Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Это различие значительно уменьшает интенсивность удара на уровне аемли, что уже учитывается в формуле (272) при помощи множителя в квадратных скобках. Вкратце покажем, как зтот аффект можно количественно оценить в случае полета с постоянной скоростью по прямолинейной е, Одномерные нонны о оеидноетзо 246 траектории на высоте х = й. Для лучей в плоскости, проходящей через вту траекторию и составляющей угол ор с вертикалью, направленной внив, высота точки, находящейся на расстоянии г вдоль луча, равна г = Й вЂ” г в1п О сов ор, (280) где Π— угол (279) между лучом и траекторией.
Атмосфера с постоянной скоростью звука со удовлетворяет уравнению — дро = е(ро/о(г = у 'с«одре/с(г (281) что дает (282) ро ехр (удс,"ог) = сопвг. Таким обравом, с помощью (280) получаем Ро(г)/Ро(го) = ехР (Урсов (г — го) в(п О сов ф). (283) Если г, в этом выражении является начальным значением г в дальнем поле источников, так что нри г > го применима геометрическая акустика, то при площади сечения трубки лучей, пропорциональной г, можно заменить уравнение (270) на .4«(г)/.4 о(го) = гlго (284) После этих подстановок уравнение (271), где х = г — го, дает следующее выражение для асимптотической продолжительности фазы сжатия импульса, соаданного самолетом: ор ((у+ 1) Н, ~ вхр ( — — унсо (г — го) в1п О сов ф~ Х ео Хг ' й) /со.
(285) Здесь Н,=го/ Н=го/'(~ ио/г) (286) а эта величина в дальнем поле, согласно линейной теории, не аависит от точного выбора г; действительно, изменение г',/ои описывается, как на ркс. 1, кривой, пропорциональной производной порядка 1/2 от массового расхода (который здесь обусловлен тем, что воздух «расталкивавтсяо в стороны передней частью самолета и аасасывается обратно у его хвоста), а Нов площадь положительного участка этой кривой.
Значение (285) на уровне земли, когда входящая в ату формулу экспонента обычно уменьшается до 0,3, блиако к вначению, полученному ваменой верхнего предела интегрирования на оо. Заметим также, что радиус г может быть ваменен в этом .2.1а. Неяикеаиая ееаяетрикеекая акуетика интеграле на 0 с небольшой потерей точности, потому что величина //с,еге мала по сравнению с 1. С учетом этих двух упрощений получаем 1р [(7+ 1)Н,/ееР/' [2Я/(У//зш0 созф)Р/'. (287) Вводя второе упрощение также и в (272), получим на уровне земли (где г з1п 8 сов~[~ = Ь) х [74 (з[пз 6 соз' ф)/ (2л)] ьи (288) — асиьштотическую величину интенсивности ударной волны, которая бежит впереди импульса сжатия.
За этим импульсом сжатия движется импульс разрежения примерно такой же площади, и оба эти импульса вместе образуют М-волну, включающую две ударные волны интенсивности (288), разделенные интервалом равномерного кадепкя давления длительностью 2/р. Зкспоненциальпый член (в 288) помогает обеспечить значения [1 ниже 0,001 для сверхзвуковых транспортных самолетов ка характерной высоте сверхзвукового полета 17 км. Заметим, что интенсивность звукового удара достигает максимума непосредственно под траекторией полета (где ~р = О) и спадает до половины этого максимального значения там, где ~р = 70', т.
е. примерно на расстоянии 40 нм по обе стороны от траектории. Продолжительность звукового удара 2~р меняется менее заметно, и ее типичная величина составляет около 0,5 с. Чтобы достичь большей точности, могут быть сделаны различные улучшепия приведенного выше приближенного метода расчета. В линейную теорию дальнего поля может быть внесено усовершенствование: распределение точечных источников, связанное с потоком массы от каждой точки траектории полета, который является положительным, когда передняя часть самолета проходит через нее, и отрицательным после этого, можио сочетать с распределением вертикальных диполей, связанных с подъемной силой самолета в воздухе; их дальнее поле имеет направленное распределение, пропорциональное созф, которое (к сожалению) усиливает сигнал в основном вертикально вниз (ф = О). С другой стороны, изменение в певозмущепной скорости звука се (которая падает с 340 м/с на земле до приблизительно 300 и/с ка высоте полета) приводит к полезному уменыпеяию интенсивности звукового удара на землю благодаря возрастанию отношения е'е(х)/е'е(0) в формуле (263).
Зто обусловлено влиянием множителя с „'~з в (246), па которое накладывают- Упраиенения и агаве 2 ся иаменеиия в А -',/' (так как лучипреломляются таким обравом, что происходит уменьшение их углов наклона к горизонту, особенно при малых углах). Упражнения к главе 2 1. Мы видели, что при анализе распространения одномерных воля нет необходимости рассчитывать поперечные движения, так как их энергия слишком мала, чтобы повлиять на распространение.
