Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Результатом является произведение члена с интегралом Эйри и обычного выражения теории стационарной фазы: 2я(сз (Ь, )сз) . С (диз/'д)сз)с — хс Ь ° "' Ъ (дзззСдазз)с ~ ~ " (азиз д)сз)с ~ 2н бэ Г) .. сдзсозс )с ~, ~з „, с [ ехр — ясз[яп [ — „, ) ). (387) (Здесь, так же как в равд.
4.8, следует взять действительную часть, так как в (386) был изъят множитель 1с2и опущен комплексно сопряженный член с ( — й";, — й',) вместо (й;, й',). В трехмерном случае нужно повторить вторую строку с йз вместо йз.) Выражение (387) можно применить к волнам, которые генерируются брошенным в пруд камнем. Круговая спокойная юбласть в центре расширяется с минимальной групповой ско- 475 4Л1. Кар«жили Рпс. 99.
Волновая нартина по истечении достаточно большого времени Г после того, как в пруд был брошен камень. Тачка С находится на расстоянии б'« от центра возмущения, где () — инвимальная групповая скорость, равная 0,18 м/с. Амплитуда волн затухает акспоненциально аа точкой С, но пульсирует перед С. Гребни волн движутся со скоростью, на 58«й превосходящей скорость самой точки С. ростью 5/с = У (/с,), соответствующей волнам длины 44 мм 4см. конец равд. 3.6).
Вблизи контура этого круга применяется уравнение (387). Главные направления радиальны при дсо/д/сг = ЕУ„дтсо/д/с, '= О, д»ю/д/с; = Щ(/с,ш,), (388) а азимутальны при дсо/д/ст =- 0 д»ш/д/ст = с/с//сс (389) откуда ((1/2) ~Г/с/Оссыс)) ' ( ((92) 1(/с/(Ьсюс)) г .) ( с)с« х ехр (( (о«с( йсх«+ л/4)]. (390) На рис. 99 показан вид этого выражения через большой промежуток времени ц когда происходит переход от волновых амплитуд порядка (-г, модулнруемых в результате «биений» между гравитационными и капиллярными волнами, через максимальную амплитуду порядка 1-«7« к спокойной внутренней области с экспоненцнально затухающей амплитудой волн. Круговая каустика расширяется со скоростью П„в то время как гребни волн движутся с большей скоростью ю,/й, = »,58 (/,. Поэтому при изображении относительно каустики (рис.
99) волны движутся вперед (возникая «из ничего») со скоростью 0,58 с/с. Результаты равд. 4.9, относящиесн к волнам от осциллирующего источника, можно обобщить аналогичным образом. Мы опять начнем с двумерного распространения: этот случай имеет важные приложения к корабельным волнам (равд. 4.»2). Полное выражение (275) для плоских волн от осциллируюхцего источника аппроксимируется с экспоненциально малой погрешностью двумерной формой выражения (284); там за ось х, выбрано направление, в котором оценивается значение решения.
Если кривизна х(с) в точке на ят с нормалью п в этом е. Внутренние еаннзз направлении отлична от нуля, то аснмптотическая форма выражения (284) такая же, как в (290). Однако точка перегиба С на кривой волновых чисел Я (т. е. точка нулевой кривизны) порождает каустику. Она тяяетса от источника в направлении парэ»алц г точке перегиба. В силу того что лучи в направлениях нормалей, выходящих из точек на кривой волновых чисел с любой стороны от С, лежат на одной и л»ой же стороне каустики, существует две группы волн на этой стороне и ни одной — на другой.
Мы оценим волны в точках либо на каустике, либо вблизи нее, направив ось х» точно вдоль каустики (т. е. вдоль нормали в точке С). Тогда двумерная форма выражения (284) примет вид д = — 2я» [ех р ((о»с»)) [ Р (»е», »сз) [дВ[д)с» [ ' Х Г 8» х ехр [ — 1 ()з»х» +»с»аз)) »И„(39Ц где координата тз, измеряющая расстояние от каустики, отлична от нуля, хотя и много меньше х». Вблизи точки перегиба»сз = »с; на кривой волновых чисел Я разложение»с» как функция от )сз не совпадает с (286), так как производная (с[з)с»ЫЙ,')* равна нулю; действительно, оно имеет вид »»з» = »с»+ — (»»»2 — »»сг)з (дй)с»[й»)е») + О (е»гз — е»»2)1.
(392) Поэтому экспоненту под знаком интеграла в (394) можно аппроксимировать выражением ехр ) 1 ~ 'с»т»+)с ~2+ ()»2 К) ~2+ (»з йс)з (Нз)с (<Яй~)з ~ ~ (393) которое является экспонентой от суммы члена, не зависящего от )зз — »с;„линейного члена и кубического члена. Это позволяет получить оценку выражения (391) через интеграл Эйри в виде «яз;р (Ьс (»с) ехр [1(т,» — исз — ссз )[ [ЭВ/д(е [с [((!2) х» (»(зз /»((ез)с[~» 1 [([(2) х» (»(з(е»/»((ез)с[1/21 «Рана», отделяющая решение (290) теории лучей, изменяющееся как з 1»з, но с обращающимся в бесконечность в точке С коэффициентом [х'з»[ »Г», от области вне каустики, куда не прони- .».11.
