Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Тем пе менее обнаружено, что их изменение делает возможными также некоторые волнообразные движения с много меньшими частотами, называемые «волнами РоссГ>и». Они могут оказаться особенно важными, когда изучается реакция большого океана на приливно-отлпвные силы. При таком изучении необходимо, конечно, покончить с декартовыми координатами и перейти к сферическим координатам, подходящим для формы Земли. На этом этапе, однако, мы сами должны покончить с нашим очень кратким описанием волн во вращающейся жидкости, отослав читателя к библиографии за дальнейшими сведениями по затронутой тематике.
Как указывалось ранее, для движений однородной жидкости вихревые линии и силовые линии магяитного поля обладают одним и тем же важным свойством. Полное нелинейное уравнение для завихренности И имеет внд (23) д1)!дГ=гог(п М Й)+ъЧ'Й, где последний член, пропорциональный кинематической внзкости т, описывает диффузию завихренности. Если этот член отбросить, то уравнение (23) будет означать, что вихревые линии движутся вместе с лсидкостью. Если же взять его в лпнеаризованной форме, в которой 1с заменяется в правой части на 1ео, то оно совпадет с уравнением (2), описывающим инерционные волны. Соответствующее уравнение для магнитного поля В имеет вид дВ!д1 = го1 (и х В) + (т~)я) СгэВ, (24) где т — удельное сопротивление, а )л — магнитная проницаемость.
Уравнение (24) получается из следующих соображений. Электродвижущая сила в проводнике, движущемся со ско- Эпилог ростью и, равна сумме электростатической силы Е и лоренцевой силы н Х В. В соответствии с этим плотность тока ) определяется из уравнения Е + и Х В =- т). (25) Тогда уравнение (24) следует из формул дВ/дг= — госЕ, (т В=О, гогВ=р) (26) — уравнений Максвелла для таких процессов (в среде с постоянной проницаемостью), при которых не возникают настолько высокие частоты, что в последнем уравнении становятся существенными токи смещения.
В уравнении (24) коэффициент диффузии т/р, как правило, очень велик: он болыпе, чем обычная величина кинематической вязкости т. Так, для ртути (электропроводящей жидкости, удобной для экспериментов) т/р =- 0,75 мЧс. Такой громадный коэффициент диффузии делает почти яевозмо'ккым воспроизведение в лабораторных условиях интересующих нас аффектов, зависящих от конвективного переноса в жидкости силовых линий магнитного поля.
Даже для жидкого натрия, низкое удельное сопротивление которого делает предпочтительным его использование в системах охлаждения с электромагнитным перекачиванием, т/р = 0,08 м'/с, что соответствует характерной длине диффузионных процессов около 0,3 м. Очень высокие коэффициенты диффузии могут, однако, стать относительно незначительными, когда речь идет о системах масштабов Земли, например для движений в жидком ядре или в ионосфере, которые могут обусловливать часть наблюдаемых флуктуаций магнитного поля Земли.
Хотя типичные коэффициенты диффузии в ионосфере могут принимать еще большие значения, порядка 10' мЧс, онн вполне могут быть относительно незначительными для явлений со столь большими масштабами длины. Таковы некоторые из причин, по которым мы кратко изложим ниже замечательные свойства волн, описываемых уравнением (24) в ого бездиффузионной форме дВ/д~ = го1 (и х В). (27) Когда силовые линии магнитного поля конвективно переносятся жидкостью, сила, с которой они оказывают обратное воздействие на жидкость, может быть выражена любым из двух способов: череа вышеупомянутую лоренцеву силу, действующую на движущийся заряд и имеющую вид ] х В = и ' (гос В) м В = р ' ~В ту — р ( — В') ~ (28) Часть 1.
Еавяикние типы волн в жидкостях б35 или через систему зввивалвпгпных напряжений. Она состоит из изотропно действующего давления (1/2) р-"В' и, кроме того, равномерного растяжения, равного р-'В' на единицу площади поперечного сечения и направленного вдоль силовых линий магнитного поля. Последний способ позволяет быстро сделать заключение о природе распространения волн в однородном магнитном поле В„когда сжимаемость несущественна. Достаточно чисто физического обоснования: в условиях несжимаемости давление жидкости может устанавливаться так, чтобы в точности скомпенсировать изменение магнитного давления, поэтому каждая силовая линия мапгитного поля и движущаяся вместе с ней жидкость водут себя подобно простой натянутой струне. Действительно, окружающий силовую линию поля объем жидкости с площадью поперечного сечения А обладает на единицу длины массой р„А и натяжением р-'В,'А.
