Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. если /2 мало по сравнению с /2 — (ра/Т)1/2 Это условие того, чтобы волны по существу были чисто гравитационными в смысле сравнительной малости поверхностного 277 л.б. Волли ряби натяжения, эквивалентно требованию, чтобы длина волны Л была велика по сравнению с Л„, = (2л//е„) =- 2л (Т/(рд))м«. (54) Например, для воды прп Т = 0,074 Н/м и р = 1000 кг/мз получаем й =-360м' и Л =0,017 м, (55) т. е. подтверждается высказанное ранее утверждение о том, что волны, длина которых превышает 0,1 и, являются чисто гравитационными. Действительно, ошибка при вычислении значения (б//е)Ы«для гравитационных волн составляет менее 3»«, если Л ) 0,07 м.
Термин «волны ряби» будет относиться к волнам, для которых вли»шие поверхностного натяжения значительно, т. е. к волнам с длиной менее 7 см. Выбор индекса ш связан с тем, что формула (52) для скорости волны принимает при /е — /е (или Л =- Л ) минилии«ьное значение: с =- с„=-. (2л7« )'/' = 0,23 ль/с для воды. (56) Такой минимум появляется из-за влияния на квадрат скорости волны с' как поверхностного натяжения, так н тяготения. Скорость становится большой, когда волновое число /е становится соответственно большим или малым. Оба влияния в точности равны, а суммарный эффект минимален при й = /е На рис. 56 для волн на глубокой воде показана графическая зависимость с от Л (52), из которой следует, что: (1) минимум скорости волны с достигается при Л = Лм, (й) при Л ) 4 Лю данная кривая близка к кривой, отвечающей гравитационным волнам, (ш) скорость волны снова возрастает, когда отношение Л/Л становится очень малым.
Когда Л ( (1/4) Л, с погрешностью до 3«4«верны упрощенные формулы, получающиеся из (51) и (52) при пренебрежении тяготением: с = (р 'Т/«)»7» (57) ес» = р ~Т/е», Такие волны, в которых единственная значительная восстанавливающая сила обусловлена поверхностным натяжением, связанным с «капиллярным притяжением», часто называют «капиллярными волнами».
Капиллярные волны на воде — это волны с Л ( 4 мм. Их частота ее/2л принимает значения, превышающие 70 Гц, т. е. лежит в акустическом диапазоне, так что их легко возбудить, ударив по камертону и опустив его концы в воду. Например, камертон для скрипичной струны А с частотой е»/(2л) = 440 Гц, д, Валли на наде 278 2си л ал зл 2лы Рис. 56. Скорость волны с для волн риби на глубокой воде.
Обратите внлианис на пароход от зиачония для капиллярных волн (2лт)(Лр))0« к значению для гравитационных волн (уЛ:(2я))Ц'-. Он происходит в окрестности значения Л == Лю, которое соотастствуот ыиниыальной скорости волны и дается форыулон (55). в соответствии с формуламн (57), генерирует волны с длиной Л = 1,3 мм, бегущие со скоростью 0,57 м(с.
Такие волны наблюдаются на опыте, но только достаточно близко от концов камертона. По причинам, указанным в равд. 3.5, волны такой высокой частоты испытывают чрезвычайно быстрое затухание, я вследствие этого нх нельзя увидеть вне круга радиуса в несколько сантиметров. Заметим, что характер траекторий частиц лсидкостн в волнах на глубокой воде не изменится по сравнению с тем, что изображено на рис. 50, если мы сделаем замеку (50), чтобы учесть влинние поверхностного натан«ения. Кроме того, тем же самым остается предельное аначепне, которое должна превышать глубина для обеспечения точности результатов теории глубокой воды. Это авачепие порядка длины волны Л, если граничное условие должно удовлетворяться с повышенной точностью, или— около 0,28 Л, если за критерий берется выполнение днсперсионного соотношения с точностью 3% (условие (37)).
11о существу зто означает, что на воде некоторой «обычной» глубины, превышающей несколько сантиметров, все волны ряби (длина которых не может, как мы видели, превышать 7 см) могут считаться волнами на глубокой воде. Другими словами, влияние конечности глубины (равд. З.З) и поверхностного натяжения (равд. 3.4) видоизменяет теорию гравитационных волн З.А Воина ряби 279 (58) (д + р-сТЬя) Ь-с15 ЬЬ Разлагая правую часть в ряд по возрастающим степеням Ь (что соответствует убывающим степеням величины Л), мы полу- чаем 'яЬ-'1- ~ — — фъ'+ р 'ТЬ) Ьа-(-0(Ус') (59) где два слагаемых в множителе прн ЬЯ отвечают соответственно двум противоположным только что упомянутым тенденциям.
Очевидно, что онн взаимно уничтожаются при глубине, равной Ь = (377ря) м' = 5 мм для воды, (60) В равд. !.7 упоминалось, что это значение используется при имитации звуковых волн в волновой кювете. Из рис. 57, на котором приведены зависимости с от Л =- = 2нй для различных значений глубины в соответствии с точным днсперсионным соотношением (58), видно, что нри глубине Ь = 5 мм скорость с сохраняет значение, близкое к постоянному, при уменьшении длины волны настолько, насколько это возможно. Точность 3',4 достнгаетсн при значениях Л, превышающих 2 см (это больше глубины в 4 раза вместо 14 раз по условию (38) для чисто гравитационных волн). При соответствующей волновой скорости около 22 см7с можно визуально наблюдать моделирование акустических явлений в чрезвычайно замедленном темпе (равд. 1. 7).
