Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В предположении малости амплитуды это равно среднему от величины (1!2) (д~~'дх)', которое для волн с волновым числом й может быть выражено через среднее от квадрата вертикального смещения ~' как (63) йг~2 2 Эта добавочная площадь поверхности (63), отнесенная к единице площади, после умножения на силу поверхностного натяжения Т дает добавочную потенциальную энергию на единицу площади. Вместе с гравитационным вкладом (Н2)рдь' получаем для полной потенциальной энергии на единицу площади выражение (64) Тьг) ~г Мы приходим, таким образом, к заключению, что влияние поверхностного натяжения на энергию волны, так же как и на другие характеристики синусоидальных волн на воде, будет правильно учитываться, если сделать замену (50) в формулах для чисто гравитационных волн.
Обобщенная жесткость свободной поверхности увеличивается в (1 + (рд) 'Тйэ) раз; квадрат частоты для соответствующих колебаний, даваемый формулой (51), увеличивается (как и ожидалось из общих соображений) также в то же число раз. Наконец, если сделать .замену (50) в формуле (28), то найдем полную энергию волны И'. З.З. Затухание 283 3.5. Затухание Сннусоидальные волны на поверхности воды, описанные в равд. 3.1 — 3.4, испытывают затухание из-за действия трех ссновных процессов диссипацни энергии, каждый из которых в чем-то подобен одному из механизмов затухания, уже изученных ранее в равд.
1 13 и 2.7. Во-первых, когда глубина воды существенно меныпе длины волны и волны вызывают заметное горизонтальное движение вблизи дна (рис. 55), наиболее важным является трение о дно (оно разбирается в этом разделе в первую очередь). Связанная с ним диссипация энергии происходит так же, как и для описанных в равд. 2.7 длинных волн, у твердого дна в пограничном слое толщины б, представленной (для лампнарного течения) на рис.
26 кривой с надписью <вода». Во-вторых, волны на глубокой воде не вызывают движения, а следовательно, и диссипации за счет трения возле дна. Их затухание происходит с относительно малой скоростью. Оно свнзано с механизмом внутренней диссипаиии, обусловленной вязкимп напряжениями, действующими в волне. Так же как вклад вязкости в затухание звуковых волн, разобранный в равд. 1.13, он становится существенным только при достаточно малых длинах волн. В-третьих, мы опишем поеерхностную диссипауию — источник затухания, связанный с отклонением поверхностного натяжения Т от величины, которую оно принимает в условиях равновесия.
Этот механизм, напоминающий вклад запаздывания в акустическое затухание (равд. 1.13), может оказаться особенно важным, когда поверхность воды покрыта тонкой пленкой примеси. Оценим прежде всего затухание волн за счет трения о дно, предположив, что пограничный слой ламинарный, хотя наш метод оценки оказывается пригодным и для таких движений, в которых преобладает турбулентное трение. Как было показано в равд.
2.7, синусоидальные колебания градиента давления ( — др,'дх) возле плоской стенки порождают в тонком ламинарном пограничном слое показанное на рис. 25 изменение составляющей скорости и в зависимости от расстояния от стенки (обозначенного там череа з, что соответствует з + Ь в атой главе).
Штриховой линией представлена часть, находящаяся в фазе с силой ( — др,/дх), которая непосредственно нейтрализует вязкое сопротивление этому движению; сплошной лилией представлено движение, которое отстает по фазе от силы па 90', поскольку она действует инерциально, так же как д. Волки ка воде безвихревое внешнее по отношению к пограничному слою дви- жение со скоростью пех = (рвео) х ( дрв/дх). (65/ Внутри пограничного слоя толщины 6 суммарный дефицит объемного расхода на единицу ширины стенки относительно объемного расхода в безвихревом движении составляет -ьта (ие» вЂ” и) е/г = (рне) ' ( — орв/дг) (т//ео) мг (66) (пех ы) е(г = ыехбп (67) Из соотношений (65) и (66) имеем 6, = (т//во)'Ух = (т/2ео)'1х (Х вЂ” К).