Поэтому поперечные движения происходят в одном измерении вдоль нее, подобно распространению волн вдоль натянутой струны, со скоростью волны ( Иатяжеиие 1 Пэ де 29) си — — ( 1 Масса иа единицу длины / (ррв)пе ' известной как альвеновская скорость волны. Удивительная особенность этого вывода ааключается в том, что в трехмерном случае в неограниченной жидкости волны могут распространяться в одном измерении вдоль силовых линий магнитного поля.
Тот же вывод следует из непосредственного рассмотренна малых возмущений. Малые отклонения В от постоянного невозмущенного магнитного полн (30) в„=(о,о, В,) удовлетворяют уравнению дв/д1 = Ве дп/дз (31) (полностью аналогичному уравнению (2) для вращающейся жидкости). Уравнение количества движения жидкости при уравновешивании давлением жидкости магнитного давления принимает вид ре дп/дд = р 'Ве дв/дз. (32) Из уравнений (31) и (32) следует, что каждая составляющая поля скоростей (или магнитного поля) удовлетворяет уравнению дхп/д1е =- (В'/(рр,)) д'и/дг', (33) описывающему одномерное распространение в направлении оси г с альвеновской скоростью волны, определяемой формулой (29). 536 Эпилог Заметим, в частности, что не только поперечные составляю- щие скорости к распространяются подобным образом.
Очевид- но, составляющая скорости и вдоль силовых линий в солено- идальном движении непосредственно связана с поперечными составляющими и поэтому подчиняется тому же закону рас- пространения. Если источник излучения имеет фиксированную частоту ю„ то уравнение (33) служит особым случаем систем, рассмотрен- ных в начале равд.
4.10. Следовательно, поверхность волновых чисел Я будет тогда парой параллельных плоскостей. Любой такой случай, как там показано, соответствует одномерному распространению волн вдоль направления, перпендикулярного этим плоскостям. Таким образом, отсутствует обычное умень- шение амплитуды при распространении волн в двух плп трех измерениях. Если диссипация энергии невелика, то такой тип распространения может допускать сохранение значительной амплитуды на исключительно больших расстояниях. Искривленные силовые линии магнитного поля могут дейст- вовать опять же как лучи в смысле равд. 4.5.
Можно ожидать, что любое возмущение, характерное волновое число которого мало по сравнению с их кривизной, будет распространяться вдоль них, Эти выводы важны, в частности, тем, что они побуждают тщательно изучить, насколько эффекты, которыми мы прене- брегли выше, могут их изменить. Мы не будем далее развивать сделанные ранее замечания о диссикатнвных процессах (вязко- сти и в особенности электрическом сопротивлении), но укан'ем некоторые конкурирующие недисснпативные эффекты.
В проведенном выше исследовании мы пренебреглп сжимае- мостью. Однако почти так же, как в равд. 3.1 и 4.2, можно сде- лать простую оценку: сгкимаемостью действительно можно пренебречь, если альвеновская скорость волны, определяемая формулой (29), мала по сравнению со скоростью звука с,. Тогда изменения плотности за счет изменения давления жидкости должны происходить слишком медленно, чтобы стало неверным предположение о соленоидалыюсти поля скоростей. Для газа (например, верхних слоев атмосферы, известных как ионосфера и обладающих злектропроводностью нз-за фото- ионизации) альвеновская скорость волны (29) может быть малой по сравнению со скоростью звука (уро!ро)ыг тогда и только тогда, когда магнитное давление (1)2) р "Ломало по сравнению с давлением газа рю Величина магнитного поля Земли Во имеет типичное значение около 5.10-' Тл в средних геомагнитных широтах (здесь Тл — тесла, единица напряженности в системе СИ, равная 10' гаусс; заметим также, что проницаемость р Часть 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
