Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 80
Текст из файла (страница 80)
до — ее, и используя (12), мы выразим квадрат частоты через плотности р, и р. выше слоя и ниже его: ( о ( )~ро (з)] Вз х Ф]н(рз!ре) ° (74) Интересно, что выражение (74), основанное на прнблнженной теории внутренних волн, очень близко к точному значению (3): легко проверить, что ошибка имеет порядок куба разности плотностей, т. е. (р, — р,)о.
Это показывает, что даже чрезвычайно большие локальные значения р,' (г)~ро (х) не должны нарушить точности приближения Буссинеска при условии, что общее относительное изменение плотности остается малым. Приведенное выше обсуждение внутренних волн в океане касалось тех волн сравнительно высокой частоты (с периодом не свьппе 30 хпшут), которые имеют тенденцию оказаться захваченнымн вблизи термоклнна.
5(ы, однако, должны заметить, что существуют и волны намного более низких частот. Эти волны более свободно распространяются через толщу океана и вообще проявлгпот большее сходство с внутренними атмосфернымп волнами, которые будут описаны ниже. Об пх роли в обмене количеством движения между течениями на разных уровнях будет сказано в равд. 4.6.
Атмосфера во многом отличается от океана в отношении внутренних волн. Прежде всего, по мере увеличения высоты плотность уменьшается во много раз (почти беспредельно).. Тем не менее в силу того, что ( — р,' (г)/ро (з)] принимает значения в интервале от 0,08 до 0,16 км ', большинство внутренних волн (с длинами волн вплоть до 1 или 2 км) достаточно хорошо удовлетворяет условию (52), при котором они совершенно не связаны со звуковыми волнами. Только в одном важном случае, который будет обсуждаться в равд.
4.13, существует очень сильная связь между внутренними гравитационными волнами и звуковыми волнами; это происходит там, где возмущения давления распространяются горизонтально таким образом, что над каждой точкой Земли движения воздуха на всех высотах г находятся в фазе. Такие волны имеют длины настолько большие, что, не удовлетворяя условию (52), они скорее, аналогичны «длинным волнамз гл. 2. Следующее отличие от океана состоит в том, что, в то время. как Л' (г) для океана может иметь вблизи термоклнна распределение с четко выраженным пиком, многие устойчиво стратифицированные области атмосферы имеют более плавно изме- 374 у.
Внутренние волны няющееся распределение Х (г), как, например, в стратосфере, представляющей обширную область с основанием (тролопаузой), расположенным на высоте около 10 км над уровнем моря (а в тропиках значительно выше). В таких случаях внутренние волны с длинами порядка от 10' до 10» и можно исследовать при помощи изложенных в следующих двух разделах траекторно-лучевых методов, основанных на предположении, что Х (г) медленно меняется в масштабе длины волны.
К тому же в атмосфере воздушные потоки (ветры) оказывают влияние на внутренние волны н взаимодействуют с ними еще в большей мере, чем течения в океане. Именно по этой причине мы включаем равд. 4.6 о прослеживании луча в воздушном потоке с приложениями к распространению как внутренних, так и звуковых волн в неоднородных воздушных потоках. Стационарные внутренние волны могут порождаться препятствиями (горы и пр.) в стационарном воздушном потоке. Подобно поверхностным гравитационным волнам в стационарном потоке (равд. 3.9), они обнаруживаются вниз по потоку от препятствия и поэтому известны как «подветренные волны».
Часто конденсация в гребнях делает их ясно видимыми. Такие волны будут обсукдаться в равд. 4.12. Упоминание о конденсации приводит нас к последнему основному различию меяеду атмосферой и океаном в отношении внутренних волн. Содержащиеся в атмосфере водяные пары подвергаются фазовым изменениям, при которых высвобождается нли поглощается скрытая теплота. Эти тепловые процессы могут изменить выражение (8) для избыточной плотности, а поэтому также и условие устойчивости (10). В сухом воздухе (в котором может содержаться некоторое количество водяного пара, но нет конденсации) критерий устойчивости (10) легко преобразовать в условие для «вертикального градиента» (скорости падения температуры Т„= ре/(Вр») с высотой): (75) — Т; (г) ( ср'д; здесь удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна ср - — — 1000 Джонг К '.
Условие (75) можно получить егце проще: непосредственно из термодинамической зависимости длн совершенного газа, согласно которой при обратимых изменениях ср ЙТ = р "еер; поэтому воздух, испытывающий понижение давления рд~, охлаждается на величину с,'у~ и опускается тогда и только тогда, когда зта величина превосходит понижение [ — Т; (г)[ ь температуры окружающего воздуха. Это предельное для устойчивости аначение вертикального градиента (75) приблшкенно равно 1 градусу на 100 м. Когда указанное 4,4.
Ввевение в иииеотрвпную Еиеиереию значение производной становится больше, начинают усиливаться вертикальные перемещения; они вызывают быстрое перемешивание, которое продолжается до тех пор, пока оно не уменьшит вертикальный градиент до значения нин«е предельного. Во влажном воздухе (например, з облаках), в котором парциальное давление водяного пара в воздухе равно давлению насыщенного пара ри и в котором имеются капельки конденсированной воды, критический вертикальный градиент для устойчивости намного меньше.
