Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Волновое сопроживление В принимает (равд. 3.10) вид у'-'Рч. 'Теперь мы видим, что его можно определить при помощи: (1) расчета давления ( — 1 (Х, р)) в плоскости симметрии полностью погруженной сдвоенной модели в потоке со скоростью У, (6) интегрирования вдоль кривой волновых чисел (450) спектра градиента давления д1/дХ, иамененного указанным множителем в квадратных скобках, и (ш) умножения на 2яэ (рад)-". Эти факты связаны с поиском (равд. 3.10) таких форм корпуса, для которых резкое возрастание волнового сопротивления 4.
Внупереппие волны 4922 4 ь с з з а о 2 ,!5 0,20 0,25 О,ЗО УДддл' Рпе. 104. Результаты классических зксперииектоз 11яуя с ыоделяыи кораблей. ииеюших луковицеобразвые носовые части, создаваеыые с целью по воаиожиости устранить волны, возбуждаеиые носовой частью при проектной скорости. еротографие! подтвердили устракеиие волн у носа корабля, что привело к существенному уиеиыпеяию показаииого здесь волнового сопротивления Ви. 1Тгапз. Яос, Мата1 АгсЫсесь Маг. Епд,) Пи происходит только при сравнительно больших скоростях.
Наименьшее значение волнового числа на кривой Я (О) равно дГ '. Поэтому волновое сопротивление начинает резко воарастать, когда у' достигает значений, прн которых градиент давленая д1!ВХ в центральной плоскости полностью погруженной сдвоенной модели имеет значительные спектральные компоненты около уГ '. Этот резкий подъем можно отодвинуть до более высоких скоростей выбором форм корпуса, при которых спектральные компоненты функции дуедХ при сравнительно больших волновых числах есглаженые>.
4.е2. Генерирование евон движащимисн вовдезсоевинми Например, на рис. 103 показаяо, что распределение избыточного давления содержит большие градиенты, меняющиеся довольно резко в области перед носом сдвоенной модели, где избыточное давление возрастает до своего максимального значения. Этп градиенты могут быть сглажены введением элемента луковицеоб разной формы янже поверхности в указанной области (рис. 104); тогда сдвоенная модель будет содержать два луковпцеобразных элемента.
При этом давление в центральной плоскости уменьшается вследствие ускоренного движения воды относительно модели между этими элементами (эффект Вентури). Тщательное проектирование может привести к тому, что это распределение отрицательного избыточного давления, обусловленное подповерхностпым луковицеобразным элементом около носа, будет как раэ уравновешено распределением положительного избыточного давления, обусловленным основным корпусом, так что спектральные компоненты функции д7/дХ при бблыппх волновых числах сильно уменыпатся. Введение таких влуковицеобразных носов» настолько уменьшило резкое возрастание волнового сопротивления с возрастанием скорости, что этого оказалось достаточно для существенного улучшения экономики судоходства, В волновых картинах, генерируемых при несколько более высоких скоростях, могут преобладать волны вблизи каустнки.
Они описываются уравнением (394),'если специальные оси (х„хо) выбраны таким образом, что ось х, направлена вдоль каустикн. Например. вблизи каустики Х =. + 81ееу (452) искомые оси (х„хэ) таковы, что компоненты волнового числа принимают вид )се = — (8'~~)с+ 1), )с2 = —. (8'~~1 — й). (453) В одной вз двух точек перегиба с нормалью и в направлении (452) имеем 122 3 122 Й=- ( —,) дУ ', 1= — ( — ) уУ '", что дает. :=(~)'" " '=--и)"'"' Без труда получаем выражения (дл„)д)с ) =. ( 4 ) Р р Рв (Ио)с ) И')'=(2'~ ~"Д27Д, (455) 'о 3 необходимые для того, чтобы выписать уравнение (394) для «оо =- О, в котором проиаведены аамены (426) и (427).
