Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. по эллипсу с болыпой и малой полу- осяин д.з. Ванна на ваде паетаан~ай ааубинн 273 величинами 0,07 Х и 0,28 Х, для которых пределы длинных волн и глубокой воды дают приемлемые приближения. Горизонтальное движение на поверхности на 54а4 интенсивнее, чем у дна, что не согласуется ки с предположением о приблизительно равномерном распределении в одномерном случае, ни с предположением об относительно малом движении у дна в случае глубокой воды. (О влиянии вязкого пограничного слоя между твердым дном и горизонтально движущейся прилегающей жидкостью см. равд. 3.5.) Вертикальное движение у поверхности на 18а4 интенсивнее, чем гориаонтальное движение у дна, тогда как отношение амплитуд вертикального и горизонтального движений меняется от значения 0 у дна до значения 0,76 у поверхности, не приближаясь к предельному значению 1 в случае глубокой воды и не оставаясь малым, как в линейной теории. В гораздо более глубокой воде эллипсы, показанные на рис.
55, будут, как на рис. 50, очень близкими к окружностям везде, кроме придонной области, где опи будут сильно сплющенными, но относительно малыми. В намного более мелкой воде все они будут сильно сплющенными с почти одинаковыми длинами болыпих осей. Избыточная потенциальная энергия на единицу площади горизонтальной поверхности для волн на воде произвольной глубины принимает значение (24), полученное из (23). Аналогично, кинетическая энергия на единицу площади горизонтальной поверхности всегда принимает значение (26), но соотношение меокду еу и дер7дз при г = — 0 для воды произвольной глубины й изменяется согласно (34).
Это соотношение совместно с условием (12), приравнивающим дер7дз и д~!дд дает тогда выражение для кинетической энергии волн на единицу площади горизонтальной поверхности: ' р (й тй йй)-~ (В ь7В1)а. (44) Таким образом, обобщенная масса на единицу площади водной поверхности увеличиааетсл по сравнению с величиной для случая глубокой воды 07е ' до величины ( й $ ь щ ) (45) Используя эту новую величину и прежнее значение обобщенной жесткости ря, можно интерпретировать дисперсионное соотношение (35) как определение квадрата частоты аоа, равного отношению жесткости к массе. Отсюда следует равенство средних значений кинетической и избыточной потенциальной энергий и та же, что и ранее, формула (28) для полной энергии Иг волны на единицу площади.
ав-оыоо Э. В»азы на лоде 274 Для волн на глубокой воде появление обобщенной массы рЬ ' на единицу площади интерпретировалось в равд. 3.2 как явление, обусловленное движением поверхности со скоростью дь1дг, вызывающим заметные перемещения в слое жидкости толщиной, пропорциональной Ь '. В соответствии с этим может покаааться удивительным, что наличие твердого дна, ограничивающего глубину жидкости, способной двигаться, увеличивает обобщенную массу и уменыпает таким образом частоту. Объяснение состоит в тои, что дь1дг представляет собой вертикальную составляющую движения поверхности: прп уменьшении ЙЬ увеличение отношения интенсивностей горизонтального движения к вертикальному соадает большее изменение в кинетической энергии на единицу площади для данного значения д~1д1, чем то, которое вызывается уменыпенпем налпчного объема жидкости.
Например, в предельном случае длинных волн амплитуда скорости горизонтального движения на поверхности в (Ьсг) " раэ больше амплитуды скорости вертикального движения и отношение соответствующих кинетических энергий на единицу объема составляет (ЬЬ) ', отсюда с учетом того, что масса на единицу плогцади равна рЬ, получается обобщеяная масса оЬ (ЬЬ)-», которая согласуется с предельным переходом в точнон формуле (45) для случая длинных волн.
Конечно, если за обобщенную координату принять горизонтальное смещение поверхности жидкости, то обобщенная масса э предельном случае длинных волн будет иметь не зависящее от длины волны значение рЬ, но обобщенная жесткость преобразуется к виду рд (Ь1»)', это снова приводит к соотношению ю' = е1й', которое соответствует недиспергирующим волнам со скоростью (дЬ)м». Дальнейшие важные сведения об энергетических соотношениях для волн на воде произвольной глубины Ь даны в равд. 3.8.
3.4. Волны ряби При рассмотрении поверхностных волн в равд. 3.( — 3.3 сила тяжести считалась единственной силой, стремящейся вернуть поверхности раздела «воздух — вода» г = ь »плоскую форму. Считалось, что давление воды на поверхности раздела совпадает с атмосферным давлением р„, так что приращение давления р, над невозмущенной величиной р, = р, — ранг принимает на границе значение руь (формула (6)). В данном анализе теория видоизменяется из-за учета дополнительной силы, стремящейся вернуть поверхности раздела плоскую форму,— силы поверхностного натяжения, которая порождает разрыв меж- 3.4.
