Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(299) или (300)). 485 4.18. Генерирование волн деигедщимиея воедейегяеиями Если для распространяющихся двумерно волн с волновым числом )г энергия на единицу площади составляет иг =)4 о(к) Ч (430) то для каждого )г"', удовлетворяющего условию (288)г направленное распределение волновой энергии, согласно (429), дается выражением Дго()с<о>) ! Р (фг<о>) !з ((г/Вг/г/п)~">)-з(4лэг(иго)Х)) (431) Поток энергии относительно источника через единицу расстояния в поперечном направлении за единицу времени равен при э.гон 1 =- Иг ( ог + П); (432) здесь вектор Х/-/К, согласно (428), имеет направление п вдоль прямолинейного луча, идущего от источника.
На расстоянии Х от источника поперечное расстояние между лучами от элемента кривой волновых чисел, имеющего длину ггз, составляет хгогХ г/о. Поэтому суммарную выходную мощность можно представить в виде интеграла по всей кривой Я волновых чисел от произведения величины 1 на это поперечное расстояние. Если отбросить индекс (О), то этот интеграл примет вид Р„. =. 4яе ~ 'г4го ()г) ! Р(й) !г ! е'+ Ю! (дВ „/г/и) -Я гй.
(433) Здесь модуль вектора е' -г- П можно записать и виде ! У + П ! = — — (дВ,/дп)/(дВ„/дгй), (434) поскольку, согласно (428), он представляет собой скорость изменения аго в направлении и при условии, что Вг (ы„й) остается равным нулю. Соотношение (434) приводит к выражению для Р„„в точности аналогичному выражению (300). С другой стороны, оно приводит к часто используемой форме Рн =. 4яз ~ Иго (й) ! Р (Ц ! ' ! дВг/дог ! ' , 'бВг/дп ! ' г/а. (435) При расчете мы можем использовать здесь тождества ! дВ „/бп !-Чз =! дВ г/д/о !-' ! Ж!',= ! дВ г/д/ ! ~ ! гй ! на Я.
(436) (Например если нормаль и образует с осью х острый угол Ф, то величина ! дВ„/д/о ! равна ! дВг/дп ! соз Ф, а на Я мы имеем !де! = НзсозФ.) О. Внутренние согни где В (а (с с) == роа' (И + Р) глг — род (44гг) Как и следовало ожидать, уравнение  — -- 0 совпадает с днсперсионным соотношением. Преясде чем сосредоточиться на волнах, генерируемых слгауионарним движением корабля, мы рассмотрим следствия, вытекающие из этих результатов для осциллирующего источника, который создает ненулевое граничное зяачение Ч =-1(х+ Гг, у) ехр (ганг), (442) движущееся со скоростью — о', причем о' =- (ее, О).
Тогда подстановка (426) дает В„= р (а — У7с)о ()со + Р)-Че — р,д, (444) (443) Поскольку приведенные выражения для передаваемой волнам мощности Рн не содержат явно кривизны кривой Я, подинтегральная функция не принимает бесконечного зяачения ни в одной точке перегиба кривой Я. Следовательно, весьма локальное изменение, производимое выражением (394) вблизи каустики (луча из точки перегиба), оказывает несущественное влияние на выходнусо мощность; его роль состоит только в ограничении локальной амплитуды на каустике. Поверхностные гравитационные волны на глубокой воде дают прекрасную иллюстрацию этих результатов.
рассмотрим вынужденные колебания свободной поверхности, при которых ее возвышение Ь имеет вид ь =- а ехр Ь (Ы вЂ” ссх — су)). (437) В случае глубокой воды соответствующий потенциал скорости еу (удовлетворяющий уравнению Лапласа и имеющий производную дср1дэ, равную д~1дс на поверхности) имеет вид ср --- гаа (ь' + Р)-г!о ехр [г (ае — ьх — (у) —,'- (ьо + (о)мгэ) (438) При этом граничное значение давления в воде (относительно атмосферного) равно Ч = Р Ре Ре роу1 = Ро (егер1ог)с=о — Род 1. (439) Оно обращается в нуль для свободных гравитационных волн (равд.
