается формулой (516) с заменой Р (з) на Р„(г) в правой части '). Соответствующее значение ео//е должно быть таким, чтобы интеграл в (515) стремился к нулю, когда з -~ оо; это условие дает (ео//е) '=(~ [с,(з)] 'Р(х) Ег(з) е[з)Д ~ Р(з)Ег(з)е[з). (518) о о В противном случае для создания волны потребовалась бы бесконечная энергия.
Действительно, выражение для плотности потенциальной энергии включает (см. (37)) члены — [Л' (з)] г [~ (х) ] г [еогро (г)] ' и — [Р (з) [г [со (з)Гг [ро (з)] ' (519) обусловленные гравитацией и сжкмаемостью соответственно, причем величина [р, (з)] ' на основании (513) пропорциональна Ь', (з) Ег (з). Оба члена (519) акспоненциально возрастают с высотой как Е, (з)/Ь', (г) (см. (514)), если интеграл в (515),.который является также и внутрепним интегралом в (516), не стремится к нулю при больших з. Уравнение (518) показывает, что величина (ео//е) з, обратная квадрату скорости волны, представляет собой взвешенное среднее величины [с, (з)] ', обратной квадрату скорости звука.
Весовая функция Р (г) Ег (з) обычно меняется таким образом, что скорость с, (з) принимает значение, находящееся между ео значениями на уровне Земли и в стратосфере. Так, например, первое приближение (517) дает весовую функцию, пропорциональную функции (514), графически изображенной на рис. 110. Как правило, значение се в стратосфере составляет примерно ') Заметим, что избыточное дазлевле принимает значения, которые находятся з одлвакозой фазе ка всех высотах кзд данной точкой ла поверхности Земли.
В самом деле, если фаза выбрана таким образом, что Р (0) действительно, то в зсе злачелия Р„(е) также действительны. 4.1г. Волн«зови 290 м/с (что соответствует температуре порядка 210 К) и с» убывает до этого значения от своего значения на уровне Земли при возрастании г от нуля до величины, примерно равной 12 км. При значении на уровне Земли, равном 340 м/с, соответствующее взвешенное среднее величины ]с, (г)] ' отвечает скорости волны, приблизительно равной 310 и/с. Зто значение близко к скоростям волн, обычно наблюдаемым при распространении изменений давления на большие расстояния.
(Первое точно измеренное возмущение такого типа было воздушной волной, возникшей в реаультате взрыва вулкана Кракатау в 1883 г.) Использование в весовой функции первого приближения (517) в качестве Р (г) дает скорость волны, не зависящую от частоты. На самом деле функция Р (г), определяемая уравнением (516), зависит от частоты «о и утрачивает эту зависимость только когда «о мало по сравнению с частотой Вяйсяля— Брента Л'.
Влияние этой зависимости от частоты на весовую функцию приводит к небольшой дисперсии: фактически происходит небольшое уменьшение скорости волны, пропорциональное «о», когда о» возрастает от нуля. Однако это вызывает втрое большее уменьшение групповой скорости. Зта глава заканчивается описанием морских «односторонних волноводов». Речь идет о распространении дливмых воли вдоль береговой линии в том смысле, что ббльшая часть их кинетической энергии связана с горизонтальными движениями воды, незначительно меняющимися с глубиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
