Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В частности, отношение (187) должно быть функцией числа Фруда (186). 2.10. Корабельные волны 337 р1 тга 0,1 0,2 0,2 0,4 О,Б О,б у(дг)-ч' рнс. 69, тгвпкчпые результаты пзыеренпй зазпснмостм козффнпнепта волнового сопротнзленпя ((88) от Г(2() На — корня каадратного гиз числа Фруда ((86) — для корабля дллны Д дзнжупгегося со скоростью У. (Заметки, что число Фруда определяют по-разному п часто аелкчлну У (2()-Нь также называют числом Фруда.) Машптаб по ося ординат не приведен, поскольку он лзмеяяется е аазнскмостп от особенностей формы корабля (таккх, как отношение пшрпны к длине) з гораздо большей степени, чем показанная пшпчная заапспьюсть от чнсла Фруда.
Длн опыта с моделями отношение (187) обычно переписывают в виде коэффициента волнового сопротивления (188) где Х) = ьг-1Рк — волнообразугощая составляющая полного сопротивления движению корабля й (как и в формуле (162)). Чтобы найти йк, необходимо измерить ь) и вычесть из него сопротивление трения В), т.
е. сопротивление, которое испытывала бы модель, если бы она не порождала волн. Один из способов измерения сопротивления трения для потру.кенной части корпуса состоит в добавлении к ней перевернутой, но совпадающей с ней в других отношениях формы, которая является ее зеркальным отражением относительно поверхности воды: эта сдвоенная модель продвигается в глубокой кювете со скоростью )г в условиях полного погружения. Волны при этом не образуются, и измеренное сопротивлепие составляет Юг. На рнс. 69 показаны типичные результаты измерения зависимости коэффициента волнового сопротивления (188) от числа Фруда (186). Для грузовых судов экономическое преимущество повышения скорости (болыпе рейсов в год) начинает сводиться на нет из-за больших дополнительных расходов горючего вследствие повышения волнового сопротивления при числе Фруда, несколько меньшем тех значений, при которых кривая 22 — 01100 д.
Волны на воде Рис. 70. Сплошные лиишв — картина корабельных волн Кельвива. Штриховые линии — граница клипе Кельвииа. Пунктирные линии — продолжения волн за границу клюна Кельвпиа согласно теории, ивложевноп в равд. 4.11 и 4.12. начинает круто возрастать. Это вынуждает конструировать корпус с такими формами, при которых указанный крутой рост сдвинут в сторону относительно болыиих значений числа Фруда.
Некоторые теоретические исследования, имеющие отношение к конструированию таких корпусов, приведены в гл. 4. Мы завершим этот обзор простых следствий из дисперсионного соотношения расчетом формы гребней в картине корабельных волн Кельвина. Если начало координат поместить в точку настоящего местоположения корабля (который, как предполагается, движется в отрицательном направлении оси х), то волны, возникшие в момент, когда он был в точке, скажем, (189) находятся теперь в точках х = Х (1 — — созт9) у = — Х соз 0 зш 9, (190) где О, нак и ранее,— угол, определяющий направление распространения волны. Это следует из того, что на рис.
68,а расстоя- 8.10. карал«л»ные волны ние АС равно Х соз О, н поэтому на рис. 68,б расстояние АЕ равно (1!2) Х соз О. Если нам нужно начертить форму гребней в картине корабельных волн, мы должны принять во внимание, что гребень, проходящий через точку (190), образует с осью х угол (Г2) ив — О.
Следовательно, тангенс угла его наклона будет (191) ЫуЫх =- стд 9. Двигаясь вдоль гребня, мы видели бы его части, которым соответствуют различные точки его возникновения (Х, О) и направлекия распространения О. Однако в каждой точке тангенс угла наклона гребня должен удовлетверять равенству (191). Подставляя в равенство (191) выражения (190) для х и у, мы получаем после некоторых упрощений (192) (Х((О = — Х гд О. Это простое дифференциальное уравнение, связывающее измене- ние Х и О вдоль гребня, имеет решение Х =- Х«созО, (193) где Х, — постоянная.
Тогда в силу (190) форма гребней дается параметрическими уравнениями х = Х, соз О (1 — — сов» О), у = —, Х, созе О з(п О. (194) 2 На рис. 70 показаны кривые, определяемые уравнениями (194) при нескольких различных значениях постоянной Х,; они дают представление о форме гребней в картине корабельных волн Кельвина. Конфигурации всех гребней имеют точки возврата на границе клина. Пунктирными линиями представлены их продолжения за пределы этой границы, поскольку, как мы увидим в гл. 4, амплитуда волны за этой границей— «каустикой» вЂ” не спадает скачком до пуля, а убывает экспопенциальпо. Внутри клина более длинные волны, распространяющиеся под малыми углами О, и более короткие, распространяющиеся под болыпими углами О, часто налагаются друг на друга при промежуточных числах Фруда (рис.
