Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если предположить, что эти гребни представляют собой преобразованные при распространении на прибрежном мелководье гребни спнусондальных волн, которые подходят к береговой линии через области глубоких вод, то на основании соотношений (20) можно заключить, что длина этих сннусондальных волн составляет 100 и (что и соответствует лр — 8 с). В разд. 3.3 н 3.6 мы увидим, что такое заключение в основе своей правильно. Уэленьшелллле длины волны от таких больших значений для глубокой воды до велллчины. в несколько раз меньшей у самого берега, происходит нз-за эффектов, связанных с мелководьем. Волны на глубокой воде отличаются от «длинныхр волн (т.
е. волн, длинных по сравнению с глубиной) прежде всего относительными величинами, характеризующими движение в вертикальном и горизонтальном направлениях: если в случае длинных волн движение в вертикальном направлении намного слабее, чем в горизонтальном (равд. 2.2), то для волн на глубокой воде они равньл по амплитуде. Действительно, нз (14) и (17) для составляющей скорости по осн х (горнзонтальная составляющая) и по оси з (вертикальная составляющая) получаем о.у. Синлгвоиаальные еоонн нв гаубонои воде 263 Ф гб л:7 О ю ь б в (5 1Р о О а Рнс. 50.
Движение частщ жпдкостн (пв лпнзйной теории) в спнусонцальной волне длины а, рагпространнющейсн слева направо по глубокой воде. Навбольжнй подъем поверхности составляет 0,02гб частицы на поверхности описывают окруналоссп с радиусами гаков жс волпчпны. '!зстпцы, показанные на глубинах со среднпхт значениями 0.05г., 0,17.. 0,152 и 0,207., оппсыванн окружногтп с радиусами 0,01гй67„01,01067., 0,00785 и 0,0057а соответственна. В каждом случае показано мгновенное пологкевпе частицы ва ес круговой траонторпп.
дгр,'дз на 90н (что выражается множителем — 1). Это означает, что вектор скорости вращается по часовой стрелке, всегда сохраняя одну 1з ту жв величину угФев", а его вертикальная и горизонтальная составляющпе колеблются со сдвигом фаз в 90". Линейная теория спнусондальпых волн на глубокой воде предсказывает в таком случае, что величина скорости жидкости остается в ка кдой фиксированной точке настоянная, в то время как направление движения вращается с угловой скоростью го. Можно принять, что скорость жидких частиц, которые могут испытывать смещающпе их пз данной точки малые колебания. подчиняется тому же закону, так как, согласно линейной теории.
разностью между малымп значениями скоростей в данной точке и в точке, смещенной от первой на малое расстояние, можно пренебречь как произведением малых величин. Таким образом, частица уьчлдкостлл, смеп1епная волной из точки (х, у, з), двп'кется со скоростью, имелощей постоянную величину йФ„е" и направление, вращающееся с угловой скоростью ы. Другими словами, она описывает окружность радиуса ы хкФ,ев'. (22) Заметим, что, согласно (2х), фаза движения не зависит от з, поскольку множитель ен' везде действителен и положителен. В каждой же вертикальной плоскости х =- снизу такое движение пороягдает вращение всех частиц жидкости с одинаковой фазой, но с различными радиусами, вависящими, как это видно из (22), от расстояния ( — з) вниз от поверхности.
Нри увеличении х фаза движения, конечно, убывает; ее уменьшение на единицу дчнны составляет величину й .=- 2я7)в. На рис. 50 покааано это о. Волны на воде приближенное в рамках линейной теории движение частиц жидкости в сикусоидалькых волнах ка глубокой воде. Избыточная зкергия волн па воде (как и звуковых воли), согласно линейной теории, поровну разделена между: (1) кинетической энергией и (И) экергией, связанной с восстаяавливающими силами; для гравитационных волн зто потенциальная энергия в поле тяготения ранг ка единицу объема '). Очевидно, что соответствующая величина потенциальной энергии ка единицу площади горизонталькой поверхности в точке, где глубина воды равна й, получается интегрированием выражения ранг аг от дяа г =.
— ев до свободной поверхности г =- ьо рог Йг = — рд (ьг — Ь'). 1 2 -л (23) Тогда в этой точке избыточное значение потенииалъной энергии в расчете на единии,у площади горизонтальной поверхности по отношению к его зиачению ка кевозмущеккой свободной поверхности (Ь = 0) дается выражением 2 Р которое, как и следует ожидать в линейной теории, пропорциоиалько квадрату отклонения от состояния устойчивого равновесия. Заметизц что в то время как повышение свободной поверхиости порождает вклад в потенциальную энергию за счет добавлекия нового слоя жидкости над поверхностью г = 0 (что соответствует положительной потенциальной энергии), понижение свободной поверхкости дает вклад в потенциальную экергию за счет удаления жидкости ниже уровня г = 0 (что соответствует отрицательной потенциальной экергии).
С точки зрения общей линейной теории колебаний (см. курсы по динамике) выражение (24) для приращения потенциальной эиергии иа единицу площади горизоктальиой поверхностк означает, что локально подходящей обобщенной координатой, описывающей распространекие гравитационных волн, могло бы быть смещепие свободпой поверхности ь при условии, что кинетическая энергия иа единицу площади горизонтальной поверхности может быть записаиа соответствепко как величина, краткая (дЬ~'дг)з.
