Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Однако ограничим себя относительно слабыми импульсами в смысле разд. 2.11, отчасти чтобы сделать анализ простым, а отчасти чтобы в случаях, когда предсказываемый волновой профиль является многозначным, иметь возмоокность расширения теории с помощью введения разрыва, сохраняющего его площадь. Итак, нам нул;но рассчитать влияние нелинейности на распространение относительно слабого импульса по трубе (или каналу), для которой поперечное сечение А, (х), а также волновая скорость с„(л) и плотность р, (х) содержащейся в ней жидкости в отсутствие воамущеяий меняются постепенно в масштабе длины импульса.
Было бы весьма затруднительно решать эту задачу исходя из полных уравнений движения (2), (3), (4) и (99). Простые физические соображения, использоваяные в начале раад. 2.8 для получения результатов Римана (154) и (155), подсказывают более легкий подход. Идея этого подхода состоит в том, что в локальной системе координат, движущейся со скоростью жидкости и, переменные локально изменяются в соответствии с линейной теорией; эта идея использовалась в равд. 2.8 для вывода уравнений (146) и (147), описывающих локальное поведение. Однако если при отсутствии возмущений физические характеристики жидкости и поперечное сечение испытывают постепенное пространственное изменение, то предсказанное линейной теорией поведение является таким, как описано в равд.
2.6; например, общее выражание для р, по линейной теории есть сумма выражений (91) и (92). Комбинируя это выражение с аналогичным выражением для и (равным в действительности разности выражений (91) и (92), деленной на произведение плотности и скорости эвука), можнополучить результаты, характеризующие отношения изменений различных физических величин вдоль кривых С.ь'. дх = (и + с) Ж и С: с)х = (и — с) ссс, (239) и обобщающие выражения (152) — (155). Однако некоторые осложнения, которые, как можно ожидать, появятся в этом обобщении благодаря зависимости от х невоэмушенпой проводимости А о!(расо), в значительной степени г.
Одкомаркые еоякы а жидкостях будут уменьшены в силу предположения о том, что весь импульс является коротким по сравнению с расстоянием, на котором происходят существенные изменения в Ао, р, и с,. Тогда если импульс распространяется в положительном направлении х, то та часть любой кривой С, которая лежит внутри импульса, остается целиком в области, где А„р, и со могут считаться аффективно постоянными. Это означает, что условием вдоль такой части кривой С можно придать вид (155), соответствующий однородным поперечному сечению и физическим характеристикам жидкости, и что в качестве константы можно взять нуль, как и в (163), потому что кривая С начинается в невозмугценной области перед импульсом.
Тогда соотношение между скоростью жидкости и н избыточным давлением р, принимает тот же самый вид, что н в (103), за исключением того, что аависимости о и с от р, могут меняться с расстоянием, т. е. Ре (240) и(х, 1) .= Р (Ре х) с (Ре х) Значение х в правой части (240) принимается постоянным потому что при интегрировании уравнения с(и = с1р,!Рс вдоль кривой С от точки (х, 1) до области р, =- 0 перед импульсом х меняется слишком мало, чтобы это повлияло на значения р н с.
Значит, локально можно использовать соотношения для простой волны, связывающие скорость жидкости и н избыточное давление р„а, следовательно, также волновую скорость с (р„х), соответствующие однородным поперечному сечению н физическим характеристикам жидкости.
Таким образом, установлен тот факт, что основные свойства распространения простой волны сохраняются, когда физические характеристики жидкости и поперечное сечение изменяются постепенно в масштабе длин импульса, а именяо распространение происходит только в одном направлении в том смысле, что вдоль кривой С распространяется нулевой сигнал и локальные соотношения между различными переменными в простой волне остаются неиаменными. Заметим, что к ним относится выражение для скорости сигнала и+с, т. е. значение ссх)с(с вдоль одной из таких кривых Се, которые переносят сам импульс. Например, для совершенного газа с постоянной удельной теплоемкостью, заключенного в твердую трубу, вдоль которой меняются поперечное сечение и, возможно, невозмущенная температура газа (так что невозмущенная скорость звука с(0, х) =- с, (х) зависит от расстояния), из (240) можно вывести 231 ,2 И.