Однако Ю Внутренние винны получаемое значение (в котором, как обычно, берется действительная часть) нужно удвоить, так как другая точка перегиба ( — Й;, — Й;) с нормалью в направлении (452) добавляет к значению волновой амплитуды комплексно сопряженный член. Таким образом, в координатах (х„х,), выбранных так, что ось х, является каустикой, имеем 8л'1ре ехр [ — 1(/с~хвч Йевхв)[ .. ( .22 А1 (4511) (4!3)142рвг' (ре2!3) (в"вх ЙР) 142 1()' 2 3) (е"вх1'ув) 211 Здесь волновой вектор (Й;, Й;), определяемый формулой (454), показывает, что гребни волн располол;ены под углом 35' к каустике (рис.
70). Волны практически исчезают там, где выражение, стоящее в фигурных скобках, равно приблизительно 2,5, т. е. перед каустнкой на расстоянии по перпендикуляру, равном (457) х — 1,2 ()евхг1д)112. 11унктирные кривые на рис. 70 показывают, что это приводит к аначительному расширению картины корабельных волн Кель- вина. Мы завершаем этот раздел обсуждением трехмерных внутренних волн, генерируемых стационарным движением препятствия. Для внутренних волн, генерируемых распределением источников (458) г72,'2161 =-= у (х, р, 2) ехр (1о121), уравнение (327) дает для В следующее выражение: В (е1„Й, [, т) — [авввтв — (11'2 — о122) (Й'+ Р)1!(о1вт). (459) Если препятствие движется вертикально вверх со скоростью г', то нужно положить У вЂ” (О, О, — г').
Тогда, согласно (426), Ве(212,Й, [, т) [(еуо+ Рт)' (Й' + Р+ тз)— — У2(Й2 —,Р))1[(о12+ )ет)т[. (460) и поверхность волновых чисел Я (гев) определяется уравнением В„= О. Стационарные возмущения характеризуются поверхностью Я (0), определенной уравнением Г2тв (Й2 + 12 + т2) — Л12 (Й2 + Р) (461) и изображенной на рис. 105, а, где стрелки указывают направление нормали, идущей к поверхности Я (+б). Вертикальная составляющая этого направления во всех случаях направлена вниз, показывая, что генерируемые волны следуют за поднимающимся объектом.
Результаты эксперимента с поднимающейся Рнс. 105. а — поверхность волновых чисел Я (О) для внутренних волн, генерируеиых стационарным вовмущением, движущимся вертииально вверх со скоростью У в стратифицированной жидкости с постоянной частотой Вяйсяля — Брента )у; 6 — сплошная кривая — рассчитанная фориа поверхности постоянной фазе| для внутренних гравитационных волн, генерируемых стационарным вертикальным движением твердой сферы (показанной в верхней части рисунка) в равномерно стратифицированной среде. Эта форма нормирована таким образом, что точки, расположенные на кривых, проходящих через препятствие и образующих угол агс1я (1/4) с вертикалью, соответствуют точкам, выделенным кружками. Точки — экспериментальные результаты, взятые е рис.
106 и других подобных фотографий. е. Внутренние винни 496 и . 106. Б!.чярен-фотография Моубрея, изображающая внутреннее транс...чя звтационные волны, гевервруемые стаця р яым дет жеввем сферы (см. верхнюю часть фотографии) диаметром 25,4 мм, поднимающейся со скоростью 10,2 мм!с в солевом растворе, плотвость к оторого убывает с высотой с постоянной скоростью 0,2 кайс' на мм. сферой приведены на рис. 106, показьтватощем формы поверхностей постоянной фазы. Эти поверхности можно также рассчитать по формуле (6 т 9); результаты расчетов приведены на рис. т05, б, где видно хорошее их согласование с зкспериментальными данными. Ксли препятствие движетсн в стратнфицировапной жидкости .горизонтально со скоростью — тт, где т' = (тг, О, 0), (тг, О, 0), мы имеем я„(юю 1с, (, т) = — [(ю — )г(с)г (йг ) (г ( лгг) — Хг(йг+ (г))т((оттт — $'1с)т], (462) Рис.
