Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Мы рассмотрим вынуждающее воздействие осциллирующего источника с частотой иэ„этространственное распределение которого задается функцией У (х„ха, хз) ехр (вюа1), (267) смысл которой должен быть уточнен. Ыы воспользуемся разложением Фурье для функции 1 во всем пространстве волновых 4. Внзогроннио голан чисел 1' (хс хю хг) = ~ ~ ~ Р (Лб )с йз) сгхр ( — 1Лссхс) с1Лг с)Лг с1)сг (2()8) потому что в случае, когда частота ю, фиксирована (н никакая другая частота, даже — ю„не допускается), волновые числа (Лог Лю Ло) п ( — )сг, — Л.„— Ло) действительно различны.
Мы покажем ниже для различных способов задания вынуждающего воздействия, что характеристическая величина с), определяющая волны, дается интегралом Фурье Р (Л„ьо, Ло) охр ( — Нзхг) с=(ехР(сыос)) ~ ~ 5 В(', а,) ' В (ого, Л г, /со, Оо) (269) где функцня 77 такова, что уравнение лг (соо Лог Ло )со) (270) является некоторой формой днсперсионного соотнопсенгся. Для волн на воде распространение происходит в двух измерениях; поэтому в приведенных выспе вырансеннях нужно опустить хо и йо (и интегрирование по )со). Действительно, в случае довольно общей системы двумерно распространяющихся волн можно представить себе, что для колебаний вида д = а ехр (г (ом — Л,х, — й,хо)) (27() с произвольными ог, )сг и йо некоторое граничное значение г) (на какой-то граничной плоскости хо =- сопзс) можно было бы вычислить как с) = асг (со, йг, Ло) ехр (с' (юг — 1сгхг — ЛсгхоН (212) Тогда если невовзсущеннал диспергирующая система определяется граничным условием г) = — О, то дисперсионпое соотноспение можно записать в виде (273) В ( ог 1сг (со) 0 С другой стороны, воздействие осциллирующего граничного возмущения т)=1(х,, хг)ехр(иоос)= ~ ~ Р(Л~ 1сг) Х Х ехр (г (соот )ссхс "'гхгИ сг)сг сс1сг (2сй) «.д.
Общая теория осциллирвющих источников волн вызвало бы (как в равд. 3.9) ответную реакцию =[ (' с)) ) ~ ( ' д«)акр[ '(~'"' ь'хо)[И В[с (275) о (соо хс вй так как (271) и (272) показывают, что для получения д значение ц для каждой частоты и волнового числа нужно разделить на В. В трехмерной волновой системе вынуждающие воздействия чаще всего описываются дифференциальным уравнением. Однако это приводит к той же самой форме решения в виде интеграла Фурье (269), если такое уравнение можно записать в виде ~Уд . д . д .
д В( — [ —,[ —.,[ —,[ — )д= ~дс' дх,' дх, ' дхв = с (х„х„хв) ехр ([со«[), (276) где В (ю, кп [с„йз) является полиномолс (или в более общем случае отношением полиномов) от четырех переменных, Тогда свободные колебания удовлетворяют дифференциальному уравнению (276) с пулевой правой частью, так что любое решение вида плоской волны д = а ехр [[ (со[ — [с~хд)[ (277) удовлетворяет дисперсионному соотношению (270).
Однако в общем случае, когда в правую часть уравнения (276) в качестве вынуждающей функции входит член источника, определяемый выражениями (267) н (268), решение можно записать в виде (269). При попытке вычислить (269) или (275) мы встречаемся с той же самой «очень важной и известной трудностьюзи которая была описана в конце равд. 3.9: при интегрировании по действительным переменным йд встречаются полюсы всюду, где В (соо, й) = О, (278) Мы рассматриваем зто уравнение (дисперсионное соотношение для со = — ю,) как уравнение, определяющее поверхность В волновых чисел для частоты соо (поверхность в пространстве волновых чисел) или же (для двумерных волновых систем) как уравнение, определяющее кривую Я волновых чисел в плоскости (всп [с«). Из-за укааанных полюсов внутри множества интегрирования в интеграле (269) возникает опасная неопределенностзл могут получаться равличные значения етого интеграла в зависимости от того, будет ли путь интегрирования, например, по сс, проходить в комплексной плоскости сс, слева или справа от определенного полюса (к тому же зги возможности могут комбинироваться в произвольной пропорции).
