Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Ниже этого слоя (толщина которого имеет порядок 10« м) может существовать область резкого перехода, называемая термоклином, где с увеличением глубины температура резко падает, а соленость может несколько увеличиваться. В термоклине Л (г) принимает 369 4.8. Внутренние волны е океане и атмосфере Ю20 О О,ООб 0,0~ Ю27 0,5 ы м 60 ) ы Рнс. 74. Типичное среднее пзыенение уо в океане в зависимости от ттубины и соответствующее изиенонио частоты Вяйсяня — Брента Л'. довольно болыпие значения, порядка 10-2 с-т или больше, уменыпаясь до обычных положительных вначений на больших глубинах (рис.
74). При этих условиях внутренние волны могут оказаться захваченными областью теръюклина. В равд. 4.1 мы установили, что Л' (2) можно рассматривать как наибольшую возможную частоту локальных колебаний. Поэтому, если бы некоторое колебательное вынуждающее воздействие имело частоту ю, находящуюся в интервале наибольших значений )т' на рис. 74, то можно было бы ожидать, что оно вызовет колебания только в тонком слое, где Л7 (и) ) ю. Эти колебания оказались бы захваченными этим тонким слоем и могли бы распространяться только горизонтально.
Исследование, основанное на уравнении (22), показывает, что этн ожиданпя в основном оправдываются, хотя возмущение все-таки проникает немного и в область, где 717 (2) ( ю. Уравнение (22) имеет решения ц = (7 (з) ехр (1 (ЮФ вЂ” есх)1, представляющие волны, распространяющиеся горизонтально в направлении х со скоростью юей при условии, что ю'0'(з) + й' ((й7(2)Р— ю') 0(2) = 0- (71) 20-0 Ыос 4. Внутренние волны (Для упрощения аналиаа мы исключаем завися»»ость от координаты у; ааметим, однако, что (при надлежащем выборе оси х) в виде (70) можно записать волны, распространяющиеся в любом горизонтальном направлении.) Уравнение (71) имеет именно тот вид, который нужен для представления захваченных волн. Всюду, где Х (г) ) «е, это уравнение имеет зид, аналогичный уравнению простых гармонических колебаний; оно, действительно, должно иметь «волнистые» решения, везде обращенные вогнутостью к оси г, так как обязательно имеет знак, противоположный е',).
С другой стороны, там, где Х (г) е ю, Св" обязательно имеет тот же самый знак, что и (л, и решения ведут себя как экспоненты (возрастая или убывая). Захватываться будут те волны, для которых е/ (г) зкспоненциально убывает на обеих сторонах интервала г, где Х (г) ) о». В курсах теории дифференциальных уравнений показьтвается, что любое уравнение вида (71), где Л' (г) ) ев только в одном интервале значений г, имеет указанные решения типа захваченных волн для значений /», образующих некоторую возрастающую последовательность /«о, йм /с„.... Более того, график решения (/ = ()„(г), соответствующего й = /«„, пересекает ось точно в и точках (каждая из которых, согласно (71), является точкой перегиба).
Мы опустим детали этого классического анализа и приведем только (на рис. 75) наиболее существенные доводы, доказывающие существование такой последовательности. В области /е' (г) ) е», где решение обращено вогнутостью к оси г, значение /«определяет, насколько резко воарастает его кривизна при перемещении от этой оси, что в свою очередь определяет степень его «волнистости». Но любое решение, вкснонвнцивльно убывающее при больших отрицательных г (подобно поверхностным волнам гл.
3), должно достигать точки перегиба там, где /е' (г) становится равным аь Заметим, что все такие решения должны отличаться одно от другого постоянным целочисленным множителем и, следовательно, иметь вполне определенное значение отношения е/'(г)/~3(г) в указанной точке перегиба. Воаникает вопрос, будет ли для такого решения, когда оно достигнет другого конца интервала, где /е' (г) ) о», достигаться значение (1'(г)/«/(г), нужное для того, чтобы соответствовать решению, зкспоненциально убывающему, когда г растет за пределами этого интервала. Для различных значений /«, определяющих степень «волнистости» решения (увеличение кривизны при удалении от оси), выполнить зто окааывается возможным: (1) при отсутствии пересечений с осью для неболыпото по величине значения /««, (й) при одном пересечении для значительно о.о Внутренние оолнн о океане и атмосфере ) ( а.(е) ! ) ( о ха. Рис.