З.г). Однако для вынужденных движений (438) оно принимает значение т) = В (а, гс, г) а ехр (г (ас — йх — су)], (440) 487 4.12. Генерирование воян движущимися воздействиями ос!/ уса/у Рис. 101. Кривые волновых чисел Я (юв), представляющие поверхностные гравитационные волны, генерируемые осциллирующим с частотой юо н движущимся налево со скоростью з' источником, для рааличных значений уюо/у, отмеченных на кривых. Стрелки покавывают направления, в которых обнаруживан~тся волны с соответствующим волновым числом.
а уравнение В, -- 0 кривой Я (юо) волновых чисел может быть записано в виде (ю — Рй)' =- дв (/св + /в) (445) Эти кривые Я (юе) ивображены на рис. 101 для различных значений безразмерной частоты )'юе/д. Стрелки на кривых указывают направление нормали и, идущей в сторону кривых с воврастающим юо. Буква «с» на некоторых кривых означает точку перегиба, которая доляпга дать начало каустике (равд. 4.11). Кривая Я (О) при )/юе/д = 0 имеет две симметричные ветви; нормали к ним заполняют клин с полууглом раствора лгс з)п (1/3) =-- 19,5', представляющий собой, как мы увидим, корабельные волны, изображенные на рис.
70. Точки перегиба на Я (0) дают начало каустикам, образующим границу етого клина. А Внутреавие волны 120' 90' а' о 0,5 ьо 1,5 1 аь!у 2,0 2,5 Рис. 102. Кривые показывают, какилг обрааоы изменяется в зависимости от уюе/д величина полууглов раствора клиньев, внутри которых находятся представленные на рис.
101 волны. Когда Гюо!д принимает малые положительные значения (такие, как 0,125), обе ветви, из которых составлена кривая Я(0), смещаются вправо. Волны с ббльшими волновыми числами, обнаруживаемые на правой кривой, заполняют более узкий клин, чем ранее. Другие волны, имеюн1ие меньшие волновые числа и обнаруживаемые на левой кривой, заполняют более широкий клин. Кроме того, Я(юе) содержит весьма малый овальный участок, включающий волновые числа порядка д гю„'; энергия в этих очень длинных волнах распространяется так быстро, что они находятся всюду вокруг движущегося источника.
Выше критического аначения величины Гюе/д, равного 0,25 (когда кривая Я(юе) самопересекается), существуют только две ветви, и волны, связанные с каждой из них, лежат внутри клина. Граница такого клина в каждом случае образована каустиками, начинающимися от точек перегиба на атой кривой. На рис. 102 построены графики функциональной зависимости от )тюе/д полууглов раствора как более широкого клина, связанного с левой ветвью, так и более узкого клина, связанного с пРавой ветвью. ВНРи Рюеlд ( 0,25 включаетсЯ такте и зна- о.1с. Генерирование волн движущимися воздействиями чение 180', чтобы отразить тот факт, что волны, связанные с малым овальным участком, обнаруживаются во всех направлениях вокруг области воамущения.) На рис. 102 показано, что волны обнаруживаются перед источнпком (т.
е. в полукруге, обращенном вперед) только при )езоз/д(0,27. ПРежде чем сосРедоточить свое внимание на клине настоящих корабельных волн (рис. 70), обусловленных стационарной компонентой (азо = О) движения корабля, заметим также, что волны, связанные с нестационарными компонентами, содержатся внутри одного и того мое клина тогда и только тогда, когда о'еоо~д ) 1,63. Можно считать, что любой корабль, движущийся стационарно, создает отличное от нуля граничное значение з), которое может генерировать волны.
