Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Для этого случая указываются также результаты, полученные с учетом вязкого затухания, и проводится их сравнение с экспериментом. После этого рассматриваются поверхности Я волновых чисел, искривленные только в одном направлении (рагвертываюи~иеся поверхности, которые могут быть развернуты в плоскость без растяжения). В частности, проводится детальное исследование для случая конических поверхностей, который иллюстрируется примером внутренних волн. В каждом случае мы можем начать с основного уравнения (284) для волн, появляющихся в определенном направлении Ь, исходящем от осциллирующего источника.
Это уравнение описывает волны в осях координат, повернутых таким образом, что Ь становится положительной осью х,; тогда Я.ь является частью Я, определяемой условием (282). Особым свойством рассматриваемых в этом разделе поверхностей волновых чисел является отсутствие какой бы то ни было изолированной точки на Я.ь, где фаза — я,х, стационарна. Следовательно, распределение амплитуд волн теперь уже не пропорционально (как в равд. 4.9) значению пространственного фурье-преобразования Г (й) распределения источников. Мы убедимся в том, что вместо этого оно зависит от частичного преобразования Фурье, когда на распределение источников действуют в различных ортогональных направлениях либо оператором преобразования Фурье, либо каким-нибудь иным оператором.
В случаях когда Я, является плоскостью, напрашивается использование специальных осей (х, у, г), скажем, с осью х, перпендикулярной этой плоскости. При этом для соответствующего волнового вектора (Й, (, т) выполняется условие Й = сопзь на этой плоскости.
Рассмотрим, например, случай, когда (320) В=В(св, Ус) 453 4.10. Волни, еенерируемие осциллирвюи»им источником не зависит от с и т. Это сравнительно простой случай, когда в дифференциальное уравнение (276) для вынужденных колебаний не входят никакие частные производные по у и г. Поверхность Я волновых чисел состоит из множества плоскостей й = = йо где (32[) В(ю»ч йо) Для излучения в направлениях Ь, соответствующих возрастанию х, условие (282) определяет Я как подмножество плоскостей, таких, что уравнение (324) определяет функцию соо (йо) для которой (322) дсоо)ссйо ~ 6. В этих обозначениях интеграл (284) по любой плоскости й =.
й„которая представляет часть (или всю) Ял, можно записать в виде — 2нс[ехр(со»»1Н '] ~ В()со, Ь т) [дВ(юо, й~тссй]к"=», Х ) х ехр [ — [ (й,х+ ]у+ тг)] Л дт. (323) Здесь мы уже вернулись от специальных осей координат, в которых направление Ь совпадает с осью х„к фиксированным осям (х, у, г) с осью х, перпендикулярной плоскости й = йо. Если угол между Ь и этой осью х равен Ф, то сей» сей» на Я«. становится равным с»с дт соз Ф, но при этом также и дВ/дй, становится равным (дВ/дй) соз Ф и два множителя соз Ф сокращаются.
С другой стороны, (323) можно было бы получить непосредственно в осях (х, у, г), применяя метод равд. 4.9 прн условии излучения, которое запрещает распространение энергии в направлении убывающих х там, где х положительно. Очевидно, интегрирование по с и т в (233) «разлагает на составные части» преобразование Фурье, т. е.
оно восстанавливает в распределении источников первоначальную функциональную зависимость от у и г, оставляя только частичное преобразование Фурье по х. Это следует нз того, что уравнение (268) можно записать в виде ) (х, у, г) = ] Р<„> (й, у, г) ехр ( — сйх) сей, (324) Ю где частичное фурье-преобрааование Р<ю равно Ю есск, (1с, у, г) = ] ] Р(й, Ь т) ехр[ — 1((у+тг)]с»]с[т. (325) 4. Внутревние волна Излучение (323) в направлении возрастающих х дается тогда выражением >/= — 2я>Г<,> (/с, у, г) (дВ(е>ю /с)/д/г)»' „, ехр(1(о>о/ — йох)), (326) если существует только одно волновое число й„удовлетворяющее (321) и (322); в противном случае иалучение дается суммой выражений (326) от каждого такого волнового числа.
Уравнение (326) описывает строго параллельный пучок, так как частичное фурье-преобразование Р<,> (к, у, з), определяемое формулой (324), равно нулю для любых у и г, так что распределение источников / (х, у, г) равно нулю для всех х.
Этот пучок является просто проекцией области источников в направлении х. Так как площадь его поперечного сечения не зависит от х, амплитуда волн также остается постоянной. Отметим различие между таким строго параллельным пучком, который получается из-за того, что поверхность волновых чисел является плоскостью, и акустическим пучком, генерируемым плоским распределением источников (равд.
1.12 и 4.9); последний сначала параллелен, но всегда расходится на конус (как бы ни был мал угол раствора конуса), когда распределение переходит из первоначальной функциональной зависимости от у и г к ее преобразованию Фурье. Такое преобразование Фурье по у н г, т. е. переход к коническому пучку, не может иметь места в том случае, когда поверхность волновых чисел сама является плоскостью.