Волны ряби Л'5 Т (дэ~!дхв) бх, представляющая собой разность величин вертикальных составляющих силы натяжения, выражаемых по формуле (46) в точке, скажем, х + бх, и противодействующей силы в точке х. Так как площадь такой полосы водной поверхности тпирины бх и единичной длины составляет Ьх, то действующая на нее направленная вверх сила на единицу алощади должна быть равна Тдвь/дх'. Она, очевидно, должна быть уравповешена силой давления воздуха, превытпающего давление воды на поверхности. Инерцнонные члены не входят в уравнение такого баланса, поскольку в топком поверхностном слое масса на единицу площади стремится к нулю при уменыпении толщины слоя. Граничное значение давления воды р„+ р, меньше, таким образом, атмосферного на величину Тдээ/дхв, пропорциональ- 18" (47) ду давлением в воздухе и в воде, пропорциональный кривизне поверхности раздела.
Пропорциональная кривизне поверхности раздела итоговая поправка к величине р„отнесенная к пропорциональному смещению поверхности раздела неподправленному члену ру~, составляет величину, обратно пропорциональную квадрату длины волны. Таким образом, она важна только для достаточно коротких волн, называемых волнами ряби. Практически это волны с длиной, меньшей приблкзнтельно 0,1 и, для которых, однако, как мы увидим, поправка существенно меняет характер дисперсионного соотношения. Простейп1ее определение поверхностного натяжения Т получается из рассмотрения двух соседних элементов поверхности жидкости, разделенных прямолинейной границей.
Они действуют друг на друга с равными и протнвополояснымн склами Т на единицу длины этой границы под прямым углом к ней. Здесь Т измеряется в ньютонах на метр; для воды Т =- 0,074 Н1м. Перед тем как кратко описать связь этого представления с общей физикой жидкостей, мы покажем, насколько просто с его помощью можно модифицировать теорию поверхностных воли. Для бегущих в направлении оси х волн с длинными гребнямн сила Т, приходящаяся на единицу длины границы, параллельной гребням волн (т.е. оси у), имеет вертикальную составляющую, которая в линейной теории может быть записана в виде Тд ~/дх (46) и которая представляет собой малую составляюицю в направлении оси х силы Т, действующей по касательной к поверхности с тангенсом угла наклона д Ь1дх.
Из этого следует, что на полосу водной поверхности, ограниченную двумя прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние бх, действует суммарная вертикальная сила 276 д. Волна на воде ную линейной аппроксимации кривизны поверхности. Вместе с гидростатическим соотношением ро = р, — рдх зто означает, что при 2 = Ь избыточное давление будет р, =- рдь — Тд29'дх2. Для сннусоидальных волн с волновым числом /2 = 2яй граничное условие (48) принимает более простой вид: Ре = (Ро + Тл") (49) Здесь можно было бы просто повторить все доводы, приведенные при выводе формул (6) — (13) для поверхностных гравитационных волн, начав, однако, с этого видоизмененного граничного условия (49), а не с условия (6). Тогда дисперсионное соотношение выводилось бы последовательно тем же способом, что н соотношение (18) для случая глубокой воды или соотношение (35) для воды произвольной, но постоянной глубины.
Однако полный вывод был бы напрасной тратой времени[ Все можно сделать гораздо быстрее: формула (49) имеет такой же вид, что и (6), если в ней я заменить на д + р 1/22Т. (50) Это значит, что для синусоидальных волн с волновым числом /2 влияние поверхностного натяжения точно такое же, как влияние увеличения ускорения свободного падения д в соответствии с заменой (50). Поэтому мы можем определить все свойства волн, как только сделаем такую замену в выводах предыдущего раздела. В частности, выраженное через частоту дисперсионное соотношение (18) для поверхностных волн на глубокой воде с учетом поверхностного натяжения и тяготения путем подстановки в него выражения из (50) становится таким: 222 =- (д -1- р 1Т/22) /е (51) тогда как формула для скорости волны (19) принимает вид С вЂ” [(4в + р-1Т/22)//Е[1/2 (52) Заметим, что в этих формулах влияние замены (50) будет пренебрежимо мало, когда поправочный член р 1Т/22, обратно пропорциональный, как указывалось ранее, квадрату длины волны Х = 2я//2, будет очень мал по сравнению с самой величной л, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