Это проще всего обьяснить тем, что эффективное ср для такой смеси значительно воарастает. Причина этого состоит в том, что при росте температуры увеличивается р, и поэтому требуется, чтобы подводимое тепло расходовалось не только на подогрев воздуха, но и на испарение достаточного количества воды для необходимого увеличения парцнального давления водяного пара. Руководства по метеорологии указывают, что в условиях на уровне моря при 20 юс это почти удваивает с„н поэтому вдвое уменьшаегп критическое для устойчивости значение вертикального градиента (это уменьшение несколько меньше прн низких температурах, хотя и слегка возрастает с падеяием давления).
Кучевые облака представляют собой области вертикального движения, интенсивно возбуждаемого при условиях насыщения, когда вертикальный градиент — Т; (з) превосходит свое критическое значение для влажного воздуха. Видимые облака появляются там, где воздух поднимается и охлаждается, что приводит к конденсации; просветы между ними находятся там, где воздух опускается и нагревается, что приводит к испарению. Часто устойчивый слой над кучевым облаком может быть областью интенсивного распространения внутренних волн, вызываемого резкими вертикальными двнженкямн ниже его.
4.4. Введение в анизотропную дисперсию Для исследования внутренних гравитационных волн удобны два основных метода. Когда частота Вяйсяля — Брента Ф (е) имеет распределение с четко выраженным пиком, как в термоклине, часто оказывается полезным метод аахваченных волн (равд. 4.3). Захваченные волны распространяются по горизонтали, поэтому дисперсия изотропна; для данной частоты наибольшая скорость распространения волн обнаруживается в «волнообразных» колебаниях, которые являются естественным обобщением гравитационных волн на поверхности разрыва. 376 В.
Внутренние еоанн Другой метод исследования, применимый в том случае, когда У (г) медленно меняется в масштабе длины волны, основывается па трехмерном обобщении понятия групповой скорости, развитого в гл. 3. Этот второй метод, который будет описан полностью в равд. 4.5, используется довольно широко; в самом деле, даже при пиковом распределении частоты де (г) он может дать поразительно хороший учет (см. равд. 4.11) всех колебаний захваченных волн со скоростями распространения, меныппмп, чем для «волнообразных» колебаний; кроме того, он еще оолее широко применяется в случаях медленно меняющихся градиентов плотности.
Читатели, которым природа изотропной дисперсии уже знакома, могут тем не менее обнаружить совершенно неожиданные свойства вектора групповой скорости для внутренних волн и других аниаотропных систем. По этой причине (как и з гл. 3) мы начинаем общее изложение в следующих разделах с особенно простого анализа некоторого типичного случая, а именно однородной системы с постоянным Л", для которой в равд. 4.1 были получены синусоидальные решения типа плоских волн (23). Причины, по которым особое внимание уделяется сннусоидальным волнам, те же, что и в равд.
3.6. В частности, хотя мы и откладываем до равд. 4.8 трехмерный анализ Фурье генерирования волн локальным возмущением сложной формы, мы можем анонсировать выводы этого раздела, отмечая, что различные компоненты в виде синусопдальных плоских волн через некоторое (довольно продолжительное) время обнаружпваютсн в совершенно различных местах. Поэтому волны, наблюдаемые в каком-то определенном месте, приближенно могут считаться синусоидальными. В случае постоянного Л' мы видели (равд. 4.1), что волны определенной частоты ю ( !у имеют поверхности постоянной фазы, образующие определенный угол агс соз (ю/Х)) с вертикалью. Если бы мы предположили, что волны, которые локализованный источяпк излучает в любом направлении, имеют свои поверхности постоянной фазы под прямым углом к этому направлению, то следовало бы ожидать, что мы обнаружим волны частоты ю в направлениях, образующих этот угол агс соз (сз/Дг) с горизонталью... Одкако из гл.
3 нам известно, что такие грубые выводы по аналогии с реаультатамн, полученными при отсутствии дисперсии, ненадежны, а в данном случае мы покажем, что едва ли может быть что-либо более ошибочное! Первый признак того, что это так, уже был дан результатом (конец равд. 4.1), согласно которому поток волновой энергии направлен параллельно поверхностям постоянной фазы. Это означает (и, как мы увидим, правильно), что волны, обнаружен- 4.а.
Введение в аниеотронную диепеоеню Ъте ные в определенном направлении от источника, имеют свои поверхности постоянной фазы, параллельные этому направлению; поэтому волны частоты ео находятся в направлениях, образующих угол агс соз (во~де) с вертикалью. Настоящий раздел имеет тот же смысл для анизотропной дисперсии, что н равд. 3.6 п 3.8 для изотропной дисперсии. Мы начнем (по возможности просто) с вывода свойств вектора групповой сноростп прн помощи метода, пригодного для более поздних стадий дисперсии, когда волны со значительно различающимися волновымп числами далеко отстоят одна от другой; тогда онп тан сильно днспергированы, что между пимн волновой вектор медленно меяяется в масштабе длины волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
