Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(29) Мы отложим рассмотрение вязких пограничных слоев до равд. 3.5, где (как и в равд. 2.7) мы обнаружим, что их влияние на волны сводится в основном к затуханию. Вычисления с граничным условием (29) отличаются от проведенных в равд. 3.2 только другим специальным выбором решения обыкновенного дпфферев|циального уравнения (10) для амплитуды Ф (г) сппусондальпой волны общего вида (14). Вместо решения (17), которое стремится к нулю при больших отрицательных г, выделяется решение, удовлетворяющее условию Ф' ( — Ь) = О. Зто означает, что в общей линейной комбинации частных решений уравнения (16) Ф,ен' + Фге " (30) мы имеем Ф е-"" =.— Фге"", ! (31) Полагая обе части равенства (31) равными (1!2) Фо, мы можем записать решение в виде (32) Ф (г) - Фо с1в Ус (г + Ь)1. Здесь н далее мы используем классические ооозначеппя для гиперболических функций с!в х =.
—, (е' — ' е н) . 2 з1т х =- а' (с1в х);е7х = =- — „(ен — е н) ==с!тх.1,1вх. (33) Их графики показаны на рис. 51. Заметам, что нулевой наклон графика с1т х при х — 0 подтвер;кдает, что функция (32) удовлетворяет условию Ф'( — Ь) — -- О. Посколькууравнение(14) требует(в точности, каквразд.3.2), чтобы д'вргдгв — — <огвэ, то вместе с соотношением (32) это означает, что при г = 0 выполняется равенство дада = [Ф'(0)IФ(0)] <р =- (Ь 1)в Ь7в) вэ, (34) так что граничное условие (13) на свободной поверхности дает соотношение между частотой ю и волновым числом й для гра- о. Волгги аа вод» 268 х 2 Рис.
5Н Сплошные линии — графики гиперболических функций сЬ х, аЬ х, гЬ х. Штриховая линия — асимптотическое аначение гЬ х прн болыпнх х, равное 1. витационных волн на поверхности воды произвольной, но'постоянной глубины Ь: ша = дй 1Ь ЬЬ. (35) Полученное днсперсионное соотношение может быть записано через скорость волны с в виде с = шгй =- (Кй г 1Ь йй) гга.
(36) Этот результат согласуется с обоими предельными выражениями, полученными выше: (дуй)г/а в пределе для глубокой воды (йй велико) и (дй)гга в пределе для дчинных волн (йй мало), поскольку при этих предельных переходах 1Ь йй асимптотически стремится соответственно к 1 и к йй (рис. 51).
При йй ) 1,75 численное значение (гЬ йй)гга лежит между 0,97 и 1. С учетом соотношения Х = 2лй это означает, что 26э д.д. Волны на воде ноетонннвб глубины формула (36) дает для скорости с величину, которая не более чем на Звгге меньше значения для глубокой воды (дЛ/2я)г/з при условии, что Ь > 0 28 Л.
(37) Это условие, необходимое для того, чтобы теория глубокой волы описывала дисперсию с хорошей точностью, может показаться удивительным, так как возмущения, предсйазанные этой теорией, уменыпаются на глубине 0,28 Л только до 176о их значения на поверхности. Однако (как мы увидим) более существенно то, что пх вклад в кинетическую энергию (27) (а следовательно, и инерционный член) уменьшается на том же расстоянии до 3 в~о.
На другом конце интервала изменения скорости значение (тЫс/г)пз/(Ь/г)'/' лежит между 0,97 и 1 при ЬЬ ( 0,44. С учетом соотношения Л = 2п/Ь это оаначает, что выражение (36) дает для скорости с величину, которая не более чем иа Зв/й меныпе, чем значение для длинных волн (д/г)"/', прп условии, что Ь<007 Л. (38) Как предсказывалось в равд. 2.2, для того, чтобы скорость волны с, хорошей точностью определялась выражением (д/г)'/', не зависящим от Л и выведенным в предположении существенно одномерного движения, глубина Ь должна составлять небольшую часть (менее 7вб) длины волны.
Таким образом, зависимость с от Л, которая, согласно формуле (36), имеет вид (39) с = [(ггЛ/(2п)) 1)у (2пЬ/Л)Р"-', значительно отличается от обеих предельных формул только лишь в диапазоне глубин между 0,07 Л и 0,28 Л (соответственно в диапазоне длин волн между 14 Ь и 3,5 Ь). На рис. 52 это демонстрируется графиком зависимости с от Л для фиксированного Ь по формуле (39); видно, как «параболическая» предельнал зависимость (дЛ/2я)'/' для Л ( 3,5 Ь плавно переходит к постоянному асимптотическому значению (дЬ)'/з для Л ) 14 Ь. Интересно также представить на графике зависимость скорости волны с от глубины Ь при фиксированной частоте ег, прежде всего в связи с тем (см. равд. 3.8), что частота сипусоидальных волн на глубокой воде, приближающихся к береговой линии, при прохождении волнами участков со все меньшей и меньшей глубиной стремится к постоянной величине (при этом число гребней волн, достигающих берега за единицу времени, равняется их числу при приближении к береговой линии).