107. Поверхность волновых чисел 8 (О) для внутренних волн, генерируемых стационарным воамущением, движущимся горизонтальна (налево) со скоростью г в стратнфицированной н<идкости с постоянной частотой Вяйсяля — Брента Л'. Построенные на рисунке кривые представляют собой линии пересечения поверхности о (0) с плоскостями, на которых )г( ((/ )т' принимает различные постоянные значения, отмеченные на зтвх кривых.
зз-оыос й. Внутренние еелны так что Б (0) является поверхностью у'гйг (й' + 1г + тг) = Лсг (й' + ]г). (463) Генерируемые волны теперь более сложны, поскольку Ю (0) не является поверхностью вращения. На рис. 107 показана форма этой поверхности при помощи кривых, представляющих ее сечения различными плоскостями 1 = сопэс. Направление и (нормали к этой поверхности в направлении к поверхности Я (+6)) указано в каждом случае стрелкой, изображающей составляющую вектора и в плоскости 1 = сонэ~.
(Таким образом, более короткие стрелки соответствуют направлениям нормали и с большой составляющей по у.) Во всех случаях волны находятся в направлениях стрелок в правой полуплоскости (за движущимся объектом). Предельный случай двумерных препятствий (цилиндров с образующей в направлении у) обладает специфическими свойствами, представляющими определенный интерес. Для двумерных внутренних волн В (со, й, т) определяется выражением (330), приводящим к Ве(соо, /с, т) =((юо — уй)г(йг + лсг) Лсгйг]/((соо Ис)т], (464) так что Б (0) является кривой йг (Уг (йг + тг) — Лсг] = О.
(465) Само собой разумеется, что уравнения (464) и (465) представляют собой просто уравнения (462) и (463), в которых Е положено равным нулю. Однако важно, что получающаяся при атом кривая Я (0) состоит (рис. 108а) иа окруисности радиуса Лс/у' и прямой й = О, взятой дважды (так как множитель й входит в (465) в квадрате).
Необходимость учитывать двукратность прямолинейной ветви й = 0 становится ясной, когда мы построим кривую Я (+6), чтобы установить направление нормали и. Часть кривой Я (+б), расположенная близко к прямой й = О, состоит иэ двух ветвей (рис. 108а). Вне окрулсности обе ветви расположены на одной и той же стороне прямой й = О, а внутри нее они находятся на противоположных сторонах. Вот почему в любой точке прямой й = 0 нужно нарисовать две стрелки (рис. 108б), причем одна иэ них должна быть направлена вперед от препятствия в точке внутри окружности (т.
е. при ] т ] ( Лс/у). Действительно, иэ (464) вытекает, что В, (6, й, т) обращается в нуль цри уй ж 6 ~ Лей ] т ]-г, откуда й ж б/(у'~ ЛС ] т ]-'); (466) а.1о. Генерирование волн движуЩимися вовдвйствиави Рвс. 108а. Двумервые внутренние волны, геверируемые иеподвижвым цилиндрическим препятствием (с обрааующими, перпевдикулярвыми плоскости рисувка) в потоке стратифицировавиой жидкости, движущейся горивовтальво ваправо (или же геиерируемые тем же самым препятствием, движущимся налево в покоящейся жидкости).
На рисувке построены кривые волновых чисел Я (0) и Ю (6). Вблизи каждой точки ва круговой части (радиуса дс/У) кривой Я (0) находится одна точка кривой Я (6), приводящая, как обычно, к едивствевиой стрелке иа 6 (0); все стрелки покававы ка рис. 1086. Но вбливи каждой точки ва прямолинейной части /с = 0 кривой Я (О) ваходятся две точки кривой Я (6), приводящие в двум стрелкам. Гам„где ) ос ) ) дс/)с, эти стрелки имеют одно и то жв ваправлевие (обе части кривой Я (6) расположсвы ва атой стороие), а там, где ) нс ) (/)с/у, ови направлены в противоположвые стороны. (Но оси ординат откладываются виачевия ю.) при ( т ! ~/)//т' оба зти значения /с полоисительиы, ио при ( гп ((Х/У одно из них отрицательно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
