Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Объединенная теория звуковых и внутренних волн Методика вывода дисперсионного соотношения для внутренних волн, изложенная в равд. 4.1 (использующая уравнения движения, чтобы получить (24), илп энергетические соображения вместе с геометрическими, приведенными на рис. 72, чтобы получить (15)), достаточно проста. Тем не менее изложенные методы, возможно, не вполне убедительны, поскольку они принимают во внимание избыточную плотность, являющуюся следствием вертикального перемещения, в одном случае (влияние силы тяягести в уравнении количества движения), но пренебрегают скоростью ее изменения в другом случае (уравнение неразрывности).
Одггы из путей нахов'дения условий, прн которых этп методы могут дать хорошее приближение,— это сравнение отбрасываемого члена д1г,(дй который, согласно (21), равен д-ггтзг7, с одним из членов, сохраняемых в уравнении неразрывности (17), а именно с дг7/дз. Это наводит па мысль о том, что волновые числа должны быть большияги гю сравнению с г7 гХЯ, чтобы сохраняемый член был болыпим по сравнениго с препебрегаемым членом. Может также возникнуть мысль о необходимости спросить, имеем ли мы основание предполагать, что избыточные плотности р, возникают только вследствие вертикального перемещения до некоторого уровня с другим гидростатнческнм давлением р,.
Сжимаемость жидкости допускала бы догголнителвные изменения плотности с„яр„возникающие из-за изменения давления р, на фиксированном уровне. Из уравнения (18), однако, следует, что это могло бы внести незначительное изменение в р, для волновых чисел, больших па сравнению с дс„з (так как решение уравнения (18) для р, было бы тогда величиной меньшего порядка, чем с,'р,). Эти два предварительных условия для точности приближения Буссинеска тесно связаны между собой, так как, согласно А Вияижвиние волин 356 (12), величины у 'Л'«и де„з складываются: К ~в"«'«+ яе,« = ( — р (г)'р«(г)], (29) образуя относительную скорость уменьшения плотности с высотой.
Для волновых чисел, болыиих но сравнению с юной еумл«ой, оба условия поэтому выполнены. Два фактора, о которых только что упоминалось в связи с тем, что опи не учитывались в приближении Буссинеска, являются, конечно, основными факторами, определяющими распространение зерна; в этом случае сжимаемость связывает с каждым локалыьым изменением давления локальное изменение плотности, которое в свою очередь влияет на дивергенцню поля скоростей.
Таким образом, только благодаря пренебрен«ению этими эффектами в равд. 4.1 можно было исключить звуковые волны пз решений наших уравнений. Есть три мотива, которые побуждают к изучению в этом разделе полных лпнеаризовапных уравнений для стратнфицированной сжимаемой жидкости, чтобы найти решения, которые могут включать как внутренние гравитационные волны, тан и звуковые волны. Один мотив состоит в том, чтобь«проверить наши предварительные условия для волнового числа, обеспечивающие правильность дисперспопного соотношения (24) для внутренних воля. Второй мотив состоит в том, чтобы найти условяя, прн которых звуковые волны не подвержены воздействшо гравитации. Случай постояпной энтропии на единицу массы был рассмотрен в конце равд. 1.2; в этом случае р,' (з) = (е«(г)]«р,', (г) и в силу уравнений (4) и (12) Л' = О, так что внутренние волны отсутствуют.
Затем было сделано заключение о том, что уравнения звуковых колебаний являются точными для волновых чисел 2яй, больших по сравнению с бе„«. В настоящем разделе мы расширим этот результат, показывая, что если звуковые волны должны испытывать пренебрежимо малое воздействие гравитации, то для любого Л~ волновое число должно быть, кроме того, большим по сравнению с г 'Лв'.
Таким образом, одна и та же пара ограничений на волновое число позволяет нам пренебречь нан влиянием сжимаемостк на внутренние волны, л«ан и влиянием гравитации на звуковые волны: при этих условиях звуковые и внутренние волны полностью «разделеныж Это наводит на мысль о третьей цели настоящего исследования: получить основу для анализа, особенно в равд. 4.13, случаев, когда (из-за нарушения этих условий) существует связь между звуковыми и внутреинимн волнами. е.2. Обаединенная енеория еознових и видтренних волн 357 Ыы начнем с того, что выпишем полное линеаризованное уравнение неразрывности в виде др,!яд+ (7 (реп) = О. (36) Если воспользоваться уравнением (30) вместо (17), то после взятия дпвергеш!нп от липеарпзовапного уравнения ко;шчества двнже>шя (16) получится е„~эре =-.