Другой способ получения (326) в случае, когда уравнение в частных производных (276) не содер>кит производной по у или по г, основывался бы на решении его как одномерной задачи для каждой постоянной пары значений у и ю Этот вывод мог бы быть самым коротким, однако здесь мы предпочли показать, каким образом зтот результат можно получить как предельно частный случай нашего общего исследования, которое удачно включает обсуждение промежуточных частных случаев, подобных случаю вынужденных внутренних волн.
Распределение источников генерирует внутренние волны согласно уравнению ;>з (д'ц/дР) + (й/ (г))з (дзц/дл' + дзд/ду') = д'>',>/дРдг, (327) где дед/ (скорость изменения массового расхода на единицу объема на выходе) представляет напряженность источника в в смысле гл. 1. Уравнение (327) получено в результате добавления массового расхода на выходе к правой части уравнения (17) и замены, таким образом, правых частей (18), (20) и (22) ка — дД/дд на +дф/дг>/х и на д'>',>/дРдг. Здесь мы рассматриваем 4.лО. Вгони, генерируемые осциллируюигим источником (327) в случае Ю = связь и поэтому можем применить аналив Фурье.
Распределение источников дадо = )'(х, в) ехр (еюог), (328) не зависящее от у, генерирует двумерное распростраяение волн, отчасти аналогвчное по своей природе тому, которое только что рассматривалось, так как «кривая» волновых чисел не имеет кривизны, будучи парой прямых. Уравнение (327) при гтс = = сопле принимает вид (йщ — а,') дзфдхз — ю,'дзфдхз = гю, (дРдх) ехр (гюог). (329) Это частяый случай уравнения (276) при В (го, )с, т) = (оэттт — (гт'з — ю') есз)l(ют), (330) когда дисперсионное соотношение В = О имеет ввд ( ага е.з!(ьз ( з))г(е (331) Кривая ю = юо волновых чисел представляет собой пару прямых в плоскости ()с, т), образующих угол 0 = агс соз (юе/гг() с осью )с.
Этн прямые изображены на рис. 91, причем направле- (. Рис. 9К Кривая Я волновых чисел при двумерном распространении внутренних волн (в плоскости (л, е)). Стрелки указывают направления, в которых обнаруживаются волны, соответствующие четырем различным полупрямым кривой Я. Для волн, соответствующих жирной полупрямой, используются специальные оси координат (как на рис. 87) с осью ее, ииегощей направление распро- странения энергии.
4, Внутренние еолнн д = — 2лс [ехр(ссоог)) ~ Р (ссо 0) [дВ!дто[.н=о ехр( — сйохо) сйсо. о (332) При помощи (330) нетрудно проверить, что значение дВ/дто на данной полупрямой равно постоянной 2Л'; действительно, так как на этой полупрямой В =- О, нормальная производная дВ/дто в паправлении то, образующем угол я!2 — 0 с направлением сс, долясна быть равна произведению соэес 0 на дВ!дй, что дает дВ/дто = соэес 0 (Л'о — сосо)( — 2сс/(соот)) = =(2Лс тн О)( — [с/т) = 2Лс, (333) так как т = — й 1б О. Поэтому у= — ясЛ ' [ехр(ссоос)) ) Р(сс„О) ехр( — сссохо) д1со. о (334) ния тех нормалей, вдоль которых со возрастает, показаны стрелками.
Данные направления являются направлениями лучей: четыре различных направления, образующих андреевский крест (рис. 76), связанный с внутренними волнами фиксированной частоты. Каждое направление связано с лолуирллсой в плоскости волновых чисел; например, как мы знаем из равд. 4.4, волны, распространяющиеся в паправлении возрастающих х и г, должны иметь положительное Й и отрицательное т.
Основное отличие от предыдущего случая, когда вся плоскость в пространстве волновых чисел вносила вклад в излучение в определенном направлении, состоит в том, что в данном случае вклад дает только половина прямой. Этот результат анализа групповой скорости (с важными следствиями, которые будут описаны ниже) можно легко упустить при решении уравнения (329) посредством обычной факторизации дифференциального оператора в левой части без правильного использования условия излучения.
Здесь мы будем искать выражение для тех волн с положительным сс и отрицательным т, энергия которых распространяется вверх и вправо.В этом случае будет удобно оценить их уже прн помощи другого изменения осей координат. Мы используем оси (х„с,) с осью х, в направлении волнового вектора (напоавлении перемещения гребней, идущем по диагонали вниз) и перпендикулярной атой оси осью го (в направлении лучей, идущих по диагонали вверх).
Теперь волны генерируются полу- прямой есо» О, т, =- О, и двумерная запись выражения (284) принимает вид 4ЛО. Волны, мнерируемые осциллирующим источником 457 Так же как и в случае плоской поверхности волновых чисел, лучи при со е юо идут вопределенномнаправлении(одно из них обрааует угол 8 с вертикалью, принятой здесь в качестве направления го); следовательно, пучок (334) снова параллелен и амплитуда с возрастанием з, не убывает. Сходство со случаем плоской поверхности волновых чисел состоит и в том, что полупрямая «выбирает» частичное преобразование Фурье по направлению распространения (здесь направление го).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
