Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Таким образом, средняя сила, действующая в направлении хт на единицу объема жидкости, равна градиенту напряжения Рейнольдса: Ру = — д (рюи,иД!дх;. (18?) Для незатухающих внутренних волн эта сида равна нулю, так как, согласно (17), ее можно записать в виде — Рюи~ ди,ддх е (183) а скорость яеидкостн и; параллельна поверхностям постоянной фазы, в то время как градиент д,'дх; любой величины перпендикулярен нм. Полученное ааключенне о том, что выражение (182) равно нулю, согласуется с тем, что в системах, описанных в конце равд. 4.6, напряжение Рейнольдса принимает постоянное значение в области, ааннмаемой волнами.
Для незатухающих звуковых волн сила Гу не обязательно равна нулю, но тем не менее пе может порождать никаких течений. Причина этого состоит в том, что Р, является градиентом скаляра; следовательно, эта сила не вызовет безднвергентное течение, так как она может полностью уравновешиваться градиентом среднего давления. Зтот результат можно доказать следующим образом.
Незатухающие звуковые волны являются безвихревымн, так что производная в выражении (183) есть то же самое, что и диддхп а тогда ото выражение является градиентом величины 1 е — — Рюи~. 2 ю (184) Мо'кно считать, что в звуковых волнах выражение (182) вьлючает не только член (183), но также и член — и;д (рюи;)/дх; = иу дре~де. (185) но последний имеет то же самое значение, что и ре дну~де = рерю др~)дх> (186) (так как среднее значение производной по времени от любой .пульсирующей величины, такой, как р,ип должно быть равно нулю), а (186) равно градиенту величины (187) .е.7.
Стазионарные течения, генерируемые затуханием волн Таким образом, Рз является градиентом от скалярной величины, равной сумме (184) и (187), которая представляет собой разность между плотностью потенциальной энергии и плотностью кинетической энергии. Эта разность равна, конечно, нулю нри условиях, блиаких к условиям в случае плоских волн, включающим условия «дальнего поля» (гл. 1), когда сила Р; действительно з»бращается в нуль.
Однако даже в ближнем поле сила Р; не порождает никаких течений, так как она может быть точно уравновешена градиентом среднего давления, равным разности между плотностями кинетической и потенциальной энергий. В лаборатории часто наблюдают, как источники звука генерируют стационарный воздушный поток. Этот «звуковой ветер» стал известным, когда начали широко использовать мощные источники (часто с ультразвуковыми частотами), основанные на пьезоэлектрических свойствах кварца, и поэтому его иногда называют «кварцевым негром». Только что проведенный анализ вполне определенно наводит на мысль, что звуковой ветер должен зависеть от затухания акустического пучка; эта точка зрения подтверждается тем фактом, что поток прежде всего наблюдается при тех очень высоких частотах, прн которых в толще жидкости имеет место значительное затухание.
Действительно, как показано в равд. 1.13, часть акустической энергии, потерянная таким образом за каждый воляовой период, составляет (188) 2я еобс, », где коэффициент диффузии звука б включает в себя постоянные вклады от вязкости и теплопроводности, а также и зависящий от частоты вклад от термодинамических «запаздываний». Таким образом, доля энергии, потерянная на единице пути распространения, которая равна величине (188), деленной на длину волны 2ясо«о ', принимает значение ~) =- 6«««с ', (189) которое становится особенно значительным прн высоких частотах. При этих частотах плоский источник звука, такой, как грань колеблющегося кварцевого кристалла, может генерировать узкий пучок (равд. 1.12).
Мы рассмотрим сначала звуковой ветер, связанный с затуханием такого пучка. Действующая на жидкость суммарная сила, вызываемая пучком мощности Р (в Вт), равна Рс , 'и распределена таким образом, что на расстоянии Х от источника сила, отнесенная к единице длины, дается выражением Рс»()е Зх. 412 4. Внутренние вовнт Приведем два альтернативных способа интерпретации этогву результата. В напряжении Рейнольдса (156) в звуковом пучке преобладающим членом, очевидно, является составляющая, параллельная пучку (член р,и'„соответствующий 1 = 1 =- 1, если пучок.
направлен вдоль осй х,). Соответственно в градиенте (182г основным членом является скорость изменения по х„обусловлепная затуханием. Действительно, мы только что показали, что любое воздействие пучка, не являющегося строго параллельным (равд. 1.12), не проявлялось бы при отсутствии затухания. Таким образом, сила на единицу объема, определяемая выражением (182), почти параллельна пучку и принимает значение, соответствующее затуханию, происходящему со скоростью (1 на единицу пути, а именно значение (1р,и,' -= 0И' = (Ус,', (191) где И' — плотность волновой энергии, а 1 — интенсивность (поток волновой энергии).
