Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для волны, распространяющейся со скоростью с, соотнопеения (8) и (14) дают р, = — рдср1д1 = + рсдср1дхе (144) так что выражение (143) для потока энергии на единицу длины гребня ъсожет быть записано в виде о. Волна яа воде т.
е. как произведение 2с на кинетическую энергию на единицу площади горизонтальной поверхности, обусловленную только горизонтальной составляюи1ей скорости движения воды. Скорость переноса энергии (которую мы обозначим через ~7, предвидя ее равенство групповой скорости) будет Средняя величина потока энергии на единицу дляньг греоня . (148) Средняя величина энергии волны на единицу ' площади горизонтальной поверхности усреднение проводится здесь за период волны.
В формуле (146) энергия волны является удвоенной величиной кинетической энергии нпн вертикального. так и горизонтального движений (удвоенной потому, что средние значения потенциальной п кинетической эяоргий равны между собой). Поэтовгу в силу (145) имеем Средняя величава кинетической энсрпш У горизонтального движения (147) с Средняя величина иинетической энергии двшксння воды Отсюда легко понять, что; (1) Юс —.= 1г2 для глубокой воды, где горизонтальное к вертикальное движении обладают равными среднями кинетическими эпергнямн (см. рис. 50), и (й) 0')с =- 1 для длинных воли, где почти вся кинетическая энергии обусловлена горизонтальным движением (разд. 2.2).
Более того, правая часть легко вычисляется в случае водоема произвольной глубины с использованием формул (41) и (42); опа ранна ~ с!1г [[г (з + й) [ гЬ/ ~ (с[гг [[г (г+ 6[) + з[гг [)г (з+ 6) [) йг = 1 — (с!т [2[с (г и- гг) [+ 1) г(г [[ [ сй [2[с (з+ Ь)[ г)з =- (148) и в точности совпадает с величиной Юс из формулы (99), полученной совершенно другим методом. Проведенные выше вычисления потока эяергпи помимо подтверткдения гипотезы о равенстве групповой скорости и скорости переноса энергии дают возможность рассчитать изменение амплитуды волны, движущейся по воде с постепенно уменьтпающейся глубиной.
Мы знаем, что волна с периодом 8с испытывает четырехкратное уменьшение скорости от 12,5 до 3,1 аг~с, л.в. Скорость переноса энергии когда глубина уменыпается от больших значений до 1 м (рнс. 53). Тем не менее групповая скорость при этом уменьшается только вдвое: от сл = (1г2) с = 6,2 мгс на глубокой воде до П = с =- — — 3,'1 м'с длинных волн (), -"= 25 и. а Ь = — 1 м).
По формуле, (146) поток энергии (на единицу длины гребня) равен умноженной на У энергии на единицу лллацади. Следовательно, для раиного значения потока энергии (на единицу длины гребня) в направлении к берегу энергия волны на единицу площади И' увелисиваетсл вдвое при уменьшении глубины до 1 м. Поэтому в силу формулы (28) амплитуда а (наибольший подъем поверхяости воды) также увеличивается, правда. только в )г'2 раз. С другой стороны, максимальная крутизна поверхности воды составляет Ьа и увеличивается в намного большее число раа— в 4 ~''2 раза. Глаз замечает в первую очередь именно крутизну.
поверхности воды, и этим объясняется, почему волны кажутся намного оолыпнми, когда они начинают двигаться на яеглубокой воде. Осталась еще одна трудная загадка. Почему скорость переноса энергии, которая бьлла определена и вычислена для случая чисто синусондальных волн с фиксироваккизс волновым числом Й и фиксированной частотой ол, должна быть равна групповой скорости, все свойства которой были выведены в равд. 3.6 и 3.5 из ее определения как с?лоЯЬ вЂ” отношения приращении частоты и волнового числа для близких решений уравнений движения? Наша проверка того, что формулы (148) и (99) дают одинаковый результат, не разрешила этой загадки, так как эти формулы были получены совершенно разными способами: одна — ллнтегрированиехл с)лг (Ь (з + Ь)) и э)лг (Ь (з + Ь)), а другая — дифференцированием /с т)л ЬсЬ.
Очевидно, желательно в общем случае найти доказательство того, что чисто синусондальными волнами энергия переносится со скоростью с?ольго, Прн этом мы ограничимся (как в равд. 3.7) одномерным распространением в однородной системе без затухания.
Тогда сслнусовдальная волна вида ь = а ехр (с (ыс — Ьх)) (149) является точным решением линейяых уравнений двиясения, если только ол и Й связаны дисперсионным соотношением, которое в этом доказательстве используется в виде гс .= Ь (лв). (150) Надо ответить на трудный вопрос: как в такой волне поток энергии через плоскость, например х .= О, может быть оиределен через приращения Ь и сэ при переходе к близкому решению волнового типа? 318 д. Волны ка ««д« Вот хороший ответ: «!!утем введения малой силы, порождающей диссипацию энергии, которая может вызвать малые, чисто л«нимые изменения в )«или «о».