75. Графики решений уравнения (71), стремящихся к нулю при больших о (полсжительиых клк етрицатсльвых). Штриховые прямые выделяют область оч (о) ы «волвястых» ревтевий, обращенных ватку«остью к оси о. При помощи такого «волнистого» решения, я»«сющсгс О, 1,..., пересечений с осью, для определенных аначеиий Ь, равяых )ео, )е»,..., можно «склеить» одно иа решений, стремящихся к нулю при болыпях отрицателькых», с одним яа решений, стремяшихся к нулю прк больших коложктелькых о.
большего значения йм (П() при двух пересечениях для еще большего значения йа и т. д. Наибольшая горизонтальная скорость распространения волн ш)й получается при наименьшем волновом числе й = й,. Соответствующее распределение вертикального массового расхода (,»о (х) положительно для всех з. Это означает, что вся область термоклина поднимается и опускается в одинаковой фазе; при этом говорят, что она совершает «волнообразные» ('зрлпопз') колебания. Попутно следует заметить, что волновое число йо меняется вместе с ш; эти горизонтально распространяющиеся 2»о 272 е.
Вндтренние ««нны волны, следовательно, проявляют нзотропную дисперсию, определяемую групповой скоростью // —.= [Й; (ю)]-' в соответств««и с общей теорией, изложенной во второй части гл. 3. Значительно меньшая скорость распространения волн получается прп Й = Й,. Соответствующее распределение /',/, (г) меняет знак в середине области термоклина. [толебания в этом случае называют впрняпзными: там, где поднимается верхняя часть термоклппа.
нпжяяя часть опускается, и наоборот; таким образом, область термоклнна меняется по толщяпе. Все более медленные колеоания с Й = /е„ /«,... являются все более сложными; для каждого пз нпх групповая скорость равна [Йн (оз)]-'. Читатели, знакомые с квантовой механикой,могут заметить, что уравнение (71) похоже на уравнение Шредингера ]де/(2ЛХ)] «Р" (г) + [Š— Г (г)] «Р (з) = — О, (72) которому удовлетворяет волновая фучткцпя ф (г) для частицы с массой ЛУ и энергией Е в «потенциальной янез г' (г). Для данного энергетического уровня между верхом и дном этой ямы возможно существование аналогичной бесконечной последовательности «состоянийа захваченных волн для возрастающих значений массы М. Чаще физики полагают М фиксированным н устанавливают последовательность энергетических уровней Е, для которых существуют захваченные волны, хотя такая последовательность может быть только конечной.
Следует заметить, что последняя процедура возможна н для уравне.ния (71): она соответствует нахождени«о последовательности частотных уровней ю„ееы... для фиксированного Й, где юе (/«), например, является просто функцией, обратной к Й, (ю). В предельном случае чрезвычайно крутого термоклина, разделяющего области с малым илп нулевым градиентом плотности, внутрензше волны прп «волпообразнойа моде Й = — Й, становятся пдентичнылш волнам на разрыве плотности, упомянутым в начале этой главы. Чтобы это понять, заметим, что нскомыо решения уравнения (71) должны быть пропорцнональнымя ехр (Йг) ниже этого слоя п ехр ( — Йг) выше его.
Поэтому 1/'/(/ должно изменяться от жЙ до — Й в пределах слоя, а для моды /« =- Й, это изменение должно быть монотонным убыванием от +Й до — Й. Если толщина слоя мала по сравнению с 1/Й. то это распределение ()'/() моя«ет вызывать только малые пропорциональные изменения (,/. Поэтому, согласно уравнению (71), изменение ~',)'/// приблизительно равно интегралу по толщине слоя от Ь/е/(/, а именно — Йз ~ [«о «[Л'(з)] з — '1/«/зж — Йьы а [Х(х)]те/х, (73) 4,о. Веедоереннив волин в океоне и аоиооефере 373 где интеграл от 1 равен толщине слоя, которой уже пренеорегли по сравнению с 17о. Приравнивая (73) приращению — 21с, обусловленному уменьшением от -гА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