д. Возни на воде 2УО (ВЬ) а' О,з(рй)тв 2Ь ЯЬ ЕЬ ЗЬ ЮЬ 12Ь 14Ь л Рис. 52. Завиоизюсть скорости волны с по линейной теории от длины волны й в воде прп постоянной глубине Ь. Обратите внимание на переход от зааисииоств (я),,2я)ПЗ для случаи глубокой воды я зависимости (ХЬ)че для случая даниных вози. Соотношение (35) после замены й на ы)с хгожет быть записано в виде соз д =-- Й (озя)с) (40) и использовало ддя определения изменения с прп постоянной частоте ы и постепенном уменьшении )1. Очевидно, имеет место переход от предельного случая глубокой воды, когда правая часть соотношения (40) равняется ( и с = и,'ы, к предельному случаю длинных волн, когда правая часть соотношения (40) стрехштся к (озя,'с) и тогда с =-.
(Вй)пз. Этот переход зшшно видеть на рис. 53. 0,5 у/и Рис. 53. Зависимость скоростн волны е от постепенно меняющейси глубины Ь для волн с частотой ы, Обратите внимание на переход от зависимости (дЬ)рз для случая длинных волн к аависимости д)ы для случая глубокой воды. «.3.
Волны н«««д««««ст«янн«н гяабнны 27 1' Рис. 54. Разворот гребней в првбрежвых водах с постояввым наклоном два. 1дтрвховой хвввей отмечена кромка воды, пунктирной— место, где глубвва составляет Х (2з) (гав что Йй — - (). (41) (42) дгр дх = — 1(/гФе сЬ Ря (х + й)]) ехр [1(ге( — йьх)[, д~р/дх = ( 1сФ« зЬ [Ус (х +. Ь)) ) ехр [1 (ыс — Лх) Ь показывающие, что представленные выра'пениями в фигуриых скобках амплитуды сииусоидальиых изменений различны. Из графиков функций зЬ х и сЬ х (рис. 51) видна степень различия: обе амплитуды становятся почти равными там, где й (х + й) В равд.
3.2 покававо, что волна с периодом, например, 8 с имеет па глубокой воде скорость с =- 12,5 м,'с и длину волны г. = — 100 и. Однако при прохождеиии волны по все оолее мелкой воде, что соответствует движению «низ вдоль нравов па рис. 53, и скорость, и длина волны уменьшаютсн. Вблизи берега при глубине, скажем, 1 м скорость с умеиыпается (для волны с периодом 8 с) до 3,1 м'с, а Х вЂ” до 25 и, т.е. в четыре раза. Гребны приближающихся к берегу волн обычно почти параллельны ему, хотя оип могут быть порождены греблями волн иа глубокой воде, двп>ьущихся под звачитевьпь~м углом к береговой ливии. Выравнивание гребней вдоль паправленпя изобат возле берега является следствием попкжепия скорости волны при умеиьшеиии глубины. При движении греовя волны под углом к береговой липин те его части, которые первымп входят в область мелководья, замедляют движение, в то время как части па глубокой воде продолжают быстро двигаться вперед, и в результате гребень разворачивается (рис.
54). Выписав некоторые дисперсионные соотпошения (для воды произвольной глубины), ыы изучим теперь (как оыло сделаяо для глубокой воды в равд. 3.2) связанное с возками двпжеппе воды. Из (14) и (32) получаем составляющие скорости в горпзонтальиом и вертпкальиом паправлеикях 8. Волны нл воде '272 О сэ «л С> С:> сь о гл е ) еа .Рис.
55. Траектории частиц жвдкаста в сннусаидальнай волне с длиной Л, распространяющейся слева направо па ваде глубины 5 = О,'гбЛ. Еак и нз рвс. 50, нлвболыаий подъем поверхности састалллет 0,02Л. Мгновенные положения частиц на их эллиптических траекториях паказзкы здесь только для частиц з верхнем ряду, однако частицы, находящиеся на адней и тай же вертикали, движутся с одинаковой фазой. го гйФО сЬ ]Й(х+Ь)] и го 'ЙФО еЬ [Й(х+Ь)] ° (43) Рис. 55 иллюстрирует это приближенное описание линейной теорией движения частиц жидкости в волне длины Л на воде с глубиной Ь = 0,16 Л. Это значение глубины лежит лгежду велико, т. е.
в пределе глубокой воды (ЙЬ велико), за исключением области вблизи дна г =- — Ь (где движение всегда относительно очень мало). В другом предельном случае длинных волн (ЙЬ мало) амплитуда вертикального движения остается малой по сравнению с амплитудой горизонтального движения (как предполагалось в одномерной теории в гл. 2). Их отношение 5]г(Й (х + Ь)] изменяется между 0 и ГЬ(йй) при — Ь < з < О. Эта величгина составляет, например, самое большее 0,41 для волн с Ь =- 0,07 Л, для которых одномерная теория дает скорость волны с ошибкой Зоб, а для более длинных волн погрешность еще меньше.
В каждой фиксированной точке, совсем как для волн на глубокой воде, колебания составляющих скорости (41) и (42) отличаются по фазе на 00'. колебания горизонтальной составляющей дгр!дх отстают на 90' от колебаний вертикальной составляющей дгр/дх (что выражается множителем — 1). В линейной теории те же выражения (41) и (42) записываются для составляющих скорости жидкой частицы, которая может колебаться с малой амплитудой около этой точки. Из этого мы можем, как и в равд.3.2, заключить, что если бы обе алгтвитуды скорости были равны ЙФ, с]г (Й (х + Ь)], то частица должна была бы описывать окружность радиуса ю гйФо сЬ ]Й (х + Ь)). Однако действительное движение частицы с уменьшенной в 1Ь (Й (х + Ь)] раз амплитудой вертикальной составляющей скорости происходит по круговой треактории, сжатой в вертикальном направлении в такое же число раз, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
