Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 85
Текст из файла (страница 85)
3.9) волны в потоке воды, который, однако, представляет собой просто равномерное течение, на которое накладываются эти волны. В некоторой системе отсчета вода находится в состоянии покоя, за исключением этих волн, генерируемых движущимся в данной системе отсчета объектом. В этом разделе пы будем изучать распространение волн в неравномерных потоках, в которых проявляется способность жидкости к неограниченным деформациям. Хотя в каждой точке система отсчета может быть выбрана локально так, что среднее течение будет отсутствовать и волны будут распространяться в покоящейся жидкости, требуемая система отсчета при этом будет различной в разных точках.
Это. как мы увидим, изменяет энергетику распространения волн. В то же самое время мы ограничимся течениями, которые неравномерны, но меняются только плавно в масштабе длины волны. Сначала мы покажем, как можно расширить общую теорию прослеживания лучей (равд. 4.5), чтобы применить ее к распространению волн доволыю общего типа в движущейся жидкости при условии, что ее свойства (включая поле скоростей течения, а также и свойства, которые влияли бы ва волны даже в покоящейся жидкости) меняются медленно з масштабе длины волны. В качестве основных иллюстраций мы используем распространение звуковых и внутренних волн в неравномерном воздушном потоке.
Ъ!ы ссылаемся также на результаты, относящиеся к распространению волн в неравномерном потоке воды. Во всех случаях мы обнаружим, что уравнения. относязциеся к энергии (равд. 4.5), изменяются, так как имеет место энерго- обмен между волнами и средним течением. Мы дадим простую теорию этого энергообмена, применимую к звуковым волнам, волнам яа воде и внутренним гравитационным волнам и пригодную такяве для изучения течений, генерируемых волнами (раздел 4.7); в дальнейшем (вторая часть эпилога) мы увидим, что один из основных результатов (сохранение волнового действия) является принципом очень большой общности, который может быть использован как ключ для анализа энергообмена в гораздо более широком классе случаев.
е. Вггртренние еенны Мы используем = (гл гз гз) (140) для обозначения поля средних скоростей, через которое распрострапялотся волны. Волны часто будут рассматриваться в локальной системе отсчета, движущейся с определенным значением (140) скорости среднего течения. В этой системе отсчета воздушный поток локально отсутствует и волны имеют частоту лог — юг ()гл, й" )гз хл хз хз) (141) соответствующую покоящейся жидкости. Индекс г в (141) можно рассматривать как обозначение изноя (гез1) плп же относительности (ге1аИте): лог является частотой колебаний относительно локальной средней скорости. Так же как и в равд.
4.5, мы предположим, что свойства жидкости меняются столь медленно, что только пх локальные значения влияют на локальное дисперсиопное соотношение (141). Аналогично этому мы будем предполагать, что изменения среднего течения в пределах длины волны настолько малы, что их влиянием на дисперсиокное соотношение можно пренебречь.
Существует простое соотношение между абсолютной частотой ез (частотой колебаний, происходящих в некоторой фиксированной точке пространства) и относительной частотой юг (частотой колебаний, происходящих в точке, движущейся со скоростью )гл). Абсолютная частота оз и волновой вектор )гз даются частиымн пропзводпымп (80) от фазовой функции а (х„х„хз, л). Относительная частота вг представляет собой скорость (142) да(дл + )'Л да/дх;, с которой изменяотся фаза в точке, движущейся со скоростью 1;; поэтому юг = ю — 1'лйр (143) Уравлление (143), связывающее частоты одних и тех же волн в двух различных системах отсчета, является очень важным для прослеживания лучей в воздушном потоке, а также имеет и другие приложения. Например, волны, генерируемые в покоящейся жидкости движугл1ился источником, которьлй осциллирует с частотой ол, имеют относительно жидкости частоту ю„которая удовлетворяет (143) при условии,, что г'л является скоростью источника с обратным знаком; иначе говоря, г'Л (как и выше) представляет собой скорость нлидкости относительно системы отсчета, в которой измеряется вз.
В случае движущихся источников уравнение (143) уже данно называется соотноше- 4.6. Лрослеасивапие луча в воздушном потоке 397 нием Допплера, и естественно его называть этим именем также и для волн, распространяющихся в неравномерно движущейся жидкости. Для звуковых волн, волновой вектор которых ггг (перпендикулнрный гребням волн) образует угол О со скоростью воздушного потока Ъ';, обычное акустическое соотношение со „= сз ()г', + )г, '-.~- /ге)Ю, (144) которому удовлетворяет ы„означает, что 1';Лт .—— — Р ()г, к А ч- 1гз)г1 соз О -= гог (Нсо) со..
О. (14э) где )г — скорость воздушного потока. Поэтому уравнение (143) е дает гог = 1+(угсз)соз ге ' (146) Такая запись соотногнення Допплера означает, что для острьгх углов О (распространение по потоку) волны данной частоты ю имеют относительные частоты юг, которые постепенно уменьшаются (соответствуя увеличению длин волн), когда скорость потока увеличивается. То же самое уравнение (146) дает обычную уменьшенную частоту юг звука, воспринимаемого наблюдателем в спокойном воздухе от звукового источника с частотой го, удаляюи1вгося от наблюдателя со скоростью )г (в направлении, образующем угол О с прямой, соединяющей источник и наблюдателя).
