Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 62
Текст из файла (страница 62)
На рис. 58 показано„как этот множитель уменьшается от 1 при уменьшении Х/й до чрезвычайно низких значений, когда относительные потери энергии за период становятся значительно меньше величины для длинноволнового предела, так как все меныпе и меньше энергии волн сосредоточивается там, где может происходить ее диссипация в результате трения о дно. Рис. 58 подтверждает, что для волн на глубокой воде, скажем, при й ) 0,5 )ь, затухание за счет трения о дно, как и ожидалось, незначительно.
Эти волны нг вызывают вблизи дна какого-либо движения, .которое могло бы привести к особенно З.З. Затухание 287 сильной сдвиговой деформации, влекущей за собой существенную вязкую диссипацию энергии в пограничном слое у дна. Следовательно, основной причиной затухания может быть. внутренняя диссипация при сдвиговом движении в толще воды. Точно так же как использование понятия толщины вытеснения 6, упротцает анализ затухания волн на воде, обусловленного вязкой диссипацией внутри пограничного слоя (результаты, как н в равд.
2.7, могут быть проверены прямым вычислением скорости диссипации), так и специальные упрощающие соображения, выдвинутые Стоксом, позволяют без труда определить затухание эа счет вязкой диссипации внв пограничного слоя в воде произволыюй глубины. Соответствующая скорость потери энергии волны может быть просто добавлена к скоростям потерь из-за диссипацни внутри пограничного слоя, хотя обычно одна из них является доминирующей. Синусоидальные волны, распространяющиеся в направлении оси х, вызывают, как мы видели, движение воды только в направлении осей х и г, удовлетворяющее, разумеется, уравнению неразрывности ди!дх ' дит/дг =- О.
(75) Используем понятия отклонений (см. равд. 1.13) от «среднего давления» р (обозначаемого там р ), возникающих благодаря скоростям деформаций сдвига диода и дй!дх или благодаря такой комбинации равных и противоположных по знаку скоростей деформаций простых растяжений ди/дх и ди!дг, которые отвечают деформационному двинтеттито в направлении различных осей; тогда составляютцне тензора напряткений, соответствующие осям х и г, принимают для такого двинтения вид р„, .= р — 2рди/дх, р„, =- — р (ди!дг + диттдх), (76), р, = — р (ди/дг + диттдх), р„= р — 2рдит/дг.
Напомним также данное в равд. 1.13 определение составляющттх (76), согласно которому р„„и р„„например, явлнтотся составлятощими по осям х и г скорости изменения потока количества движения в направлении оси х через единичную площадку в единицу времени. Дивергенция этого потока, в соответствии с (75) и (76) равная др„„)дх + дрие(дг = дрых — (тттги, (77) дает суммарную скорость потерь составляющей количества движения в направлении оси х в единице объема жидкости. Таким образом, вяэние напряжения приводят линеаризованное урав- 3. Волкы ка воде пение (4) количества движения в проекции на ось х к виду р,ди/дс = — др,/дх + у~7"и (78) и аналогично в проекции на ось з: рэди /дг = — др,/дг + уЯт.
(79) Стоке отметил, что эти уравнения движения вязкой жидкости точно удовлетворяются, если мы описываем волны ка воде решением уравнения Лапласа (5) для безвихревого течения. Так, дифференцируя уравнение (5) по х и х соответственно, мы получаем, что члены с коэффициентом р в соотношениях (78) и (79) тождественно равны нулю. ХХ только граничным условиям, прксущим вязкой жидкости, это решение не может удовлетворять, например, из-за наличия ненулевого горизонтального движения у дна. Мы объясним, как исправить этот недостаток путем введения пограничного слоя. С другой стороны, можно представить себе некий эксперимент, в котором пограничный слой не появится вследствие того, что растяжимое твердое дно совершает такое же горизонтальное движение вперед и назад в своей собственной плоскости, какое, как предполагается, совершают частицы жидкости возле дна (рис.
55) в соответствии с теорией безвихревого течения. В таком воображемом двюкении бев придонного пограничного слоя не может быть никакой диссипации энергии, кроме внулеренней диссипации, которую мы теперь и собираемся вычислить. Заметим, что такое движение дна в своей собственной плоскости не будет производить никакой работы над жидкостью, поскольку в безвихревом потоке, в соответствии с формулами (76), величпна тангенциального напряжения р„, = — 2рдгес/дхдг (80) обращается в нуль при з = — /е, где дфдг = 0 для всех х. Однако в таком воображаемом эксперименте безвихревой поток не будет все же точно удовлетворять граничному условию на свободной поверхности.
Например, тангенциальное напряжение (80) не обращается в нуль на этой поверхности. Оно представляет собой х-составляющую силы на единицу площади, с которой вода действует на тонкий поверхностный слой, равновесие которого вовможно, таким образом, лишь тогда, когда к этому слою припоя ена внешняя сила с равной по величине, но противоположной по знаку составляющей по оси х.
