Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Источник, колеблющийся с частотой го ( ьэ„порождает во вращающейся жидкости перенос энергии волн под углом (13) 9 = агсзгп (аь!ьоо) к осп г. При двумерном распространении эти волны образуют конфигурацию в форме андреевского креста, тогда как при распространении от точечного источника в трех измерениях они образуют двойной конус.
Как было выяснено в равд. 4.10, имеется только один или два гребня, но эьапрпвление их распространения противоположно направлению движения внутренних волн. Предельный случай (со'14») — ь 0 представляет даже больжий интерес, чем соответствующий предельный случай для внутренних волн. Замена соз на зэп означает, что в этом случае угол 9 стремится к вулю.
Любое твердое тело, находящееся в очень медленно меняющемся движении, посылает поэтому возмущения вдоль единственного направления (9 = О) и с конечной скоростью ') (которая для компонент с длиной ), составляет ЯоЕ!(2я)). Отсюда следует, что при равномерном движении вдоль оси вращения со скоростью И твердое тело может толкать перед собой столбчатый сигнал, состоящий из всех составляющих возмущения, длины волн которых ), удовлетворяют условию (14) 1)»Л ) 2яК Это явление очень сходно с другим — «столбом Тейлора», наблюдаемым при движении твердого тела под прямым углом к оси вращения с очень низкой скоростью, величина которой мала по сравнению со значением групповой скорости ьс»Х!(2я) для практически всех длин волн, порожденных телом данного размера. Это означает, что такое столбчатое возмущение, простирающееся в направлении, определяемом углом 9 = 0 (параллельно оси вращения), должно сопровождать подобное движение, находясь с обеих сторон от тела.
Описанные до спх пор волновые движения обычно называют «инерционными волнами», в частности потому, что их энергия является полностью кинетической: кориолисова сила неконсервативна и не может вызвать накопления энергии или любого другого ее изменения. Действительно, уравнение (3) означает, ') В противоположность этому э случае внутренних волн при предельно»э угле О = я/2 этот результат получается только для двумерного источника (рэзд. 4.12).
»4-01100 530 Э»зло» что дИЮдг =- — ту ° 1, где, как обычно, 1 = р,п, но И' — кинетическая энергия р, (п.п))2. Это также означает, что в плоской волне вида (6) частицы жидкости движутся с постоянной нннетнческой энергией (по круговым траекториям, перпендикулярным волновому вектору). Полученные выше для однородной жидкости результаты, хотя и представляют очевидный интерес п подтверждаются лабораторными опытами, практически не имеют отношения к таким заметно стратифицироваппып средам, как океан и атмосфера. Значение Й» для вращения Земли составляет 11» = 4я (суткп)-' .=- 1,43 10-'с-", (15) Соответствующие значенпя частоты Вяйсяля — Брента Х, о которой упоминалось в равд.
4.1, группируются вблизи величины порядка 10-' с-'. Это наводит на мысль, что характер распространения внутренних волн в океане и атмосфере определяется прежде всего влиянием страткфпкации. Другкми словами, значение величины «о' (й' + Р + т') определяется прежде всего вкладом, обусловленным тяготением, который, если ось г направлена вертикально, равен (равд. 4.1) л«(й + г'), а не членом, получающимся из уравнения (7), который равен »«„'и» при совпадении осн г с осью вращения. В большинстве случаев подробное рассмотрение подтверждает этот вывод, но важное исключение (как подскааывает уравнение (16)) составляет случай очень длинных волн с чрезвычайно малыми я и й Говоря на языке, принятом в равд.
4.13, влияние вращения Земли в основном сказывается на волноводных модах колебаний, длина волны которых намного превьппает глубину океана. Самую низкочастотную среди пих моду океанографы называют «баротропнойм Эта волна, по терминологии гл. 2 и 3, является «длинной волной» и не подвержена заметному влиянию стратификации. Хотя более высоночастотные волноводные моды, называемые «бароклпннымн», также представляют определенный интерес с точки зрения океанографии и они подвержены одновременно влияниям и стратификации, и вращения Земли, здесь мы сконцептрируем внимание на длинных волнах в узком смысле слова.
Движение жидкости в таких длинных волнах является в основном горизонтальным движением, обнару>кивающим несущественное изменение с вертикальной координатой г, даже если оно допускает малый подъем Ь (положительный илн отрицательный) свободной поверхности. При этих условиях горизонтальная составляющая векторного уравнения (3) содер- 531 Часть з. Различные типы золы в взыдпвзпзлх жит только вертикальную составляющую невозмущенного значения завихренности»з».