71). Однако при малых числах Фруда преобладают более длинные волны, и, наоборот, при больших числах Фруда, характерных для движения быстроходного катера, преобладают более короткие. волны. Методы исследования изменения картины корабельных волн Кельвина при действии эффектов мелкой воды (за счет которых клин становится шире) приведены в гл. 4.
зэ* 341 3>крах»не>»ия к глазе Я Упражнения к главе 3 Обп1ей характеристикой линейных теорий волнового движения явля ется то обстоятельспю, что в них линейная комбинация волн равной амплитудм, распространяющихся в противоположных направлениях, мажет образовывать стоячую волну>о (Такие стоячие волны не надо, конечно, путать со стационарными волнами из равд, 3.9.) Найти потенциал скорости стоячих волн ва глубокой воде, если вертикальное смещение свободной поверхности принимает вид ь = ег>юг соз йх. Показать, что каждая нз линий тока определяется формулой ен» гйп Ьх = соп 1 и начертпть зтп кривые.
С какой амплитудой колеблется частица, среднее положение которой (х, у, з), на линни тока, проходящей через зту тачку? Прямоугольная глубокая кювета длины )п п>ирины Ь((1 заполнена водой. Выписать зависимость потенциала скорости»Г от произведения трпщонометрических функции от х п у, удовлетворяющуго грани шым условлям на сторонах кюветы х =- О, х — — 1, у = О и у =- Ь. Показать, что резонансные частоты кюветы ю имеют вид )1,»е ( »1-» с>н»Ь-»)1»1 где п и >н — целые.
При какой наименьшей глубине воды вге зги ревонапсные частоты с точностью до 3'го даются теорией глубокой воды? Па основе линейнов теории могут быть правильно зычно.тены помимо зяергпп п другие кведран»ичниг величины. Предлагаем доказать, 'но свнусаидальная волна, распространяющаяся па глубокой воде со смещением поверхности ь = а соч (ю> — Ьх), обладает средним количеством дввженпя в направлении распространения (1!2)риаз ва единицу площади горизонтальной поверхяости. На первый ввгляд правильность такого вычисления может показаться сомнительной, поскольку такая величина, как количество движения, получаемая интегрправаннем нгрзоа степени составляющей скорости, могла бы иметь какое-либо слагаемое порядка а', видоизмененное поправками второго порядка к линейной теории.
Покажите с помощью следующего метода, что зто, однако, невоз>»о>кис. Сначала докажите, что периодические волны на глубокой воде долгины иметь точно периадпчесш>й потенциал скорости. Действительно, покажите, что если»Г — решение уравнения Лапласа в плоскости (х, ») с периодической составляющей скорости д»Г(дх (припекающей в точке (х + Х, з) такое же значение, что и в точке (х, з)), то >р может отличаться от периодической фуниции самое большее ва член вида х((з), которыя, однако, должен обращаться в нуль, если необходимо, чтобы он удовлетворял уравнению Лапласа Упражнессия к главе 8 и имел нулевой градиент при г = — сю.
Доман«иге, следовательно, чта полное количество движения в каждой фиксировавиой горнзоиталькой плоскости г =- салаг равно нулю. Это означает, что количество движения, подобно пргсрап1ению потенциальной зкергип (24), появляется только потому, что верхяяя граница жидкости ие является фиксироваикай горизонтальной плоскостью. Такиы образом, количество движеиия зависит от нроиэведения малых величин возмущеиий состояиия покоя и горизолтальиого положения свободной поверхности и может быль правильно вычислено как величииа второго порядка в рамках лииейнай теории.
Тот же самый метод дает еще больше информации. Покажите, что частицы жидкости, которые в певазмущенном састаяиии каходились иа уровне г = г»ч:. О, лежат по линейной теории в момеит г на поверхности г= г>+ае'*' сов (еп — йх). Выводите, что те частицы жидкости, которые в иевозмущеппом состоянии лежали ниже уровня г = г», обладают средним количеством дик>кения — ранге 1, 2>с 2 иа единицу площади горизонтальной поверхности. Получите затем среднее зпачеиие количества движения иа единицу объема для частиц жидкости иевозмущеииого уровня го дифферепцираваиием, дающим их среднюю горизонтальную скорость в виде 2ш> (Эта средняя скорость движения, известного как «стоксовский дрейф>, дает поправку второго порядка к траекториям частиц ясидкости, которые для линейной теории ивображеиы иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