Опять же, паше граничное условие для безвихревого движения (а именно условие (48), где учтено поверхностное натяжение) выведено в предположении, что з-составляющей силы на единицу площади, с которой вода действует на тонкий поверхностный слой Э,о. Замуаааио 289 (пРотивоДействУЯ ДРУгой силе Ро — Тдо9/дхо), ЯвлЯетсЯ Давление р = /эо + р,. Формулы (76) показывают, однако, что правильное значение г-составляющей силы па единицу площади превышает р на. величину — 2[одоо/дг = — 2рдоф/дго, (81) н мы опять же делаем вывод, что движение может поддерживаться только тогда, когда к поверхностному слою приложена внешняя сила с равной и противоположной по знаку составлшощей по осн г.
Сохранение безвихревого движения в линейной теории поверхностных волн требует, таким образом, не только такого движения у дна, которое удовлетворяло бы условию прилипания, но также н наличия внешней силы (2р.доф/дхдг, О, 2[одгф/дго), (82) приложенной к единице площади свободной поверхности. В отличие от движения у дна эта сила производит над жидкостью работу, которая в расчете на единицу времени и на единицу площади равна 2[о[(дф/дг) доф/дгдг + (дф/дг) доф/дгЧ~=о. (83) Здесь в соответствии с линейной теорией значение на свободной поверхности может быть заменено на значение при г = О, поскольку различие составляет величину третьего порядка от возмущений.
Остроумная идея Стокса заключалась в том, чтобы признать, что среднее значение выражаемой формулой (83) мощности, необходимой для поддержания незатухающего безвнхревого движения сннусондальных волн, должно в точности уравновешивать скорость, с которой зти самые волны при свободном распространении теряли бы энергию за счет внутренней диссипацнн! Более того, среднее значение выражения (83) в случае сннусоидальных волн с волновым числом /о совпадает со средним значением выражения 2[о[/оофдф/дг + /о'фдф/дг)",' о, (84) в котором два члена из (83) сведены к одинаковой форме посредством записи среднего от произведения производных по х сннусоидальных величин в виде умноженного на /оо среднего от произведения самих величин и замены доф/дгг на /ооф (уравнение (16)). Таким образом, поверхностные волны теряют энергию за счет внутренней диссипации со скоростью на единицу площади, равной среднему значению выражения (84). В соответствии'с ш-оыоо у.
Волям ка воде 10 10' !О 1О !с 00!м 0!м !м ЮИ Рис. 59. Число периодов, иообходииых для умеиьшеиия а е раа аиергии сииусоидальиых волн длины Л иа глубокой воде за счет внутрениеп вязкой диссипации. формулой (26) эта скорость равна произведению 8тй' на среднюю кинетическую энергию па единицу площади или произведению 4тусх на полную энергию волны (ровно половина которой приходится на кинетическую анергию). Поэтому внутренняя днссипация проиаводит относительную потерю энергии волны 4т!са за единицу времени, или 8лтусасо ! (85) за период. Эту величину можно непосредственно добавить к потерям (74) за счет трения о дно, которого, однако, нет в волнах на глубокой воде. На рис. 59 показано, сколько периодов требуется для уменьшения в е раз энергии синусоидальных волн на глубокой воде за счет внутренней диссипации, т.е.
обратная выражению (85) величина изобрая<ена как функция длины волны. Оказывается, что обычные гравитационные волны затухают очень слабо: время, необходимое для уменьшения в е раз энергии волн длины 1 и 10 и, составляет 8000 и 250 000 периодов соответственно. Даясе для достаточно коротких гравитационных волн с Л =- 0,1 м все еще требуется 250 периодов. Волны с Л = 0,01 ы в тяжелой жидкости при наличии поверхностного натяжения затухают намного быстрее, для затухания в е раа требуется только 16 периодов, а для чисто капиллярных волн с очень малой длиной 0,001 м требуется 4 периода.
Эти реаультаты мож- З.З. Затухание 291 но суммировать в виде уже сделанного в равд. 3.4 замечания: среди волн на глубокой воде самыми чувствительными к вязкому затуханию являются волны ряби. Все приведенные выше результаты сформулированы в терминах времени затухания (в периодах) для бесконечно протяженной цепочки синусоидальных волн. Мы пока что не изучали свойства цепочки волн с пространственным градиентом амплитуды; они рассматриваются в следующих за этим разделах. Было бы естественным предположить, что волны, порожденные некоторым фиксированным источником, колеблютцнмся с фиксированной частотой, теряют энергию по мере удаления от него с той тке относительной скоростью на вдинитуу длины волны, с которой теряет ее бесконечная цепочка волн ва период (т. е.
со скоростью потерь, равной величине (74) для трения о дпо и величине (85) для внутренней диссипацни). Такое предположение было бы, однако, ошибочным: в нем неявно подразумевается, что энергия переносится со скоростью волны с, а ие со скоростью, рассчитанной ниже (равд. 3.6 и 3.8) и изменяющейся от значения (1/2) с для гравитационных волн до значения (3!2) с для капиллярных волн. В этих двух случаях изобраткенная на рис. 59 величина должна быть соответственно уменыпена нли увеличена на бтОаа, чтобы получилось число длин волн, за которое энергия, переносимая распространяющимся волновым сигналом, уменыпится в в раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
