Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 65
Текст из файла (страница 65)
На самом деле весьма высокая скорость затухания капиллярных волн (равд. 3.5) затрудняет простое наблюдение такого соотношения для волн, поронсденных начальным локальным возмущением; однако наглядное экспериментальное подтверждение того, что для капиллярных волн с/) с, описано в равд. 3.9. Заключение о том, что касательная к графику па рис. 56 пересекает вертикальную ось координат при значении ординаты, равном групповой скорости, означает, что минимум зруппозой скорости соответствует точке перегиба, в которой Х = о. Волка на оодо 302 = 2,541„„с = 1,21см и У =- 0,767с . Тогда в соответствии с (56) минимальное значение групповой скорости волн ка глубокой воде составляет 0,18 м7с (и достигается при Х = 44 мм и с = 0,28 м!с).
Вся энергия волн, порожденных брошенным в пруд камнем, переносится быстрее, так что вскоре в центре возникает спокойная зона, окруженная волнами длиной от 4 до 5 см. Кажется, что гребни этих волн (так как с ) С) возникают оиз ничегоэ, т. е. из этой центральной спокойной области. Напротив, в условиях мелкой воды в волновой кювете (см. кривую с отметкой Ь .=- 5 мм на рис. 57) график зависимости с от Х является почти горизонтальным для длин волн, превосходящих 2 см.
В соответствии с этим рябь с такими длинами волн испытывает пренебрежимо малую дисперсию, что, конечно, и делает ее подходящей для визуального представления звуковых волн. В этом разделе было дано введение в теорию групповой скорости, приводящее достаточно простым, хотя и не вполне строгим путем к заключению о том, что точка, в которой находится волна с данным волновым числом Й, движется вперед со скоростью Г7 (к). т1итатели, впервые приступившие к изучению групповой скорости, могут быть уверены, что их понимание явления станет намного глубже, если они продолжат изучение разных подходов, приведенных в двух следующих разделах. 3.7.
Исследование диспергирующих систем методом Фурье Не только в волнах малой амплитуды на водо, пои во многих других диспергирующих системах синусоидальные волны, каждая со своим волновым числом, имеют определенную скорость волны (хотя не одну и ту же для всех волн), и это наводит на мысль, как отмечено в начале равд. 3.6, использовать метод Фурье для описания развития возмущений произвол|кой формы. Такие возмущения действительно могут быть представлены линейной комбинацией синусоидальных волн, и мы обнаружим, что их асииктотичеекал оценка для больших значений времени, с одной стороны, позволяет строго доказать установленные в равд.
3.6 свойства групповой скорости и, с другой стороны, пойти еще дальше, определив, например, асимптотическое поведение амплитуды ~, и фазы а в неком выражении, подобном (89). 8.7. Исследоооние диспергируюитих систем методом Фурье 303 Для того чтобы развить основные идеи, пе обременяя себя сложностями многомерного аналиаа Фурье, мы ограничимся в этом равделе строго одномерным движением. Таким образом, мы рассматриваем изменения только в направлении оси х. Предположим также (игнорируя до конца раздела затухание), что синусондальная волна вида а ехр (т (отс — гсх)! (102) (с постоянной амплитудой а) является точным решением линеаризованной системы уравнений двттжения при условии, что от и )с связаны дисперсионным соотношением (92). Для волн на воде это означает, что исследуются только не зависящие от у воамущения, создающие цепочку волн с прямолинейными гребнями, параллельными оси у.
Подобные волны могут быть порождены, например, погружением широкой баржи в глубоком канале (со сторонами, параллельнымн оси х). Другие примеры одномерных диспергнрующнх систем приведены в равд. 4.13. Хотя распространение волн более чем в одном измерении имеет больший нрактичесний интерес, строгое исследование одномерного случая в этом разделе поможет быстрому н глубокому пониманию групповой скорости.
Оно подготовит читателя также к более полному изучению движения в двух и трех измерениях в гл. 4; мы увидим, что асимптотическое поведение волн в случае изотропного распространении, такого, как на концентрической картине волн на воде, близко к имеющему место в одномерном случае; исключение состоит в том, что амплитуда содержит дополнительный множитель х мэ, соответствующий переносу энергии воля от центра в растпнряющихся окружностях длины 2пх. Правильное понимание того, как свойства линейной комбинации сннусоидальных волн могут подтвердить концепцию групповой скорости, получается наложением только двух волн с одинаковыми амплитудами и примерно равными вол~овьтми числами.
Формула сложения косинусов показывает, что а сов (отто — гстх) + а соз (атэс — тс,х) = =( г1 т 2и соз ~ 2 (отэ — отт) г — — (тсэ — )ст) х)) м 2 г1 Х ~ 2 ( .+ т) à — — 2(7с 97с ) (103) Здесь множитель в фигурных скобках — медленно меняющаяся (с эсалым волновым числом (1/2) (гсо — гст)) амплитуда представленных последним косинусом колебаний, имеющих во много раз болыпее волновое число (1/2) (тс, + lст). Линейная 8. Волны ло воде Рис.
02. Сплошная линия — линейная комбинация (103) двух синусоидальпых волн с одинаковыми юшлитудами и примерно равными волновыми числами как функция от х. !Птрихован линия— огибающая модуляции, ограничивающая «пакеты» волн, которые движутся вперед со скоростью, определяемой формулой (104). комбинация имеет поэтому форму (рис.
