Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Несмотря на то что распространение происходит вдоль береговой лияии, волны не являются одномерными, поскольку соответствующие горизонтальные движения воды в такой же степени перпендикулярны береговой линии, в какой и параллельны ей. Распространение таких длинных волн в воде с плавно меняющейся глубиной Ь (х, у) удовлетворяет уравнению неразрывности д~/д/+ д (Ьи)/дх+ д (Ьо)/ду = О, (520) которое приравнивает скорость.изменения возвышения свобод. кой поверхности Ь взятой с минусом двумерной дивергенцин вектора потока (Ьи, Ьо).
С учетом уравнений количества движения ди/д1 = — уд у'дх, до/дг = — дд Цду (521) уравнение (520) дает д»~/д1» = д (уЬдТ~дх)l/дх+ д (дЬд~/ду)/ду. (522) Зто уравнение, конечно, переходит в двумерное волновое уравнение со скоростью волн (уЬ)'ч при постоянной глубине Й. зз '516 э. Внутренние аэюьч Когда Ь зависит только от координаты у, представляющей собой расстояние от береговой линии, уравнение (522) может описывать квазиодномерное распространение вдоль береговой линии, если ь = Я (у) ехр [( (шг — Йх)), (523) где дЬ(у)l"(у) + уЬ'(у) 22(у) + [оээ — дЬ(у) Ьэ) Я(у) = О. (524) Для нас представляют интерес случаи, когда Ь (у) возрастает с расстоянием у от береговой линии. Тогда там, где Ь (у) становится болыпнм, уравнение (524) приближенно можно записать в виде (525) и только решение, в котором приближенно (526) Я (у) пропорционально ехр ( — йу), имеет конечную энергию.
Поэтому мы будем отыснивать решения уравнения (524), которые удовлетворяют атому условию, когда Ь (у) становится большим. Существует один случай, когда (526) является точным решением уравнения (524) при всех у. В этом случае Ь = ру при постоянном уклоне дна 6. Тогда функция (526) всюду удовлетворяет уравнению (524) при условии, что (527) Это классическая предельная волна Стокса "). Для того чтобы визуально представить себе горизонтальные движения жидких частиц в стоксовой предельной волне, нужно только взглянуть на рис. 50 и считать, что верхняя часть рис. 50 представляет собой береговую линию, а траектории частиц изображают горизонтальные движения жидкости вблизи береговой линии при распространении предельной волны.
Это объясняется тем, что на основании уравнений (521) скорость (и, и) соответствует безвихревому движению, определяемому ') Достаточно любопытио, что Стовсу не нужно было строэюь длинно- волновое приближение, поскольку потенциал скорости, пропорциональямй ехр ( — 1хх — ау) и нэ аависящвй от х, э точности удовлетворяет уравнению Лапласа. Кроме того, он в точности удовлетворяет краевому условню на дне с постоянным уклоном, если ось у направлена вдоль дна в (как и прежде) перпендикулярна береговой лвввн. Наконец, он в точности удовлетворяет на свободной поверхности условию для у, если (527) выполняется прн [), равном синусу (а не, как выше, тангенсу) угла наклона дна к горнаонталв; само собой рааумеется, что различие лревебрежвмо мало прв умеренных уклонах.Нн однова этих замечаний неприменимо, однако, к'предельным волнам на дне с незоатохнным уклоном.
4ПХ. Воааоеодв потенциалом скорости (щ~lа), который, согласно (523) и (526), пропорционален ехр [1 (ыà — Йх) — Ьу), а это точно такая же зависимость от х и у, как и аависимость от х и з, использованная при построении рис. 50. Заметим также, что в силу условия (527) скорость волны (др/Ь)'~а и групповая скорость уменьшаются вдвое. Решение типа стоксовой предельной волны для Ь = [)у является простейшим, по пи в коем случае пе изолированным решением уравнения (524). Фактически предельные волны распространяются вдоль берегов с плавно извеняющи.ися уклоном Ь'(у), удовлетворяя условию (527) при р, равном в некотором смысле промежуточному значению уклона в той области, где имеют место решения типа предельной волны.
Для того чтобы грубо продемонстрировать этот факт, мы будем характеризовать плавно меняющийся уклон берега: (1) его значением Ь' (О) на береговой линии, (11) его значением Ь' (со) при больших Ьу и (ш) такой мерой, как Ь" (О), представляющей скорость изменения уклона с расстоянием от береговой линии. При этом мы попытаемся удовлетворить уравнению (524) приближенным решением Я (у) = 7 (О) [ехр ( — Ьу)) (1 + СЬу)п, (528) где постоянные С и Ю выбираются таким образом, чтобы (528) удовлетворяло уравнению (524) при болыпих и малых значениях Ьу. Мы получим, что решение (528) удовлетворяет уравнению (524) при болыпих Ьу, если юз = (1 [- 27)) ф'(оо) Ь, (529) в то время как при малых Ьу первые два члена разложения в ряд Тейлора дают а' =- (1 — СХ1) дЬ'(О) Ь (530) н 2СХ) (С -[- 1) — СЧ)а = [ — Ь "(0)((ЬЬ'(0))) (1 — С1)).
(531) Рис. 111 покааывает результаты использования этих выражений для вычисления того, как переменная ма~(дЬ'(О) Ь) (532) (равная единице для решения Стокса) меняется в зависимости от отношения Ь'( )7Ь(0) (533) 858 е. Внутренвые еоавм Ф ол Ьо 0,5 Ь'(~) Л'(0) Рис. Ш. Предельиые волны: обычная приблишеииая форма их дисперсиоииого соотиошеиия. Здесь Ь' (О) представляет собой уклон диа у берега, Ь' (со) — меньший уклон дяа вдали от берега, а числа у кривых дают зяачеиия величины [ — Ь "(ОЯЬЬ'(0))), которая измеряет относительную скорость пачальиого падения уклона диа, умноя<еииую иа 1/Ь (т.