Нелинейное распространение результат (178), правда в слегка измененной форме: 1 с = со (х) + — (у — 1) и, что дает 2 1 и+с=со(х) — , '— (у+1) и. (241) Те же самые уравнения, но с у = 2, как в (183), будут снраведливыми для открытых каналов шириной Ь (х), постепенно меняющейся, но не зависящей от нодъема уровня воды, если с, (х) есть невозмущенная волновая скорость, равная (аале(х)'Ь (х)]'~', а Л, (х) — постепенно меняющееся невозмущенное поперечное сечение воды. Результаты анализа до этого места, основанные на рассмотрении изменений вдоль кривых С, справедливы для импульса произвольной алсплитуды при условии, что поперечное сечение и физические характеристики жидкости меняются постепенно в масштабе длины импульса.
Однако рассмотрение изменений вдоль кривых Ст требует ограничения сравнительно слабыми импульсаии, если мы хотим получить метод, достаточно простой для введения в теорию нелинейных аффектов. Заметим, что кривая С.„, в отличие от любой кривой С, остается внутри импульса на протяжении больших расстояний, так что изменениями в поперечном сечении и физических характеристиках жидкости пренебречь нельзя. Отметим также, что хотя для ототносительно слабого импульса отклонения скорости сигнала ас + с от предсказываемой линейной теорией скорости волин со (х) могут быть ли|ив незначительными (уравнение (241)), воздействие искажений, вызванных такими малыми отклонениями при распространении на болыпие расстояния, будет, однако, как показано в равд.
2.9, весьма существенным. Далее, проаналиаируем противоположные влияния искан<ающих волновой профиль постепенных изменений физических характеристик н;идкости и поперечного сечения, с одной стороны, и относительно слабых нелинейных аффектов — с другой. Идея о том, что вдоль кривой С~ (следуя за сигналом, движущимся относительно локальной скорости жидкости и с волковой скорстью с) переменные должны локально изменяться в соответствии с линейной теорией, теперь будет использована с учетом того, что распространение, как уже было установлено, происходит только в одном направлении (в положительном направлении оси х). Соответствующее изменение избыточного давления в рамках линейной теории дается уравнением (91): в неизменном виде распространяется вперед не р, само по себе, а величина р,у'с', где проводимость У постепенно изменяется в зависимости от х.
232 л. Однонерныв волны в жидов«тли Для относительно слабых волн представляется вполне оправданным подобное использование приблизительных выводов линейной теории о влиянии постепенных изменений поперечного сечения и физических характеристик жидкости. Двусмысленность здесь отсутствует, т. е. для малых амплитуд зависимость проводимости У от расстояния вдоль трубы илн канала мо»кно считать заданной формулой А о(х): (ро(х)С«(в)) как при отсутствии возмуиевний.
Тогда распределение избыточного давления подчиняется правилу рв(ли(х)Цро(х)со(х)Р1» = сопе1 вдоль Ых = — (и + с)дг, (242) где и связано с р, уравнением (240); это заставляет такое распределение претерпевать на больших расстояниях значительные изменения, обусловленные как искажением волнового профиля, так и влиянием изменения проводимости; но любые модификации, свяаанные с попытками учета «возмущенного» значения У, вызовут лишь сравнительно малые изменения этого распределения. Правило (242), применимость которого эти рассуждения делают правдоподобной, будет подвергнуто дальнейшей проверке на состоятельность в следующем разделе (уравнения (263) — (269)); математически оно может быть потверждено толька как предельный случай значительно более сложной теории, адесь не рассматриваемой.
Довольно просто исследовать, как повлияет на сдвиг волновогопрофиля, рассмотренный в равд. 2.9 при условиях постоянства поперечного сечения и физических характеристик нгидкости, член в квадратных скобках в уравнении (242). Во-первых, нужно решить, следует ли описывать искажения во времени пространственного волнового профиля, рассмотренные в равд. 2.9 с помощью переменных э (уравнение (184)) и Х =- х — с г, нли описывать искажения (в зависимости от расстояния) временного волнового профиля, что было сделано с использованием в, (уравнение (190)) и Х» =-с 'х — и о На самом деле должна быть выбрана вторая возможность: хотя нелинейные эффекты можно описывать общими способами, поперечное сечение и физические характеристики зависят от расстояния и вызывают изменения волнового профиля, зависящие скорее от расстояния, чем от времени; более того, в линейной теории зти изменения были описаны посредством переменной с,'е(х — 3 (уравнение (91)), которая является естественным обобщением Х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