И действительно, такая формула легко выводится для сикусоидалькых волн. ') В рззд. 2.1 было повазаво, что взмововвом плотности в волнах ва воде можно аревебречь, поэтому в оставшейся частя гл. 3 з обозначении ро ивдоко опущен. 8.2. Синусоидальнне волна на глубокой воде 266 Общее выражение для кинетической энергии потока жидкости с потенциалом, удовлетворяющим уравнению Лапласа (5)„ имеет вид — р ~ (ордер/дп) е(Ю, (25) Здесь наличие множителя й ' отвечает тому факту, что перемещение поверхности д~/дг вовлекает в двкжение слой жидкости (см.
рис. 50) снизу от поверхности с толщиной, пропорциональной длине волны 2я//с (хотя и несколько меньшей этой длины). Можно считать, что выражения (24) и (27) определяют для синусоидальных волн на глубокой воде обобщенную жесткость ру (коэффипиепт перед (1/2) ьг в выражении для потенциальной энергии) и обобщенную массу рй ' (коэффициент перед (1/2)(дс/дс)г в выражении для кинетической энергии) на единицу площади поверхности воды. Соотношение (18) в терминах общей теории может быть интерпретировано следующим образом: квадрат частоты колебаний юг равен отношению обобщенной жесткости к обобщенной массе, в данном случае д/с (так что кинетическая и потенциальная энергии будут иметь одинаковые средние значения). где поверхностный интеграл берется по границе жидкости, а оператор д~дп означает дифференцирование по внешней нормали.
Зто утверждение доказывается в курсах по механике сплошной среды с помощью теоремы о дивергенция, позволяющей преобразовать выражение (25) в объемный интеграл от величины (1/2)ргу. (ерхуцг), которая представляет собой, если только удовлетворено уравнение (5), кинетическую энергию на единицу объема (1/2) р (~/цг)г. В случае волн на воде вклад в пнтегграл (25) на нижней границе, где дед/дп = О, отсутствует, а вклад в него на свободной поверхности, согласно линейной теории, может быть приблшкенно заменен таким же интегралом по невозмущенной свободной поверхности г =. О. С допустимой в линейной теории погрешностью третьего порядка относительно малых возмущений это дает для кинетической энергии на единицу площади горизонтальной поверхности выражение 2 р ((у дф/дз)г=.о.
(26) Далее, согласно (12), прп г =- О величины д~!дг и д~/дг равны, а нз (14) и (17) для синусоидальных волн на глубокой воде находим еу = й-'д~,'дг. Таким образом, их кинетическ я знергия на единицу плои/ади горизонтальной поверхности будет. ~ р/„.-г (дед/)г (27) Х. Волам за воде Если профиль свободной поверхности имеет форму = а соа (оМ вЂ” )ох) с амплитудой а и связанными соотношением (18) ю н к, то полная энергия волны на единицу площади горпзонтальнои поверхности (сумма (24) и (27)) будет равна постоянной 1 и; руа2 х (28) (Прн этом имеем Фо = «юа'к.) Для поверхностных волн, которые могут распространяться лишь в горизонтальном направлении, энергия волны на единицу площади И' является аналогом энергии И' на единицу объема для звуковых волн (равд.
1.3). Этот раздел мы мол«ем завершить вопросом: насколько точи»ам является днсперсионпое соотнотение (18) для волн, не имеющих в точности синусоидальную.форму (14) Заметим,что в выражении (14) нет зависимости от координаты у, что дает чисто двумерное движение, одинаковое для каждой плоскости (такой, как изображена на рнс. 50), параллельной плоскости хх. Гребни волн, например, должны неограниченно простираться под прямымп углами к такой плоскости. Однако для того чтобы синусондальные волны с хорошей точностью удовлетворялп соотношепгпо го« = уй, достаточно того, чтобы пх зависимость от у была настолько плавной, что член д'-'«!'ду' в уравнении Лапласа (5) был бы намного меныпе, чем остальные два члена (прп выводе формул (16) — (18) онп полагаются в точности уравновешивающими друг друга).
Вообще говоря, зто означает. что волны имеют «длинные» гребни, согласованно простира«оьцпеся в направлении осп у на расстояние многих длин волны..!пшь упомянув здесь об этом. мы отложим до равд. 3.6 обсуждение случаев отклонения от поведенпя чисто свнусондальных волн. 3.3. Синусоидальные волны на воде произвольной, но постоянной глубины Исходя из линейной теории, мы установили, что: (!) волны на «глубокой» воде (в том смысле, что ее глубина везде превосходит длину волны ).) обладают свойством дисперсии: скорость волны зависит от )„меняясь в зависимости от нее, как (уХ(2я)М» (равд. 3.2); (И) «длинные» воляы (в том смысле, что Х во много раэ балыке глубины) дисперсией не обладают, т.
е. скорость .волны не зависит от Х, принимая значение (уг»)М» в воде посто- д.д. Волна на воде ноетолнной глабинн 267 янной глубины Ь (равд. 2.2). В этом разделе мы изучим переходный между этими крайностями случай и определим скорость волны на воде произвольной, но постоянной глубины Ь, наложив соответствующее безвихревому потоку граничное условие нулевой нормальной составляющей скорости у твердого дна: д<р'дг — 0 прн г — -- — Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