(68/ При таком подходе заключаем, что баавихревое движение вне. пограничного слоя, примыкающего к стенке г =-- — Й, точно такое же, какое получается без учета вязкости в области с гра- ницей (()9) г= — Ь+бп на которой налагается условие непротекания через границу: дед/дг =- О. Это действительно так, поскольку из (67) следует, что объемный расход в пограничном слое равен -ьла и в/г =- иех (6 — бе), — л (70) т. е. в точности совпадает с величиной, которая получается при предполонеении, что во всем пограничном слое скорость принимает значение скорости внешнего безвихревого потока иех, а нижняя граница сдвигается в положение — й + 6,. Так как Действительная и мнимая части выраягения (66) равны по' величине: дефицит объемного расхода, находящийся в фазе со. скоростью и, (суммарная площадь, получающаяся вычитанием площади под пунктирной линией из площади под сплошной кривой), равен дефициту, который отстает по фазе на 90' от и, (площадь под штриховой кривой).
Влияние такого пограничного слоя на волны в воде глубиной /в, которая предполагается намного большей, чем толщина пограничного слоя, легко оценить с помощью математического понятия толщины вылеескенил 6„, определяемой уравнением з.л. Затлтание задание положения границы в виде (69) при расчете безвихревого течения без учета влияния вязкости дает правильное распределение объемного расхода потока, параллельного границе, то условие непротекания на ней здесь вполне москет применяться. Кратко описанное выше понятие толщины вытеснения подробно развивается в курсах по гидродинамике, по крайней мере для стационарных пограничных слоев. В этом случае 6, — действительное число, и ото понятие имеет простую физическую интерпретацию: влияние пограничного слоя на внешний безвихревой поток как раз такое, какое оказало бы смещение границы в жидкость на расстояние 6, при отсутствии эффектов вязкости.
На первый взгляд может показаться странным, что толщина пограничного слоя в колеблющемся потоке комплексна и поэтому такая простая физическая интерпретация не может быть использована. Тем не менее математическая идея о тождественности между внешним к пограничному слою потоком и течением, описываемым решением уравнения для безвихревого потока с границей (69), остается верной и является еще одной иллюстрацией эффективности описания колебаний и волн с помощью комплексных чисел. Для синусоидальных волн с волновым числом й частота, полученная из решения уравнения Лапласа (5) для чисто безвихревого течения в воде глубины й, будет 'со = [(д + [> 'Тй') й ФЬ йй] с~о (71) Отсюда следует, что частота со при наличии вязкого пограничного слоя определяется выражением (71), но с заменой глубины й па мало отличающуюся от нее й — 6„.
Для со получаем выражение со =- сос~~ [1 — бсд ([п сосст)1дй] = сосгг [1 — (т/(2со))'1з (1 — 1) Н(зЬ 2йй)]. (72) Малая отрицательная действительная часть поправочного множителя в квадратных скобках сравнительно неважна; она означает малое относительное увеличение периода колебаний по сравнению с величиной 2я/сос„„из-за действия вязкости. Е1апротив, малая положительная мнимая часть выражения в квадратных скобках соответствует, согласно формуле (14), экспоненциальному затуханию амплитуды со временем. Хотя в течение каждого периода 2я/ю;„, происходит только малое относительное уменыпение амплитуды (73) 2я (о/(2ю))'1' йl(зЬ 2йй), д. Вовам ма воде 0,5 4 З !2 1г 20 24 рис. 58.
Отношение потерь энергии аа счет трения о дно к ее значению в пределе длинных волн, ваображенное в зависимости от отношения длины волны к глубине )в/Ь. (Зто график иаменення множителя в фигурных скобках в выраженни (24).) тем не менее результирующее накопленное за много периодов затухание может быть очень болыпим. Относительная потеря энергии за период, которая, конечно, является удвоенной величиной (73), может быть записана в виде (74) [2я (т/(2ш))т/ей ') ((2йй)/(зЬ 2йй)).
Величина в квадратных скобках в выраакении (74) представляет собой относительную потерю волновой энергии за каждый период из-за трения о дно, как было вычислено в предельном случае длинных волн в равд. 2.7; она с достаточно хорошей точностью представляет отношение толщины пограничного слоя (график с надписью «вода» на рис. 26) к глубине. Выражение (74) еще раз подтверждает правильность этого предельного значения, поскольку при йй — э.0 множитель в фигурных скобках стремится к 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