Эту вертикальную составляющую океанографы всегда обозначают через /, она равна абсолютной величине (15) вектора Я„умноженной на синус широты, Снова можно взять р, равным рздь (где д — наблюдаемое ускорение свободного падения на вращающейся Земле — содержит, как всегда, малый отрицательный член, обусловленный центробежной силой). Таким образом, линеарпзованными уравнениями количества движения для длинных волн будут уравнения ди/д1 = — у д ь/дх + /и, ди/д1 = — д д '"/ду — /и, (17) которые должны быть решены совместно с тем же уравнением неразрывности д~/д1 — ' д (Ьи)/дх + д (йо)/ду = О, (18) что было использовано в раад. 4.13.
Для длинных волн, описываемых уравнениями (17) и (18), развита обширная теория. Их свойства наиболее просты при таких условиях, когда можно, сохранив хорошую точность, пренебречь изменениями невозмущенного значения глубины й с координатой и «кориолисова параметра» / с гпиротой. В атом случае, когда Ь и / могут считаться постоянными, добавочная вертикальная завихренность, обусловленная волновым движением, принимает значение (19) ди/дх — ди/ду = /ь/й.
Этот результат может быть выведен пз выписанных выше уравнений или объяснен тем, что невозмущенные вихревые линии изменяют свою вертикальную протяженность от Ь до Ь -,'- ь. Тогда уравнение (18) вместе с уравнениями (17) и (19) означает, что д'~/д1» = дй (д»Цдхз + д'~/ду») — /»~, (20) так что двумерным дисперсионным соотношением для длинных волн будет ьзз = дй (й» + 1») + /' (21) й(ы отметим здесь интересный контраст: если в случае внутренних волн вращение ограничивает нх частоты величинами, меньшими ьз„то в случае длинных воли оно оказывает в точности противоположное воздействие, ограничивая со величинами, ббльшими 7'. Эти длинные волны распространяются изотропно, но с дисперсией. Величина групповой скорости может быть записана в виде ц (уй)зез (ю» /»)1/3 ш 1 (22) 532 Эззгог Она стремится к нулю, когда ю спадает до порогового значения 1.
Конечно, многие встречающиеся в природе длинные волны, такие, как, например, цунами, порожденные землетрясениями, обладают главными частотами ю, много ббльшими 1. Во всех таких случаях влияние вращения Земли на нх распространение пренебрежимо мало. Однако теория этого эффокта чрезвычайно важна по одной серьезной причине: приливные силы возмущают океаны с частотами, сравнимыми с 1. Наибольшая пз этих сил обусловлена избыточным гравитационным притяжением Луной воды, находящейся к ней ближе, чем центр Земли, н соответствующим уменьшенным притяжением воды, находящейся от нее дальше, чем центр. Частота изменения этой силы в кан дой фиксированной точке вращающейся Земли (причем "(уна тоже движется по своей орбите) принимает значение 1,40 10-" с-г, носколько меньшее 1)г (и соответствуинцее периоду в 12 часов 25 минут). Однако она превышает 7' на всех широтах нпяле 75'.
Солнце порождает несколько меньшие силы, имеющие частоту, очень близкую к Пг .= 1,45 10-" с-'. Они особенно важны каждый четырнадцатый день (в полнолуние или в новолуние), когда приливные силы, порожденные Солнцем и .)уной, усиливают друг друга. Свойства распространения длинных волн, проявляемые решениями соответствующих уравнений, оказывают особенно существенное влияние на приливные движения в мелких морях. Из-аа ограниченности скорости распространения, определяемой формулой (22), такие моря реагируют на приливы и отливы в примыкающем глубоком океане с некоторым опозданием. Неизбежное увеличение амплитуды волны при переносе ее энергии в более мелкие воды, где она оказывается локализованной в области с уменыпенной глубиной, ведет к возрастанию практической важности точного знания этих эффектов. В этом смысле существенны другие виды колебаний, отличные от описываемых дисперсионным соотношением (21).
К ним относятся квазиодномерные моды распространения колебаний в волноводе, известные как «кельвиновские волныг, которые можно рассматривать как волны (разд. 4.13), модифицированные влиянием вращения Земли. Помиью предсказуемых прнливно-отливных сил астрономического происхождения на приливно-отливные движения в мелких морях оказывают влияние и некоторые другие силы. К ним относится сила трения ветра о поверхность воды. Очень сильные ветры, дующие в периоды максимальных приливных движений, могут представить серьезную угрозу сооружениям береговой Часть 1. Различные тины волн в жидкостях защиты.
Для того чтобы изучить такую угрозу британским берегам, в Институте океанографических наук была разработана программа для численного репгения уравнений (17) (в которых были восстановлены нелинейные члены и в правые части добавлены члены, описывающие произвольные силы) во всей области мелких морей, окружающих Британские острова, с учетом уравнения (18); вводимые данные отвечали известным приливно-отливным движениям астрономического происхождения в прилегающем глубоком океане. При предсказаниях относительно ветра эта программа может быть использована для того, чтобы определить, когда необходимо ввести в действие различные аварийные сооружения береговой защиты. Длинные волны с частотой со ~ обычно ведут себяв приблизительном согласии с дисперсионным соотношением (21), даже если г" и Ь изменяются.