Поэтому сила, отнесенная к единице длины, принимает внд (190), так как интеграл от 1 но площади поперечного сечения пучка равен мощности Ре Ьх, (192) остающейся в пучке на расстоянии Х от источника после затухания со скоростью (1 на единицу пути. Еще проще (возможно) воспользоваться результатом (159), доказанным в предыдущем разделе для звуковых волн, чтобы убедиться, что поток количества движения в пучке равен потоку энергии 1, умноженному на величину ю 1)с„которая равна с,'. Суммарныи поток количества движения на расстоянии Х от источника поэтому равен потоку энергии (192), умноженному на с,'. А тогда видно, что генерирующая стационарный поток сила (190), отнесенная к единице пути, представляет собой убывание на единицу пути этой акустической скорости потока количества движения. Распределение стационарной силы, обусловленной звуковыми волнами (Рг на единицу объема в общем случае или же величина (190) на единицу пути для пучка), генерирует поле потока, который сам по себе становится стационарным, как только достигает такой скорости, при которой оказываемое ему вязное сопротивление будет препятствовать дальнейшему ускорению жидкости.
При этом уравнения, определяющие поле бездивергентной средней скорости ив, принимают вид рси; диу/дх; = Гу — др/дх~+ 9~7'ир (193) й.7. Стационарние тененин, генерируемне гатуханием иоан 413 Правая часть уравнения (193) включает отнесенные к единице объема силы, обусловленные волнами, распределением среднего давления и вязкими напряжениями (см.
равд. 3.5), а левая часть представляет собой член, равный произведению массы на ускорение при условиях стационарного течения. Движения акустического потока обычно рассчитываются без учета левой части уравнения (193), таь' что принимается, что .иу удовлетворяет уравнениям Рт — др(дху+ рЧ'и~ = О, дигддх; = О. (194) Это упрощение, по-видимому, логично, так как средние течения (вызванные силами, пропорциональными акустической мощности) пропорциональны квадратам возмущении; поэтому величина в левой части (193) пропорциональна четвертой степени возмущений, и ею следует пренебречь при определении любой величины второго порядка, подобной полю среднего потока.
Мы приведем сначала результаты линеаризации уравнения (193) для иаи которая сводит его к уравнениям (194), описывающим течения с малыми числами Рейпольдса; затем мы покажем, насколько слабыми должны быть, однако, возмущения, чтобы это было хоро1пей аппроксимацией. В литературе, посвященной течениям с малыми числами Рейнольдса, показывается, что решения уравнений (194) в неограниченной жидкости можно записать в виде — Еггг+ (рпз) гг.
(195) где вектор гг (с модулем г) означает перемещение от объемного элемента Ит, на который действует сила Р; егт, до точки с искомой скоростью ир Подинтегральное выражение в (195) называется полем скоростей от стокслета, порождаемым силой Ру Ыт. При очень большой скорости затухания р распределение (190) силы, отяесенной к единице длины, в звуковом пучке может быть достаточно хорошо представлено как поле скоростей от стокслета, генерируемое одной сосредоточенной силой Р = = Рс,', приложенной в центре масс Х = )г ' этого распределения.
Указанное поле скоростей легко построить (рис. 82, а) прн помощи правила, согласно которому объемный расход через любое с<кольцо» радиуса з с центром на линии действия этой сосредоточенной силы (и перпендикулярное ей) равен (4п)-' Рзаг '. (196) Очевидно, что объемный расход (196) через ьаждое поперечное течение одной ич трубок тока на рис.
82, а должен сохранять 414 4. Внутренние еолнм рис. 82. Медленное стационарное течение, порождаемое средней силой Г,. с которой акустический пучок действует на жидпость. ив трубки тока для стокслета (решение для медленного течения, генерируемого сосредоточенной в точке силой Р). 6 — трубки тока для зкспоневциального распределения силы ()90), характерного для затухающего акустического пучка. В обоих случаях пприховая линия изображает ось симметрии.
Объемный расход в каждой изображенной здесь трубке тока равен расходу в самой внутренней трубке тока. 4.7. Стационарные течения, генерируемые еатуяанием еаан 415. одно и то же постоянное значение. В качестве этих объемных. расходов через разные трубки тока на рис. 82, а используются равноотстоящие значения.
Более точное пзображение дано на рис. 82, б, показывающем поле скоростей от экспоненциального распределения силы (190) вдоль оси пучка. На расстояниях, больших примерно Зр г от центра масс С эпюры силы, оно почти совпадает с полем скоростей от одного стокслета в точке С (рис. 82, а).
Твердые границы часто существенно изменяют звуковые потоки; это влияние границ можно исследовать методамн, применяемыми для течений с малыми числами Рейнольдса. Когда акустический пучок создается колеблющейся мембраной, заподлицо заделанной в плоскую стенку (ср. с равд. 1.12), эта стенка, создавая дополнительное вязкое сопротивление потоку, может уменыпить как его скорость, так и его протяженность.
При малых числах Рейнольдса поле скоростей, создаваемое сосредоточеняой силой р' прн наличии нормальной к этой силе плоской стенки, меняется следующим образом: если 1 — зеркальное изображение положения стокслета в плоскости, то объемный расход (196) сводится к 1 (4(е) гРаз~ г ' — г,' — — (гг — га) г1г1 2 ,1 (197) где гг — расстояние от изображения 1. (Очевидно, простое вычитание г(г сделало бы твердую стенку поверхностью тона, однако требуется еще дополнительное вычитание члена типа диполя ('/я) (г1 — га) г1', чтобы дать единственное решение, удовлетворяющее условию прилипания.) Мы можем воспользоваться выражением (197) для расчета стационарного течения, генерируемого распределением (190) силы, отнесенной к единице длины, па расстоянии Х от стенки, на которой расположен источник звука (рис. 83).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