й. Внутренние вваны Такая математическая неопределенность соответствует истинной физической неопределенности. К «вынужденным» волнам, действительно исходящим от источника, можно было бы добавить произвольную линейную комбинацию «свободных» волн (решеяия уравнений при ~ = О). Их энергия, будучи порожденной «ка бесконечности», могла бы распространяться радиально внутрь по направлению н области источника. Поэтому математическая задача, поставленяая уравнением (274) нли (276), не может полностью соответствовать физической проблеме нахождения волн, генерируемых самим источником и удовлетворяющих «условию излучения», согласно которому ва бесконечности яе создается никак«пл волновой энергии.
Нужно заметить (как и в равд. 3.9), что этому условшо излучения эквивалентны различные альтернативныо математические приемы: некоторые непосредственно используют идеи групповой скорости, другие — тот факт, что для свободных волн с фиксированной действительной частотой ь»« волновое число из-за затухания становится комплексным. И все же желательно иметь метод, который будет работать даже в то»«случае, когда затухание не принимается во внимание; прп этом оказывается, что в болыпинстве случаев легко воспользоваться идеей источника волн, который постепенно усиливается до своего настоящего уровня. Это означает, что при решеяии математической задачи ю, заменяется на о»« — ее. (279) Тогда, в частности, ехр (еео»ф) заменяется на ехр (ег +»евое) (280) так что источник (267) постепенно усиливается по экспоненциальному закону от нуля при С = — оо до своего настоящего уровня. Отыскивая только соответствующие усиливающиеся волны, которые меняются со временем как ехр (ет -',— во»«в), мы исключаем опасность получить решение, которое «загрязнено» другой волновой энергией, возбуждаемой «на бесконечности».
(Здесь е — малая положительная величина, которую в дальней|нем можно устремить к пулю.) Как и в равд. 4.8, для быстрого и простого получения результатов оказывается удобным произвести поворот осей. Итобы получить направленное распределение волновой энергии, мы должны найти асимптотическое поведение выражения (269) вдоль произвольной прямой Л, выходящей иа области источника.
Для этого, каково бы ни было направление Ь, мы делаем предварительный поворот осей так, чтобы прямая Х, совпала с положительной осью а,. Затем мы находим асимптотическое 441' б.у. Общая теория оециллируюигия иеожчников волн поведение выражения (269), когда х, -++ос, а х, = х, = О, т. е. х ' ',. ( Р (аг (еа 'ев) ехр ( ые!л1) ) 28() д (юо )е! Зв Вв) Как и в равд. (3.9), оценим внутренний интеграл в (28() при помощи теоремы Коши. Путь интегрирования в козшлексной плоскости Й, опускаем на расстояние х„т. е. величине (г, приписываем отрицательную мнимую часть ( — к,), чтобы указанный интеграл стал величиной порядка 0 [ехр ( — х,хг)!.
С точностью до ошибки этого порядка интеграл будет равен произведению ( — 2я() на сумму вычетов подинтегралы1ой функции в каждом полюсе (где В =- 0), через который проходит путь интегрирования в процессе его деформации (рнс. 88). Замена (279) сднигает эти полюсы с вещественной осн егг. Более того, она сдвигает их вниз от оси тогда и только тогда, когда дисперспояное соотношение (270) определяет ог ггак функцию )г таким обрпзом, что дю!девг ) О. В этом и только в этом Рпс. 88.
Снепгенный путь интегрированна (жпрная линяя) в комплексной плоскости )е, для внутреннего ннтегралз а формуле (281). Кружками показаны положения полюсов прн е = О. квадратами — смещенные положения полюсов прн е ) О, когда дю/даг ) О, ронбаин — смещенные положення полюсоз прн е ) О, когда дю!д(вг ( О. Црн смещении пути интегрирования вниз член с вычетаын дают только полюсы, показанные квадратапв. е. Внутренние волна 442 случае после сдвига пути интегрирования вниз при вычислении внутреннего интеграла в (281) получается член с вычетами. Физически это условие ограничивает нас волнами, у которых производная до»!д»с„т.
е. составляющая скорости распространения энергии вдоль Е, направлена наружу от источника; таким образом, указанное условие исключает возможность распространения энергии внутрь, й(ы можем теперь положить е -+0: введение множителя ехр (ес) в (280) выполнило свою функцию, которая состояла в том, чтобы ограничить возбуждаемые волны решениями дисперсиопного соотношения (278), удовлетворяющими условию распространения энергии наружу. Обозначим через Ят ту часть Я (поверхности пли кривой волновых чисел при а» = о»ь), на которой (282) до»/д/с» ) О. Тогда внутренний интеграл в (281) будет состоять с точностью .до ошибки порядка О [ехр ( — н,х,)) из суммы произведений — 2п» на вычет Р (Лем !см Ла) [дВ (юо, Л», Рс»о Йа)!дУс»[ "ехр (»Л»х») (283) подинтегральпой функции относительно каждого полюса, удовлетворяющего условию (282), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
