Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Таким образом, даже если амплитуды остаются настолько малыми, что можно применить линейную теорию, скорость распространения принимает различные значения для различных синусоидальных составляющих общего решения. Главы 3 и 4 посвящены в основном изложению общего взгляда на линейную теорию дисперсии. Хотя отдельные волновые системы, описанные в этих главах (пре)кде всего гравитационные волны), и сами по себе весьма важны, они используются в основном для иллюстрации явления дисперсии; нелинейные эффекты не учитываются.

Напротив, в гл. 2 рассматривались недиспергирующие системы с фиксированной скоростью волны с, не зависящей от длины волны для всех возмущений очень малой амплитуды. Но в ней развивались нелинейные теории, учитывающие зависимость скорости сигнала от его интенсивности. В таком нелинейном анализе недиспергирующих систем со скоростью сигнала, не зависящей от длины волны, но зависящей от интенсивности, содернгатся трудности приблизительно того н<е порядка, что и в излагаемом далее линейном анализе дисперзируюиеих систем, в которых интенсивность сигнала слишком мала, чтобы влиять на его скорость, аависящую, однако, от длины волны (и, возможно, от направления распространения).

Оба эти метода целесообразно изложить в основном тексте, а гораздо более сложный нелинейный анализ волн с дисперсией (учитыва- 8.1. Лооорв~ооогнао орооитационнио волны 255 ющий «конкуренцию» зависимостей скорости сигнала от длины волны и от его интенсивности), который требует использования намного более развитых методов, отложить до эпилога. В главе 3 исследуется изотроппая дисперсия, при которой скорость волны с не зависит от направления распространения, но меняется с длиной волны. Теория систем волн такого рода дана в равд. 3.1 — 3.5.

В следующих трех разделах изложена теория замечательного и важного свойства таких систем волн, заключающегося в том, что фундаментальную роль в ях распространении играет групповая скорость, совершенно отличная от скорости волны с, с которой движутся отдельные гребни и впадины волн.

В равд. 3.9 и 3.10 эта теория применяется для изучения конкретных систем волн. Естественное обобщение этой теории на случай анивотропных диспергнрующих волн, скорость которых с зависит и от направления распространения, и от длины волны, будет дано в гл. 4. Существенную роль снова будет играть групповая скорость, которая будет отличаться теперь от скорости гребней и впадип как по величине, так и по направлению. Это понятие вектора групповой скорости оказывается основным в обобщенной теории трубок лучей и их свойств, которая позволяет распространить результаты, полученные в гл.

1 и 2 в пределе геометрической акустики, на случай общих линейных систем и сделать их более обоснованными. Основными примерами диспергирующих волн в гл. 3 и 4 являются гравитаг1ионные волны, движение которых определяется взаимодействием между инерцией жидкости и ее стремлением вернуться под действием силы тян«ести в состояние устойчивого равновесия в случае, когда более тяжелая жидкость располагается ниже более легкой. В гл. 4 рассматриваются волны такого типа внутри жидкости, плотность которой в невоэмущенном равновесном состоянии непрерывно уменьшается с увеличением высоты; это так называемые внутренние гравитационнь»е волны.

Метеорологами установлено, что стратификация плотности внутри различных частей атмосферы такова, что появляются внутренние гравитационные волны, существенно влияющие на некоторые наблюдаемые процессы. Океанографы в свою очередь показали, что в частях океана с существенной стратификацией плотности внутренние гравитацонные волны имеют важное значение. Поскольку сила тяжести, как воввращающая сила, действует в одном фиксированном направлении, нет оснований для изотропии (т.

е. «равноправия всех направлений») при распространении гравитационных волн, и было найдено, что внутренние гравитационные волны являются заметно анизотропными. 256 8. Волны на «вае Существование сплошной среды в жидкой и газообразных фазах допускает также и совершенно другой тип устойчивого равновесия, когда более тяжелая среда находится ниже более легкой; например, однородная жидкость (скажем, вода) отделена горизонтальной поверхностью от находящегося сверху однородного гааа (скажем, воздуха).

Тогда плотность меняется разрьгвным образом при переходе через некоторую поверхность— «поверхность воды» (или з общем случае, поверхность раздела жидкости и газа). Возмущения этого равновесного состояния проявляются в виде поверхностных гравитационных волн, которые не могут распространяться вдаль от поверхности: как мы увидим, они удаляются от поверхности не дальше, чем на расстояние одной длины волны. Лишь в горизонтальных направлениях они распространяются на расстояния, во много раз большие длины волны. Так как в поле вертикальной возвращаю1цей силы различные горизонтаеьные направления ничем не отличаются, эти волны изотропны в горизонтальном направлении (все горизонтальные направления их распространения равноправны).