на глубокой воде (равд. 3.2) в различных интервалах длин волн, а именно в случаях больших и малых длин волн соответственно. Тем не менее есть особая причина, в силу которой желательно изучить дисперсионное соотногпенне для волн ряби на воде произвольной, но постоянной глубины, а именно возможность выбора много меньшей,чем «обычная» глубина воды в волновой кговете с тем, чтобы (равд. 1.7) рябь имитировала звуковые волны, обладая по возможности малой дисперсией.
Идея состоит в том, что глубина выбирается таким образом, чтобы уничтонсить противодействующие отклонения в скорости от длинноволяовой асимптотики: уменьшение (рис. 52) скорости за счет уменьшения Л до величин, сравнимых с глубиной, и увеличение ее (рис. 56)с за счет уменьшения Лдо величин, прикоторых эффективное значение я повышается нз-за влияния поверхностного натяжения. Действительно, если мы используем замену (50) в (36), мы получим днсперсионное соотношение для волн ряби на воде произвольной, но постоянной глубины Ь: 8. Волны на воде 250 с (дй)т ра 50 б 8 Ю 12 14 Ь Рис. 57. Отношение скорости волны с к ее предельному значению для длинных волн (дь)ро в случае волн ряби яа мелкой воде глубины 5, равной соответственно 2,5, 5, (О и 20 мм.
Для сравпензя штриховой линией показана кривая дла чисто гравитационных волн (рпс. 52). Мы закончим этот раздел обсуждением переноса энергии волнами ряби и кратким описанием связи между понятием поверхностного натяжения и общей физикой жидкости. Вклад во внутреннюю энергию жидкости производится как средней кинетической энергией, связанной с тепловым движением молекул, так и средней потенциальной энергией, связанной с силами вааимодействия между молекулами. Это вклады разного знака, поскольку за исключением статистически редкого случая необычно малого расстояния между молекулами силы взаимодействия являются притягивающими и создаю~ отрицательную потенциальную энергию.
Реально внутренняя энергия на единицу массы, обозначаемая здесь, как н в равд. 1.2, через Е, намного меньше (например, для воды на три порядка), чем кинетическая энергия на единицу массы, огромная величина которой почти уничтожается сложением с численно примерно равной отрицательной потенциальной энергией на единицу массы Все точки жидкости дают статистически однородный вклад в отрицательную потенциальную энергию жидкости эа одним исключением. Молекулы, расположенные в непосредственной 28г 8.4.
Волин ряби близости от свободной поверхности, могут взаимодействовать только с меньшим, чезс среднее, числом молекул. Нозтохсу вклад в отрицательную потенциальную энергию, производимый такими расположенными исключительно близко от поверхности молекулами, численно составляет лишь часть вклада, который в общем случае делается молекулами. Это обстоятельство влияет на величину полной внутренней энергии жидкости: к статистически однородному, а следовательно пропорциональному массе вкладу, добавляется положительная поправка, пропорциональная площади свободной поверхности и связанная с отсутствием отрицательного вклада от молекул, образующих на свободной поверхности слой толгциной примерно в 1 молекулярный диаметр.
Этот чрезвычайно тонкий слой может дать весьма существенный вклад, поскольку уменьшение отрицательной потенциальной знергии на одну молекулу численно гораздо больше, чем суммарная внутренняя энергия на одну молекулу. В соответствии с этим внутренняя зпергия жидкости массы ЛХ с площадью свободной поверхности А может быть записана в виде МЕ+АТ, (61) где Š— внутренняя энергия на единицу массы жидкости, а Т вЂ” необходимая положительная поправка на единицу площади свободной поверхности. Отсюда следует, что малое изменение формы сссидкого объема фиксированной массы М влечет изменение энергии Т6А, пропорциональное малому приращению 6А площади его свободной поверхности. Другими словами, работа, которую надо произвести, чтобы растянуть свободную поверхность, в точности прспсимает значение Т6А, получающееся. на основе рассмотрения препятствующей растяжению силы поверхностного натяжения Т на единицу длины границы свободной поверхности.
Мы видим, что величину Т можно рассматривать либо как аффективную силу натяжения на единицу длины границы, действующую по касательной к свободной поверхности и измеряемую в Н!м (ньютон на метр), либо как добавочную нотенциальиую энергию иа единицу площади свободной поверхности, измеряемую в Дж/мз (джоуль на квадратный метр). Хотя во втором случае смысл величины Т становится физически более ясным, первое, более простое объяснение должно приводить к тем все самым заключениям. Для простоты изложения приведенное выше обсуждение- неявно основывалось на том допущении, что изменение внутренней ангргии при растяжении свободной поверхности дает.
величину проделанной работы. Заканчивая обсуждение, за- 8. Вовни на воде метим, что с точки зрения термодннамикиизменениесвободной энергии (внутренняя энергия минус произведение температуры на энтропию) равно количеству произведенной работы (исключая случай неизотермического подвода телла). Следовательно, из соображений строгости надо исправить выражение (61) таким образом, чтобы Т было изменением свободной энергии при единичном изменении площади для данной массы жидкости, и рассматривать прирост свободной энергии, который вызывается этим изменением, как вклад поверхности в потенциальную энергию волны. Любые синусоидальные волны на поверхности воды увеличивают ее поверхность пропорционально величине, которая при усреднении по длине волны может быть записана как среднее от величины (62) Н + (д ~!дх)э!в/в — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