Легко можно представить себе достаточно общий путь, как достигнуть этого. Предполагается, что движению каждой частицы среды оказывается сопротивление с силой, равной н противоположной умноженному на р количеству движения. Здесь р — постоянная, намного меньшая, чем «о, которая в конце анализа будет устремлена к нулю. Будет показано, что для движения с пропорциональной ехр (!Ы) интенсивностью п с определенной действительной частотой о» постепенное затухание (уменьшение амплитуды по мере движения волны в положительном направлении оси х) обусловлено этой дополнительной днсснпативной силой, которая изменяет уравнение движения ка»идой частицы среды в системе следующим образом. Консервативные силы, действующие на частицу, уравновешиваются не просто пнерциальным членом — ЛХ«о»г, (151) (где ЛХ вЂ” масса частицы и г — вектор ее перемещения), а членом — ЛХо»«г+ ~МЙ»г, ('! 52) т.
е. инерцнальным членом минус демпфирующее сопротивление, равное и противоположное по направлению умноженному на р количеству движения. Изменение, сделанное в выражении (152), по сравнению с (151) точно такое же, каким оно было бы, если бы «е» было везде заменено (в системе, неизменной в других отношениях) на «о' — 1(!о». При р(( «в это равносильно замене о» на о» вЂ” (1/2) !р. Для фиксированного действительного «о система теперь такова, что й заменяется на (153) 2 и мы можем ааметить, что здесь появляется желанная производная»(й/«!«о! Теперь формула (149) принимает вид ~=п ехр ~1(юг-й(о») х] — — ~й' (ю) х) (154) и покааывает существование предусмотренного пространственного затухания (здесь, как и везде, существенна действительная часть выражения справа). Это возмущение имеет при х ) О только конечную энергию, которая может быть вычислена по д.д.
Картины волн, савдававмыв нрваятствиями формуле (130) как среднее от величины С ) ьодх, (155) о которая в свою очередь (поскольку среднее значение соз' (сос — йх) составляет 1/2) равна — С ~ аз ехр( — 6й' (со) х) Нх = — Сао,'фй' (со)). (156) о Теперь легко вычислить поток энергии через плоскость х = О. Так как энергия при х ) 0 конечна и постоянна, поток энергии через плоскость х = 0 должен точно уравновешивать скорость диссипации энергии при х ~ О.
Она равна для каждой частицы величине рМгв, так как сила сопротивления равна и противоположна по направлению вектору 6Л1г. Поэтому суммарная скорость диссипации энергии при г м 0 равна умноженной на 26 кинетической энергии илк умноженной на полной (кинетической и потенциальной) энергии. Это равно умноженной на 6 правой части равенства (156), и в пределе при р'- 0 (отвечающему случаю точных синусоидальных волн) мы все еще будем иметь конечную величину — Сао/й' (со) (157) для этого потока энергии, которую сравним с энергией на единицу длины (1!2) Саа. Таким образом, показано, что скорость переноса энергии, являющаяся отношением этих двух величин, равна в такой обшей диспергирующей системе величине 1(й' (со) = йод, (158) которая представляет собой групповую скорость.
В равд. 3.6 — 3.8 была сделана попытка воздать должное емкости понятия групповой скорости путем изучения ее свойств с равных точек зрения. Возможно, раанообрааные методы окончательно связываются воедино доказательством, которым только что было аавершено это изучение.
3.9. Картины волн, создаваемые препятствиями в стационарном потоке Волны, изучаемые в большей части атой книги, представляют собой явления неслвационарнме — связанные с ними движения жидкости изменяются во времени; иногда это почти 320 8. Волам за «од« синусоидальные волны, иногда гораздо менее регулярные.
Мы видели, как звук может быть порожден различными пестационарныхш движениями предмета, погруженного в жидкость. Аналогично. волны на воде могут быть порождены пли подобными движениями погру;кенного предмета, или различными нестацпонарными возмущениями поверхности воды (штормы, погружение твердого тела и т.
д.). В противоположность этому в настоящем разделе мы опишем очевидно парадоксальный случай волн, которыо образуют совершенно стайионирное течение. Во всех точках потока (включая и те. в которьгх находятся волны) течение является стационарным: скорость жидкости не меняется со временем. Хотя подъем поверхности и может локально обнаруживать правильное, почти синусоидальное изменение в пространстве, оп не обнаруживает никакого изменения во времени: гребни волн всегда остаются на тех же самых местах при движении потока. Стаииоиарная картина волн порождаетсл совершенно неподвижным препятствием в потоке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