62) ряда «волновых пакетов», движущихся со скоростью (в — вг)/(й — йг) (104) ео ~ = ~ г' (/с) ехр (» (в (/с) 1 — /гх)) с//г. о (106) н не обменивающихся между собой энергией через узловые точки, где их амплитуда равна нулю. Зто наводит на мысль, что в представленном интегралом Фурье возмущении общего вида, в котором синусоидальные составляющие с близкими волновымн числами действительно имеют примерно одинаковые амплитуды, энергия, соответствующая этим волновым числам, может переноситься со скоростью (104), предел которой при й, — й, является, в соответствии с (94), групповой скоростью. Хотя приведенное вьппе рассуждение является чересчур специальным, оно содержит идею, пригодную для применения в намного более общих случаях. Удовлетворяющая условию х/1 = (⻠— в,)/(/с» — /с») (105) точка, в которой «амплитуда» (член в фигурных скобках в (103)) принимает наибольшее значение 2а, передвигается со скоростью (104) по следующей простой причине: в ней остаются равны.ми фазы в,( — й,х и в»1 — й»х обоих косинусов в левой части равенства (103), так что оба косинуса достигают своих максимумов всегда вместе, и тогда этн максимумы усиливают друг друга.
Здесь мы еще раз (как в конце равд. 1.1) пршпли к предварительному представлению (чтобы уточнить его в этом разделе) о том, что различные синусоидальные волны вместо того, чтобы взаимодействовать, ослабляя друг друга, могут ггакладываться с усилением там, где их фазы стационарны. Теперь мы перейдем от сложения только двух волн к сложению их бесконечного числа, рассмотрев интеграл Фурье д.у. Исследование диспереируюи>их систем методом Фурье Эта комбинация синусоидальных волн вида (102) принимает начальное значение ') ((г) = ~ Р(>с) ехр ( — (>ст) с(>с 0 (107) в момент 1 = О.
Мы исследуем асимптотическое поведение интеграла (10Г>) для больших 1 в случае, когда начальное возму>ценне Г (я) локализовано в ограниченной области. Строго говоря, мы не рассматриваем здесь наиболее общую лпнейпую комбинацию одномерных волн вида (102): дисперсионное соотношение имеет обычно более чем одно решение для оц часто, как в соотно>пениях (18) или (37), имеется два реп>ения, равных по величине и противоположных по знаку. Тогда к общей линейной комбинации (106) волн, бегущих в положительном направлении оси х, может быть добавлена комбинации волн, бегущих в отрицательном направлении оси ул ~ 6 (>с) ехр (> [ — 0> (>с) 1 — >ох]) с(>с; 0 (108) действительно, ее следует добавить, если необходимо удовлетворить надлежащие граничные условия (определяющие как так и дЬ/д(, т.
е, в случае волн на воде — положение и скорость поверхности). Так как, однако, задачи нахождения асимптотической оценки при больших 1 двух последовательностей волн вида (106) и (108) математически эквивалентны, мы будем рассматривать только выражение (106) для волн, движущихся в положительном направлении оси х.
В (106) мы перепишем фазу в виде 1>]>(>с), где >[>((с) = о>(>с) — >ох>>1. (109) Тогда интеграл принимает вид >, = — ~ Р (>с) ехр [11>[>(>с)] с()с, о (110) и мы будем научать его поведение, когда 1 становится большим, для фиксированного значения л>й Это соответствует представле- ') Как принято в атой книге, физическая величина 1 (х) дается действительной частью выражения в правой части равенства (107), в котором не только экспонента, но и амплитуда может быть комплексной (см. ниже (112)). Действительно, это то же самое, что сказат>к 21 (х) равно интегралу (107), взятому от — оо до оо, где Р ( — й) равно (см. опять (112)) величине, комплексно сопряженной Р (Й). 20-01100 306 8.
В«,вни на воде нию (равд. 3.6) о «взгляде наблюдателя», движущегося с фиксированной скоростью. Мы докажем, что при больших » интеграл (110) принимает асимптотическую форму, которая полностью определена набором точек, е которых фаза йр(Й) стационарно, т. е. величиной (или величинами) Й, при которых ф (Й) = О. В силу выражения (109) это будет выполняться там, где «о (Й) = х/8. (111) Это соответствует точкам, по которым, как ожидалось, бежит с групповой скоростью (94) взгляд наблюдателя. Физически идея стационарной фазы состоит в том, что отмечалось выше: большое число различных синусоидальных волн, линейную комбинацию которых образует интеграл типа (110), может иметь довольно широкий набор фаз, что ведет к большому количеству взаимосокращений из-за ослабляющего воадейотвин всюду, за исключением тех точек, где стационарность фазы дает возможность взаимного усиления соседних волновых составляющих.
С математической точки зрения возможно наиболее ясное доказательство этого следует пз теоремы Коши. При доказательстве предполагается, что ьз (Й), а значит, и ф (Й) являются аналитическими функциями от Й. Если начальное воамущение Ях) локализовано в ограниченной области, то из (107) следует, что его преобразование Фурье с" (Й)=я ' ') 7(х)ехр(рйх)с(х, (112) даваемое интегралом только по конечному интервалу, также является аналитической функцией. Следовательно, к интегралу (110) может быть применена теорема Коши с тем, чтобы заменить путь интегрирования вдоль действительной оси Й, на которой $ (7«) действительна, на путь, на котором ф (Й) имеет положительную мнимую часть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