Тем не менее эффективная инерция жидкости, связанная с зависящей от длины волны глубиной проникновения возмущения, вызывает дисперсию — зависимость скорости волны от ее длины. .::1Гы рассмотрим поверхностные гравитационные волны на плоской границе между водой и воздухом (хотя та же теория применима и для поверхностей раздела между другими жидкостями н газами).

Волны на плоской поверхности воды, изученные в гл. 2, являются исключительно «длинными» волнами; глубина воды составляет малую долю длины волны. В случае таких волн возмущения могут распространяться по всей глубине, «и это не нарувтает запрета на проникновение волн на глубину более одной длины волны. Действительно, в равд. 2.2 установлено, что избыточное давление приблизительно постоянно по всему поперечному сечению. Для малых возмущений поверхности воды эффективная инерция жидкости не зависит тогда от длины волны, и волны являются недиспергирующими.

В равд. 3.3 мы снова получим зто распространение беэ дисперсии как один предельный случай линейной теории поверхностных гравитационных волн, предсказывающей дисперсию зо всех остальных случаях. В общей линейной теории гравитационных волн в однородном водоеме сжимаемость оказывается пренебрежимо малой, так что плотность воды можно считать постоянной величиной р«. Этот. вывод был уже сделан для длинных волн в равд. 2.2, где показано, что величина изменения плошадипоперечного сечения воды на много порядков превышает величину ее сжимаемости; е.в. Поверхностные гравитациоаные волны 257 Этот результат равносилен утверждению о малости скорости волны с по сравнению со скоростью звука.

Кроме того, в раад. 3.3 мы проверим, что при данной глубине воды гг наибольшей возможной скоростью распространения волны с является скорость длинных волн (д)г)'/», которая мала по сравнению со скоростью звука с, при условии, что й<< с»д " = (1400 м/с)» (9,8 мыс») « = 200 км. (1) Все известные водоемы удовлетворяют этому условию, гарантирующему возможность пренебрежения сжимаемостью, что и оправдывает использование приводимого ниже уравнения (5). В этом разделе мы пренебрегаем также вязкостью и другими диссипативными эффектами, отложив их изучеяие до специального равд.

3.5, в котором (как и в равд. 1.13 и 2.7 предыдущих глав) рассматривается затухание волн на воде. Еще раз используем обозначения из равд. 2.2; в системе координат с осью з, поправленной вверх от свободной поверхности, невозмущенное распределение давления определяется уравнением гидростатики (2) Ро = Ра — Р«У«в где р, — атмосферное давление. 11збыточное давление, обусловленное возмущением, определяется как Ре Р Ро. (3) Липеаризованное уравнение количества движения может быть записано в виде Ро«7п~о» 'сРе (4) Так же как в начале гл.

1, в этом уравнении опущен нелинейный инерционный член и ~гп. «Взяв ротор», мы ааключаем, что в рамках линейной теории поле вихрей ке зависит от времени: «Завпхренность остается фиксированной, однако при этом многие другие величины могут распространяться». «Вращательная часть» поля скоростей, порожденная этим стационарным полем вихрей, не зависит от времени; ей соответствует избыточное давление Р, — 0 (как следует иа уравнения (4)), и опа, таким образом, не возмущает плоскую поверхность воды. Оставшаяся часть поля скоростей является безвихревой и поэтому может быть записана в виде градиента гусу потенциала скорости только эта часть возмущает поверхность воды или проявляет себя в колебаниях, связанных с распространением волы.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид «у.п = О, и из него для безвихревой части поля скоростей, г«-оыоо а. Ваза«с аа ааьз соответствующей поступательному движению, следует уравнение Лапласа т7 р = О. (5) Зто уравнение может быть сопоставлено с волновым уравнением для звуковых волн (равд. 1.1), в правой части которого содержится член с '!дасрсдга. Однако в случае волк на воде. распространяющихся горизонтально с волновой скоростью с, каждый член в левой части уравнения (фактически — вторая производная по направлению распространения) имеет порядок с-'д«срсдс«.

Зта величина гораздо болыпе, чем с-",д'срсдс«, прп выполнения условия (1), гарантируюсцего неравенство с« с,. Таким образом, уравнение Лапласа (5) является прекрасным приближением для описания волн на воде. Уравнением Лапласа нельзя описать распространение волн в акс«дкости, полностью ограниченной стационарными поверхностями, но зто можно сделать, если добавить ь нему условия, которые выполняются па свободной поверхности воды. Как показало в равд. 2.2, эти условия требуют, чтобы избыточное давление удовлетворяло равенству (6) Ре Раз ь на возмущенной поверхности воды г=- ь(г,у, Е), (7) с тем чтобы (2) и (3) давали на этой поверхности для величины Р =-- Р, —; Р, значение атмосфеРного давленпЯ Ра. Налагасс это условие, мы подразумеваем, что единственной силос«, которая стремится придать поверхности плоскую форму, является сила тяжести.

Характеристики

Список файлов книги