е. иа Х!(2л)). (характернзующего уменыпение уклона с увеличением расстояния от береговой линии) для различных значений величины (534) [ — й "(0)[(йй'(О))). Утверждение, что уравнение Стокса (527) удовлетворяется при аначеннн р, лежащем между й' (оо) н й (О), подкрепляется тем фактом, что величина (532) лежит между (533) и единицей. Она ближе к последнел5у значению (при этом р близко к й' (О)), когда (534) мало, что означает лпгпь неболыпое уменьшение уклона в области, где происходят волновые движения.
Предельные волны вблизи берега могут быть часто идентифицированы в записях компонент спектра морских волн, имеющих периоды около одной минуты, В самом деле, широко распространенное наблюдение того факта, что обыкновенные береговые волны (вызываемые распространением зыби по направлению к береговой линии) достигают максимальных амплитуд примерно один раз в минуту (различные легенды приписывают 519 Украхенекик к глазе Ф наибольшую величину «седьмому валу» или «девятому валу»), может быть следствием вааимодействия между этими поверхностными волнами и такой предельной волной.
Управ[ненни к главе 4 Показать, что в стратифицироваккой,жядкости с постоянной частотой Вяйсяля — Брента /У уравнения р = (/е' з)п О) /еыдг ехр [Е (/дг соз Π— йх + Уег 19 ВЦ, рея = (зя В, О, 1) дг ехр [1 (еУЕ соз  — йх + йх гз В)] при 0 (0 ( я/2 описывают плоские внутренние волны, которые переносят поток энергии (1/2) (рей)-'д,'г/»яО вверх и направо в каправлеиии, определяемом единичным вектором (зш О, О, соз В). Этот поток волновой энергии падает ка плоскую стеклу х = х гя ф, где 0 — и (хр(0.
Найти отрахееккую волку, т. е. волну с той же самой частотой ю = Л соэ 0 и потоком эиергии, направленным от атой степки, с учетом того, что сумма падающей и отраженной волн имеет нормальную скорость, равную нулю ка самой степке. Для отраженной волны будет достаточно найти акачевия амплитуды фп х-составляющую волнового вектора К и каправлекие потока энергии 6, соответствующее величииам ды й и В в падающей волне. В частиости, показать, что К = — й з(п ( — ф) созес (О + ф). Дать другой вывод этого уравнения при помощи тригокометрических соображений, исходя из диаграммы, показывающей траектории потока энергии в падающих и отражеккых лучах. Показать, наконец, что поток энергии в отраженной волне имеет величииу, равную потоку зкергии в падающей волне, умноженному ка з1п (Π— ф) ~ созес (О+ й) ).
Согласуется ли это с законом сохракеиия экергии? Обсудить, в частности, пределъиый саучай при ф — — О. В равд. 4.2 и 4.5 содержатся прзлположекия о том, что величину [р, (хЦпх (квадраткый корень из кевозмущекиой плотности в стратифицироваккой жидкости) следует рассматривать как коэффициеит, естествекко входлщий и в восходлщую компоненту массового потока д, и в иабыточкое давление ре при малых воамущеииях.
Показать, что, в самом деле, при д= [Ре (гЦт/где (х, У, х) ехР([юз), Ре= [Ре (зЦЧг Рз (х, У, х) ехР Пссз) получается ([ЕУ (хЦг — сох) дх = — Ро [дРе/де+ О (г) Р,], д'р,/дх' + д'р,/ду'+ ю' [ее (гЦ-' р, = зю [дд,/дх — и (г) дз], где о (х)= — у [с (хЦ г — — у з [Дг(хЦг. 1 1 2 2 Показать, что в случае, когда среда представляет собой совершениый газ с иевозмущеккой температурой Тэ (г) и постояикым отио.
Упрсаспспия к главе б, шепнем удельных теплоемкостей 7, с (г)= ~1 — — 7) б (се (г)) г — — (То (г)/Та(г)). 2 / 2 Покааать, что в атмосфере с постоянной температурой То при 7 = = 1,4 существование плоских волн, длн иоторых как р, так и с пропорциональны ехр ( — с (/си+ /у + тг)), воаможно, если (Лсг — юг) (/сг + Р) — ыгтг = (1,225Лсг — ыг) тгср». ~~ Показать, что это уравнение исключает частоты ы между Л' и 1,11 Л/. При ы ( Лсизобразить отклонение от конической поверхности волновых чисел, которое не допускает, чтобы гориаонтальнаи составляющая волнового вектора (йг + Р)'Р когда-либо становилась меньше 1,11тс-'. Показать, что при ы ) 1,11Л" эта составляющая ()с» + Р)г/г равйа самое большее тес', и изобразить отклонение от сферической поверхности волновмх числ.
(В литературе уделяется весьма большое, но, возможно, вводящее в ваблуждеиие внимание точной природе этих отклонений от конической поверхности волновых чисел для внутренних волн и от сферической поверхности волновых чисел для авуковых волн. Читатель заметит, что указанные отклонения существенны только для малых волновых чисел, имеющих порядок Лсс = 0,45 ( — о' (г)/ро (г)) и соответствующих длине волны, равной высоте, на протяясении которой плотность улсньтастсп более чем в 10«раа. Атмосфера никогда не мо»кет быть изотермической на таких высотах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