Тем не менее мы предлагаем читателю попытаться провести такой расчет. В рамках линейной теории распространения длинных волн вдоль открытых каналов (раэд. 2.2) показать, что продольная скорость и удовлетворяет уравнению ди/дг = — ЬЦАе, где Ь вЂ” ширина свободной поверхности и Ае — невозмущенная площадь поперечного сечения воды. Вывести иа этого первое приближение для поперечных сноростей о и ю, испольаун выражения в = дл1/ду и ю = дю/дг; здесь дгфдуг + дгл1/дгг принимает значение Ь",/Ае, не зависящее от у и г, в то время как нормальная проиаводная от Ч1 обращается в нуль на твердой границе поперечного сечения и принимает аначение д12/дг = Ь, не аависящее от у, иа свободной поверхности г = О. Заметим, что зти значения совместны в силу двумерной теоремы о дивергенции (формулы Грина). Показать, что Ф=Ч вЂ” ~г — (Ь~/(ААа)) (уз+ге) является четной функцией г, удовлетворяющей двумерноыу уран- нению Лапласа дгФ/дуг + д'Ф/дгг = О, так что стандартные методы решения двумерного уравнения Лапласа пригодны для нахождения поперечных движений.
Для полукруглого поперечного сечения испольаовать полярные координаты 1 у=гсозВ, г= — гз1пВ (0(г( — Ь, 0(В< я / ) чтобы найти решение в форме Ф= ~э апгзп сов 2пВ, п=1 Получить граничное условие для Ф при г = (1/2)Ь в виде дФ/дг = ~ (з1п  — 2я"1) (О ( В ( я) и показать, что ° г 1 11-зн / а„= — 2Ь ~ — Ь) ~ [яп(4пэ — 1)). ~2 / 249 Упражнения к азээе 2 В заключение воспользоваться тем фактом, что первый член ряда для Ф является главным, чтобы получить очень грубый набросок линий тока поперечного течения при ь ~ О.
У разветвления В однородная труба АВ длиной (, и площадью поперечного сечения А, соединяется с двумя однородными трубами; одна ив них имеет площадь поперечного сечения А, и длину 1„ а друган — площадь А, и длину /б концы обеих труб закрыты. Для звуковых волн в воадухе с постоянными плотностью р, и скоростью авука с найти эффективную проводимость системы У> в сечении А. Покааать, что резонансные частоты ю удовлетворяют уравнению з У, А„гд (ю(„/с) = 0, и=1 когда А — аакрытый конец. Получить также условие резонанса, когда А — открытый конец.
Показать, что для достаточно длинных волн в воде с плотностью ре резервуар, в котором горизонтальная поверхность воды имеет площадь Я, ведет себя подобно ечкости Я(ред). Пусть такой резервуар соединен с открытым морем каналом с постоянными шириной 5 в глубиной Ь.
При приливной частоте ю наблюдается резонанс, несмотря на то что длина капала только (1/4) яю-' (дд)>/>. Доказать, что значение Я близко к дю-> (дд)Чэ. Степов, который представляет собой любое сужение артерии, может, например, быть следствием внешнего давления со стороны какого- нибудь увеличенного органа. Рассмотреть сннусондальную составляющую пульсовой волны, име>ощую частоту ю и волновую скорость с, которая падает на сужение длины д причем ю!/с мало.
Вывести для доли отраженной волновой энергии следующую формулу: (А,/А)з (ю(/с)э 4+ (А >/А) э (ю(/с)э где А, — площадь поперечного сечения сосуда беа сужения и А >/А— среднее значение А,/А в области сужения. Для грубой оценки приливно-отливных движений западную часть Средиаемного моря можно считать сужением (Гибралтарский лролив) эффективной длиной 50 км и плошадью поперечного сечения 4 кме, продолжаю>нимся на восток в виде длинного канала шириной 160 км и площадью поперечного сечения 160 км', который еще дальше на восток достаточно постепенно расширяется, чтобы можно было пренебречь отражением энергии прилива.
Показать, что для этой модели со стороны Средиземного мори амплитуда перепада уровней прилива и отлива с периодом 12,5 часов в Гибралтарском проливе будет примерно в три раза меньше, а время высокой воды наступит,' почти на 2 часа позже, чем со стороны Атлантического океана. Покааать, что дальнейшее уменьшение амплитуды прилива в два раза будет ожидатьсн там, где ширина канала увеличивается 250 Улражненил к левее 3 до 500 км, а площадь поперечного сечения — до 800 кме (около острова Майорка). [Замечание: эта грубая модель поэволяет в первом приближении понять, почему приливы в Среднее««нем море являются столь умеренными, и дает хорошую оценку (5 Х 10' ме/с) амплитуды флуктуаций объемного расхода в проливе, ио она нуждается в уточнении, учитывающем наличие некоторого отражения.
В действительности амвлитуды приливов несколько меньше, а время эапаэдывания значительно меньше.] Распределение площади поперечного сечения А вдоль «экспоненциальногое рупора есть А — Ад ехр (их] (х )~ О) Покааать, что для частот, аначительно меньших пороговой частоты, рупор ведет себл как индуктивность 5 = реп-'А-,', так что его отклик на волну, падающую,со стороны х ( О, является таким же, как отклик суженил длины а-т с постоянным поперечным сечением А,. Показать, что для конического рупора не существует пороговой частоты. Пусть ввуковая волна р, = /(1 — х/е) распространяется вдоль трубы с площадью поперечного сечения А, имеющей постоянное эначение А«при х ~ х«и равной А«х,ехе при х ) хп Покааать, что проходящая волна в коническом рупоре при х ) х«имеет иабыточное давление «-х/е 1 Г1 ре — — х«х- /П вЂ” х/с) — — ех ~ /« /(Т) схр ~ — ехтт(Т «+х/е)" ИТ 2 н найти отраженную волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