дгреlддг — ддре'дг. (о1) Можно заметить, что первый член в праной часта является значением ~угре для чисто звуковых волн, а второй член — его значением (!8) для чисто внутренних волн. Нам нообходнмо также иметь полное лцнеарязоваппое уравнение, утверждающее, что в обратимом процессе скорость изменения давления в движущейся частице равна квадрату скорости звука, умноженному на соответствующу|о скорость изменецня плотности. Точный (нелинсиригоеаяный) ввд этого уравнения таков: др/д!+ п Стр = сг (др(дд + и Сгр).
(32) где с — локальная скорость звука. Если в этом уравнении и, р — ре р — р„и с — с, являются малыми величинами, так что произведениями любых двух нз ннх можно пренебречь, и ес;ш р„р, н с, зависят только от г, то уравнение принимает вид др,,'дг + их[ро,'с[г =- [с, (г)!' [дре1дг —: жееро41г), (33) где и = ерро — направленная вверх составляющая вектора и.
С учетом гидростатического закона (4) и определения (12) величины У (г) получаем еэое!дт = [со (гИ гйре[д! ~ й 1 [Л~ (г)Рсе (34) Как и прежде, мы видим, что первый член в правой части является значением др,,'де для чисто звуковглх волн в однородной нендкости, а второй член — значением атой производной, определяемой для чисто внутренних волн формулой (21). Мы можем исключить р, из наших уравнений, используя уравнение (19), являющееся проекцией уравнения количества движения на ось г, Для (34) это дает дгд(дог + (йе (г)[гд =- д ре(с(где — у [со (г)[ одре(дГ, (35) в то время как уравнение (31), в котором дор,(дсг и ядр,7дг заменены их выражениями, полученными из (34) и (19) соответственно, записывается в виде д'ре)дхг + доре(дуг — [со (г)) одере(ддг =- = бг77а Э!+ д-'И (.)Р а7476 (36) Л.
Внуееренние нонны 358 Уравнения (35) и (30) описывают совместное распространение звуковых волн и внутренних волн в стратифицнрованной жидкости Прежде чем искать условна, при которых волны двух тппов не связаны друг с другом, мы проверцм, что наши уравнения не противоречат сохранению волновой энергии. 1(о сообранлениям, впервые изложенным в равд. 1.3, мы воспользуемся уравнением (28), чтобы опредесплть 1 == р,п как поток волновой энерпш, т. е, вектор, составляющая которого 1 и в направлении любого единичного вектора и представляет собой скорость, с которой волновая энергия переносится в направлении и через единицу площади малого п.тоского элемента, нормального к вектору и благодаря мощности Р,(н и), развивавмой избыточным давлением Р,.
Можно полагать, что соответствующая волновая энергия на единицу объема будет равна И' = —, [р,(г)] (и и)+ — [со (з)] е [Ро (з)]'н Ре е+,> [Ро (г)] [:У (э)]о ~ь', (37) т. е. сумме кинетической энергии, акустической потенциальной энергии к потенциальной энергии внутренних волн (13). Теперь эпо проверим, что скорость изменения плотности И« этой волновой энергии всегда будет в точности равна взятой с обратным знаком дивергенции потока во:шовой энерглллл (28). Для этой цели нам потребуется выражение (38) для вертикального смещения ь. Проинтегрировав затем уравнение (34) по времени, получим % (г)]е «~ = — д [ро (з)] л (ре — [со (г)] ор,) (39) К тому же замена в (33) выражения, стоящего во второй квадратной скобке, выражением — оо'~~ и в силу уравнения неразрывности (30) дает дР,(д1 = ибро (г) — [со (г)]' (ро (г)] '7 н.
(40) Скорость изменения волновой энергии (37) равна д]1 (д~= и '[ро(з) дн1де]+ [со(з)Г [ро(э)] 'РедРе)де+ +[р (з)] [Л'(з)]'~а«(41) что может быть представлено в виде суммы: (1) скалярного произведения вектора и на уравнение количества движения (16), 359 Ал. Объединенная теория звуковых и внутренних волн (й) произведения [с, (г)]-г [Ро (г)]-зр, на (40) и (ш) проиаведения [р, (г)] ш на (36).
В результате получаем дИЧдт = ( — и зурв — шаре] + ([с, (г)]-ашире — Р, С7.п) + + (шар, — [с, (г)] зшбр,), (42) где трн выраяуения з фигурных скобках соответствуют (1), (й) и (ш). В правой части четыре члена взаимно уничтожаются и, так как (43) звз'1 = т7' (Реп) = и 'Чрв+ РеЪ'"и. оставшиеся члены дают ожидаемое уравнение (44) дИ"7д~= — С7 1. Таким образом, мы проверили, что лпнеаризованные уравнения, которыпн мы пользуемся, обеспечивают сохранение энергии, если поток волновой эперпзн определяется вектором 1 = р,п (как в звуковых волнах), а плотность волновой энергии Й' дается выражением (37), в котором потенциальные энергии, связанные со звуковыми н внутренними волнами, просто сум шруются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
