Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так, для 2, ) 30 м это расстояние может достигать половины длины земного экватора; это действительно доказывает, что можно наблюдать гравитационные волны с длинами в указанном диапазоне, распространяющиеся на такие океанические расстояния, как 2 10т м, несмотря на то что некоторые дополнительные нелинвйныв эффекты взаимодействия с волнами другой длины на таких больших расстояниях могут рассеивать энергию. Предыдущее обсуждение, основанное на воображаемом эксперименте по поддержанию незатухающего безвихревого движения синусоидальпых волн с помощью приложения сил на границе, включая приложение силы (82) к единице площади свободной поверхности, наводит на вопрос: за счет чего помимо затухания волновое движение при обычных условиях (беэ приложения внешних сил) может отклоняться от такого безвихревого движения? Как, например, происходит изменение тангенциального напряжения р„, от значения (80) для безвихревого потока до значения 0 на поверхности? Ответ легко найти, заметив, что производные от и и ит в выражении для р„, удовлетворяют уравнениям точно такой же формы, как и уравнения (78) и (79) для скорости.
Он состоит в том, что р„, уменьшается от своего значения для внетпнего ~э* А Волны ыа «од« 292 безвихревого потока до нуля на поверхности в соответствии с законами стоксовского пограничного слоя, представленными графически на рис. 25. Пограничные слои на поверхности, где падает до нуля касательное напряжение, и у дна, где уменьшается до нуля тангенциальная составляющая скорости, имеют одинаковую структуру и одинаковую малую толщину 6, которая дается графиком с надписью «вода» на рис. 26.
То обстоятельство, что связанная с касательным напряжением диссипация внутри этого очень тонкого пограничного слоя уменьшается до нуля от своего «внутреннего» уровня в самой волне, не влияет существенно на затухание волны эа счет внутренней диссипации. Однако мы закончим этот раздел указанием обстоятельств, при которых внутри пограничного слоя на поверхности может возникать очень сильная диссипация. Такая дисснпация на поверхности может вызываться отклонением поверхностного натяжения Т от своей равновесной величины. В той жидкости, в которой малое волновое движение порождает малое изменение натяжения Т, ее составляющая по оси х (86) (дТ/дх) бх должна действовать па полосу поверхности ширины бх с параллельными оси у границами единичной длины, хотя по линейной теории те же самые малые изменения не производят изменения в составляющей силы по оси з (47). Таким образом, в пограничном слое на поверхности тангенциальное напряжение отличается от величины (80), стремясь не к нулю, а к величине Рлл дТ(дх, (87) которая должна уравновешивать составляющую в направлении оси х поверхностной силы на единицу площади (дТ/дх).
Существуют условия, при которых в пограничном слое на поверхности тангенциальные напряжения настолько сильно возрастают по величине от внутреннего значения (80) до значения (87) на поверхности, что возникающая при атом поверхностная диссипация (дополнительная вязкая диссипация из-за псеышенних касательных напряжений в пограничном слое па поверхности) намного превосходит скорость внутренней диссипации. Этот механизм объясняет известное явление гашения волн маслом. Физика явления изменения поверхностного натяжения очень сложна. Качественное объяснение изменения Т при стягивании и растягивании поверхности воды волнами основано на физическом принципе, согласно которому свободная энергия в состоянии термодинамического равновесия имеет минимум.
Сле- 293 З.д. Введение в теории групповой скорости довательно, если площадь водной поверхности А быстро растягивается до величины А + 6А, то увеличение свободной энергии может существенно превысить ту величину, которую она принимала бы прн медленном обратимом изменении. С количественной точки зрения возникающее увеличение поверхностного натяжения в растянутой поверхности оказывается особенно болыпим для воды, покрытой чрезвычайно тонким слоем такой примеси, как масло.
3.6. Введение в теорию групповой скорости Волны синусоидальной формы рассматрввалнсь в равд. 3.2 — 3.5. Было получено деталыюе описание движения воды в волнах малой амплитуды (рис. 50 и 55), энергетических соотношений для них, а также оценки (рнс. 58 п 59) скорости, с которой их энергия может рассеиваться.
Кроме этого, показано, как скорость волны изменяется в зависимости от ее длины (рис. 52, 56 и 57), т. е. выяснены «дисперсионные» свойства волн на воде. Причины такого внимания к очевидно очень частному случаю синусоидальпых волн указаны в равд. 3А и 3.2. С одной стороны, волны на поверхности воды нередко обнаруживают форму, приблизительно сходную с сипусоидальнымп волнами малой амплитуды; в частности, как отмечено в равд. 3.2, они могут иметь «длинные гребни» по сравнению с длиной волны, так что они приближенно удовлетворяют уравнению, выведенному на основе рассмотрения бесконечно длинных гребней.
Кроме того, стремление понять поведение синусоидальных волн малой амплитуды на поверхности воды вызвано еще тем обстонтельством, что превосходным (а часто и единственным) способом изучении реакции поверхности воды на малое возмущение более сложной формы явлнется ана из Фурье. Он позволяет рассматривать такое возмущение как линейную комбинацию различных синусоидальных возмущений, каждое из которых в отдельности ведет себя так, как описано в равд.