Это наиболее очевидно для парящего летательного аппарата, поддерживаемого над водной поверхностью давлением «воздушной нодушким Тогда уравнение (439) определяет з) как превышение этого давления над атмосферным. Распределение т), эквивалентное погруженному кораблю, часто можно оценить с достаточной точностью, записывая потенциал скорости ер в виде р = ерь + ермо (446) где е(ь представляет безвихревое движение, которое было бы соадано в неограниченной жидкости движением корпуса корабля, а ер — потенциал скорости волн. При этом граничное аначение з) = з), соответствующее волнам, должно', удовлетворять условию з)~е = — Чь (447), если полное решение (446) должно удовлетворять условию з) =- 0 па поверхности.
Как было описано в равд. 3.10, для определения сопротивления трения какой-нибудь модели корпуса часто используется «сдвоенная модель». Она получается, если к модели погруженной части корпуса добавить перевернутую, но в остальном идентичную форму, которая является зеркальным отображением этой части корпуса относительно поверхности воды. Такую сдвоенную модель можно использовать в условиях полного погружения для экспериментального определения не только сопротивления трения, но также и т)ь. При стационарном движении этой модели вертикальное перемещение жидкости в плоскости симметрии равно нулю, так что уравнение (439) дает т)ь как распределение избыточного давления р„иамеряемого в этой плоскости симметрии. (С другой стороны, существуют хорошие бйо 4. Внутренние волин Нуль Нуль 'Рвс.
103. Распределение избыточного давления ре в плоскости симметрии полностью погруженной сдвоенной модели корпуса корабля Н. Указанные кривые равноотстоящих постоянных аначений ре получены иа расчетов по линейной теории для параболического корабля с вертикальными бортами и с отношением осадки к длине, равным 0,25. Положительяый пик давления (Пол.) вблизи носа является характерной чертов для всех заостренных форм корабля. (При этом расчете, проделанном, чтобы показать сильный локавизованный пик давленил, не принималась во внимание корма и фактически корабль и течение считались симметричными относительно штриховой прямой.) программы для машинного расчета распределения этого давления р, в плоскости симметрии сдвоенной модели.) Заметим, однако, что в той части плоскости симметрии, которая действительно пересекает модель корпуса, следует испольаовать плавно экстраполируемые значения.
Очевидно, что область источника шире самого корабля (рис. 103). Избыточное давление р, распространяется в поперечном направлении так, что на него влияет как длина корабля, так и его осадка (максимальная глубина). Тем не менее распределение избыточного давления имеет ограниченные размеры, 491 4.1в. Генерирввиние евян движущимися евэдейств ми затухая обратно пропорционально квадрату расстояния от корабля. Каков бы ни был вид определяемой таким образом функции в) =- — в)» =- 1 (л + )сс, р) =- / (Х, у), (448) геометрическая картина волновых гребней имеет вид, изображенный на рис.
70. Зта картина получается независимо от того, применяем ли мы метод равд. 3.10 или методы этого раздела, основанные на использовании изображенной на рис. 101 кривой волновых чисел Я (О); во втором случае для нахождения форм гребней используется условие (319). Зная функцию с' (Х, у) и ее двумерное преобразование Фурье Р ()с, 1), можно пойти дальше и определить выходную мощность (435), затрачиваемую на генерирование воли. Используя И', ()с) =- рад (коэффициент, на который нужно умножить среднее значение квадрата возвышения поверхности, чтобы получить волновую энергию на единицу площади) и соотношения (436) и (444), мы можем записать выходную мощность (435), затрачиваемую на генерирование волн, в виде Рч=4л' ~ рву ~ Р()с, 1)!'~ 2Ра™ (й'+)') ' ~ 'х нса~ и (р )сг)с()сг+2Р) ()сг+)г) эС ! ' ) с)( ! (449) илсл же при упрощении с учетом уравнения УЧс' =- дэ ()сэ + Р) определяющего кривую Я(0), в виде (450) Р 2 сэР (р у)-1 ~ (()сг ( )г))()сг+2)2)) ! )сР (й )) )2 ( сЦ ) (451) за а> Зто совсем простой интеграл вдоль кривой волновых чисел от величины ~ )сР ()с, 1) Р, которую можно назвать спектром дссдх, измененным из-за наличия множителя в квадратных скобках, который меняется только между 1 и 1с2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