Л наоборот, эффект Допплера делает ю„ больше ы в тех случаях, когда либо (1) движущийся источник приближается к наблюдателю в спокойном воздухе, либо (П) волны распространяются против потока. Построение лучей в воздушном потоке начинается с комбинации уравнений (141) н (143): ю = ггсг)г; (хп хз, хз) + юг ()гг 1ез: )сз~ хг хз хз)- (147) Затем это соотношение между производными (80) от фазовой функции гз приводит, как н в общей теории, начинающейся с уравнения (100), к уравнениям (106) и (107) для скоростей изменения вдоль лучей. Скорость (107) волнового пакета вдоль его луча выражается как г7хг1М = )гг + еюгlд1гг =- )г + П (148) что является просто векторной суммой скорости воздушного потока и групповой скорости в покоящейся жидкости.
Как и следовало ожидать, волновой пакет перемещается с локальной групповой скоростью относительно локального воздушного потока. й. Виуи>реииие волиьв Уравнение (147) показывает также, что в воздушном потоке закон (106), описывающий рефракцию, принимает вид Щйг = — й; дй>ддх, — до>,!дхм (149) Здесь первый член представляет рефракцию, обусловленную градиентами воздушного потока, а второй — рефракцию, обусловленную изменением свойств жидкости (таких, как с„и >у). Как и в общей теории, пз результата (108) следует, что частота ы остается вдоль лучей постоянной.
Однако относительная частота о> „моя;ет изменяться; действительно, Йыг)й» =- (до>г!д)«>) ~й;7дГ+ (дго»)дх;) Ых й = — б>,)«, дР>!дх; -~- 1'; до> „!дхо (150) Существует поразительная связь не>иду изменениями относительной частоты и волновой энергии. Из равд.
4,5 нам известно, что в покоящейся жидкости волновая энергия переносится неизменной вдоль лучей. Это не так для волн в неравномерно движущейся жидкости, главным образом потому, что эти волны сами по себе не составляют консервативную систему: они могут обмениваться энергией со средним течением. Это можно быстро понятгч если воспользоваться в каждой точке локальной системой отсчета, движущейся с локальной средней скоростью $'>и Мы обозначим плотность волновой энергии через И>„, чтобы напомнить себе, что это — значепие И" при движениях волн относительно локального потока.
Поэтому И'„связано с амплитудой и волновым числом так я.е, как в покоящейся жидкости, поскольку это есть значение И' в той локальной системе отсчета, в которой невозмущенная жидкость находится в состоянии покоя. Общий прияцип механики (у>не использованный в равд. 1.9) утверждает, что частица массы М, движущаяся в ускоренной системе отсчета, ведет себя так, как если бы помимо всех обычных сил, действующих на нее, к пей была приложена дополнительная сила, так называемая сила ивер>(ии. Эта сила инерции равна произведению — ЛХ на ускорение системы отсчета. (Сила инерции по существу представляет собой ч.>ен, равный произведению массы на ускорение, который, будучи опущен в выражении второго закона движения Иьютона, в которое были включены только уокорения относительно системы отсчета, должен появиться в «силовой» стороне этого уравнения с противоположным знаком.) Если движение жидкости исследуется в системе отсчета, различной в каждой точке и имеющей при (х„х„х») скорость р; (х„х„х,), то на частицу, которой волновые движения в.о.
Проевваеиванив *уча в воздушном потоке 399 сообщают скорость ип будут действовать все силы, присущие этим волновым движениям в поьоящейся жидкости, плюс еще одна дополнительная сила, а именно сила инерции, равная — риз дКв/дх; (151) на единицу объема, где р — масса частицы на единицу объема, а и; дв' /дх, ('1 52) — ускорение системы отсчета, связанной со скоростью частицы иь Соответственно тональная скорость изменения волновой энергии дИ~е/д/ на единицу объема равна сумме обычного значения — з/'! = — д (Изе(/з)/дх; (153) и мощности — ри;и д!е~/дхз (!54) силы инерции на единицу объема (151), действующей яа частицу жидкости, имеющую скорость ир Черта в (154) означает осреднение по периоду волны. Мы узнаем здесь уже встречавшуюся в равд.
1.10 величину ри;и; как тензор потока количества движения, представляющий, например, скорость переноса х;-й составляющей количества движения (ри;) в направлении хе Осредненный, поток количества движения, входящий в выражение (154), может перераспределить количество движения среднего течения; на рис. 78 показывается, что эта величина действует на среднее течение как приложенное извне напряжение (сила на единицу площади), которое совершает работу, соответствующую мощности + ри; и~ д)е /дх; (155) на единицу объема. Мы приходим к заключению, что локальная волновая энергия меняется со скоростью на единицу объема, определяемой двумя процессами, в каждом из которых энергия сохраняется: (!) член (153) представляет перенос волновой энергии И'„с групповой скоростью !/; относительно локального среднего течения; (И) член (154) представляет обмен со средним течением, который происходит со скоростью, равной и противоположной по анаку скорости изменения энергии (155) .
Мы называем ри;и; напряжением Рейнольдса. Рейнольдс первый покааал, что турбулентные изменения скорости жидкости около среднего течения действуют с эффективным напряжением на это среднее течение; распространение волн в среднем течении действует таким же образом, и выражение для эффективного напряжения в точности то же самое, и. Внутренние еолнм 4оо роьоэг В ! и~ ~ и; гююЯ ! Р | Л площадь В 1 А 1 Рпс. 78.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