3.2— 3.5. Более того, линейность уравнения, описывающего малые возмущения на поверхности воды (уравнение Лапласа (5) с граничным условием (13), выполняющимся при з = О), означает, что такая линейном комбинация различных синусоидальных решений также будет решением. Между двумя указанными выше причинами изучения синусоидальпых волн существует интересная связь. Предположим, 294 3, Волны на воде например, что какой-то локализованный шторм ограниченной продолжительности породил океанские волны.
Тогда мы обнаружим, что различные еинуеоидальные составляющие, на которые может быть разложено вызванное им возмущение на поверхности воды, будут в некоторый более поздний момент времени обнаружены в совсем разных местах. Мы можем сказать, что волны «рассеялись» в обычном смысле этого слова и что последовательность волн на воде подвержена «рассеянию» в научном смысле (т. е. она обладает дисперсией — существует зависимость скорости воля от нх длины). Волны с определенными длиной и направлением распространения будут обнаружены в некоторый более поздний момент вблизи некоторого определенного места.
Это и есть одна нз возможных причин (другие будут указаны в равд. 3.9 и 3.10), по которым, как ранее было отмечено, наблюдаемые в некотором месте волны могут иметь приблизительно синусоидальную форму. Заметим, что такое рассеяние первоначальной энергии на большие площади уменьшает величину энергии, приходящуюся на единицу площади, что в свою очередь уменьшает в соответствии с формулой (28) амплитуду волн. Поэтому для описания упомянутых выше более поздних стадий развития возмущений (часто называемых распространением «зыби» из штормового района) может быть использована теория малых амплитуд. Возмущения во время самого шторма могут быть велики, и это заставляет использовать намного более слон«ные граничные условия, чем их линеаризованная форма (13).
Тем ие менее энергия волн все же рассеивается по болыпой площади, так что по истечении определенного времени для изучения распространения «зыби» становится пригодной линейная теория. Подобным образом брошенный в пруд большой камень порождает сложное начальное возмущение, но вскоре мы видим более правильную картину разбегающихся концентрических круговых гребней волн. Форма водной поверхности между двумя гребнями приблизительно совпадает с формой синусоидальной волны. Мы обнаруживаем бдльшую длину волны в окрестности внешнего края картины и меньшую — возле центра. Это как раэ то, что мы могли бы он«идать как следствие того факта, что скорость волны увеличивается с ее длиной (рис.
52). Действительно, вполне естественно предположить, что через время «после начального возмущения волна, имеющая скорость с, будет обнаружена на расстоянии близком к ег от места этого возмущения. Такое предположение было бы, однако, грубой ошибкой. Довольно удивительно, что эта оценка (для не очень мелкого пруда) является завышенной примерно в 2 раза. Небольшая группа волн, имеющих скорость волны с, будет об- г.с. Введение в теорию еруоповоа скорости 295 наружена в действительности на расстоянии, близком к У2 от места начального возмущения, где У вЂ” величина, называемая групповой скоростью, которая для «волн на глубокой воде» составляет (1/2)с. Гл.
3, как говорилось в ее начале, знакомит не только со свойствами волн на воде, но н со свойствами групповой скорости. Мы найдем, что эта групповая скорость У отлична от скорости волны с во всех диспергируюцих системах (в которых с изменяется с длиной волны). В равд. 3.6 — 3.8 дана общая теория групповой скорости для игопвропных диспергирующих систем (в которых с не зависит от направления). Именно здесь представленные в предыдущих четырех разделах обширные данные о дисперсионных (и других) свойствах синусоидальных волн на воде находят еще одно важное применение: они идеально подходят для иллюстрации атой общей теории. По-видимому, самое главное свойство групповой скорости может быть упомянуто сразу, хотя обоснование его откладывается до равд. 3.8.
Энергия синусоидальных волн переносится не со скоростью волны с, а с групповой скоростью У. Это утверждение никоим образом не противоречит приведенному в равд. 1.3 доказательству того, что поток энергии плоских звуковых волн имеет величину произведения с на плотность энергии, так что энерия звуковых волн переносится со скоростью волны с. В действительности для нсдиспергируюигих волн, включая звуковые волны, групповая скорость У и скорость волны с совпадают. Вероятно, каждый, чьи знания количественных характеристик волн ограничены недиспергирующими системами, должен найти свойства групповой скорости весьма удивительными.
В конце концов поразительной особенностью волн является их способность переносить энергию на большие расстояния. Кроме того, для многих типов волн вполне очевидно, какова скорость гребней и впадин. Тогда естественно представить себе, что эта «скорость волны» с совпадает со скоростью, с которой энергия переносится волнами. Однако для болыпинства возникающих в природе волновых движений скорость волны, с которой распространяются гребни и впадины, совершенно отлична от групповой скорости, с которой переносится энергия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