Раус»»тки 477 (395) т — -- т (г). .Например, для звуковых волн [т (г)Р = «о» [с, (г)] ' — Й» — [2, (396) в то время как для внутренних волн 1т (г))2 (»2 + [2) (11-2 [Я (,)]2 1) В обоих случаях [т (г)1' может обращаться в нуль (имея отличную от нуля первую производную) на каустике, где либо с, (г) принимает значение «о ()22 + [2)-1«2, либо Х (г) принимает значение а«. По одну сторону каустики существуют две группы волн, соответствующие противоположным знакам т (г) (рис. 79 и 80), а по другую сторону (где не существует действительного решения для т (г)) нет никаких волн.
В каждом случае длн волн с заданными «о, )2 и [ соответствующим образом выбранная физическая величина д должна записываться в виде «7 = «',«(г) ехр [1 («ог — 7»г — Су)], где 11" (г) + + [т (г)]2 «',) (г) = О. (398) Это было доказано в (137) для восходящего массового потока «7 во внутренних волнах и следует для звуковых волн нз уравнений гл. 2, если величина д равна /р02 (399) Теория лучей (см. уравнения (138)) предлагает решения вида (7(г) жК [т(г)] ыгехр [+1 ) т(г)с[г~» (400) кают никакие лучи, «жалечивается» этим решением, которое допускает рост волновой амплитуды фактически до значения порядка г «12 перед экспоненциальным затуханием до нуля вне каустики.
Для иллюстрации такого поведения в равд. 4.12 используются корабельные волны. Мы завершаем этот раздел обсуждением некоторых свойств каустики в неоднородных волновых системах, хотя и ограничиваемся стратифицированным случаем (122), когда в дисперсионное соотношение входит явно только одна координата г. При атом частота <о и горизонтальные составляющие волнового вектора )2 и [ остаются постоянными вдоль луча. Соответственно этому дисперсионное соотношение определяет вертикальную составляющую т волнового вектора как некоторую функцию «.
Внутренние ее«нее где, например, лучи, несущие энергию вверх, имеют знак «миную) для звуковых волн и знак «плюс» для внутренних. Эти решения, однако, имеют нежелательный разрыв от значения, стремящегося к бесконечности при подходе к каустике т= О, до. нулевого значения непосредственно за ней. Чтобы «залечить» этот неяеелательный раарыв вблизи каустики г = г„образующей верхнюю границу волновой области„ где Ьв (г))х = 6„(г, — г) + О (г, — г)' (/101) (61) 0), целесообразно воспользоваться решением уравнения 9 л (г) + р) (г, — г) (/ (г) = О. (402) Эту функцию «исцелителя» снова выполняет интеграл Эйри (368) Действительно, (368) показывает, что ехр и!/6) л)) А)" (Х) — ХА)(Х) —. (2я) ' ~ ( — 6» — Х) Х ехр )(5/6) лЦ Х ехр ~ 1 («Х+ — 6») ~ ИЯ = ехр Н1/6) л)) =(2я) 11 ~ /1)ехр~)(гХ+ — гз) )(=О, (403) ехр 65/6) л)) так как экспонента в фигурных скобках обращается в нуль на обоих концах участка интегрирования.
Поэтому Д (г) =- ~1 А) [р)/6 (г — г,)) . (404). является решением уравнения (402), которое не содержит никаких волн при больших положительных аначениях 611/» (г— — г,). С другой стороны, выражение (374) показывает, что при больших отрицательных значениях р11/» (г — г,) решение ч) (г/ ведет себя как /)1 — / 61'/' (, ) '/« ~.з ()11/ (,— ) ' — ~ ]. (406) Это можно сравнить с локальной формой решения теории лучей, которое в силу соотношений (400) и (40$) определяется выражевием К6» 1/«(г,— г) 1/«ехр (~ » ~а1 — — р~)/~ (г„— г)~е~]), (406), г.хг. кавстиви содержащим произвольную комплексную амплитуду Е и по- стоянную интегрирования (407) Когда интеграл Эйри применяется для того, чтобы »залечить» решение теории лучей в укааанном смысле, он всегда дает определенный и чреавычайно полезный результат, утверждающий, что если два решения (406) должны сводиться к (405), то а =и л-,— — л, 1 1 1 4 (408).
где и, — некоторое целое число. Аналогично, для обоих реше- ний [т (г))г = [)г (г — г,) + 0(г — гг)' (410) (рг ) О). Тогда локальное решение уравнения (398) дается выра- жением 17 =.- Д» А1 [р»я (г, — г)), (411) которое при больших отрицательных значениях [)1111 (г — гг) пе содеря1ит никаких волн. Однако при болыпих положительных значениях этой величины () ведет себя как ~1»л1' р» ' (г — гг) ' сов~ ЗВ рг (г гг) 4 л~, (412) тогда как решения (400) принимают вид Крг (г — гг) ' ехр(~1~ — рг~ (г — гг) ~ — аг [), (413) 1,» 17») (409)' Эти результаты показывают, что решения теории лучей отражаются на каустиках: а»шлитуда остается неизменной, в то время как соотношение фаз таково, что волна вместе со своим. отражением описывается содержащим косинус членом (как в (405)), который достигает своего максимума непосредственно. перед каустикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
