Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 46
Текст из файла (страница 46)
214 Я. Однольврныв волны в лоиднооюяз Рис. 44. Првмеиевие правила Упзема к волновому профилю, состоящему из едивичяого импульса сяоатия; ва исхоцвои волновом профиле (рис. а) четыре линии, соответствующие различным аиачевиям — т (велкчикы, обратной коэффициенту угла наклона), отсекающие участки равной площади, определяют разрыввме изменения о иа ударной волне в атв четыре разлвчиых момеята времеви с, когда искажения волкового профиля выглядят, как ва ркс.
6. Существование такой хорды СП на исходном волновом профиле, удовлетворяющей этим двум условиям (величина, обратная коэффициенту наклона, есть — 1, а площади упомянутых сегментов равны), служит гарантией того, что спустя время волновой профиль будет содержать ударную волну, в которой и увеличивается скачком от своего значения в точке 0 до своего значения в точке С. Эти условия дают правило Уизема, гласящее, что определенное простое построение, выполненное на исходном волновом профиле, полностью определяет будущую историю образования, роста и затухания слабого скачка внутри волны в ходе ее развития.
Для каждого из последовательных значений 1, бблыпих, чем время формирования ударной волны, нужно провести такую хорду, что величина, обратная ее коэффициенту наклона, равна — 1, а площади двух сегментов, лежащих между этой хордой и исходным профилем по обе стороны от пее, равны между собой; тогда ординаты концов построенной хорды будут указывать значения 1о', между которыми эта величина в ударной волне в момент времени 1 изменится скачком.
На рис. 44, а показано такое построение, выполненное на исходном волновом профиле, состоящем из единичного импульса сжатия; здесь и ивбыточное давление, и избыточная скорость сигнала возрастают до положительного максимума, а затем снова убывают до нуля. Подобная волна совдается, например, поргпнем, вдвигаемым в жидкость на определенное расстояние а.11. Простые волны, содержащие слабые ударные голоы 2е5 и опять останавливаемым. Каждая из,'днагональных прямых с отрицательным наклоном, выделяющая равновеликие сегменты по обе стороны от нее, указывает, каное скачкообразное. изменение и должно произойти спустя время, равное величине, обратной коэффициенту ее наклона с отрицательным знаком. Обратите внимание, как ударная волна, имеющая нулевую интенсивность в момент ее формирования 1, (соответствующий волновой профиль показан на рис. 31), вскоре, однако, становится существенным разрывом, на котором г меняется между своими значениями в точках А н В.
Ударная волна достигает максимальной интенсивности (чему соответствует переход и от С к В) в более позднее время, равное величине, обратной коэффициенту наклона СВ, взятой со знаком минус, а затеи начинает затухатьейдо более слабого разрыва Ег; асимптотическое поведение ударной волны спустя болыпое время 1 определяется хордой СН с очень малым наклоном. Для этих четырех хорд соответствующие волновые профили показаны на рис. 44, в: видно, как ударная волна, первоначально сформировавгпаяся внутри импульса сжатия, начинает продвигаться к его фронту в силу того, что ее скорость превосходит скорость сигнала перед ней, пока эта волна не превратится в головную ударную волну ЕЕ, движущуюся в невозмущенную жидкость впереди остальной части импульса.
Асимптотическое поведение этой головной ударной волны определяется прнравниванием площади под кривой СН (рис. 44, а), которая в пределе есть полная площадь (е под исходным волновым профилем, к площади под хордой СН, которая в точности равна (219) — (ХН) (МС) — — 8 (ХС), так как величина, обратная коэффициенту наклона СН, есть — 1. Избыточная скорость сигнала с„= ХС за головнои ударной волной поэтому удовлетворяет соотношению (220) и, (2(И)м', представляющему собой асиьштотическнй закон затухания ударной волны: интенсивность обратно пропоре1«ональни квадратному корню из времени.
Асимптотически волновой профиль— это узкий треугольник (рис. 44, б), площадь которого постоянна, как требует закон сохранения массы; длина возмущенной зоны МН асимптотнчески равна (221) (2ф)е1г. 2. Одномерные нонны в жидкосгн л а' О Рвс. 45. Асвмвтотичесввй волновой профиль прв Г -и сс для исходного волнового профиля, соответствующего сжатию с последующввг разрежением (рвс. о) является (Ч-волвов (рвс, о).
Хотя масса тем самым сохраняется, полная волновая энергия в импульсе пропорциональна длине (221), умноженной на квадрат амплитуды (220), и поэтому стремится к нулю пропорционально ()з зг Мз; скорость ее уменьшения, следовательно, пропорциональна (()(г)з~з. Конечно, все рассеяние механической энергии в тепло происходит внутри ударной волны, а его скорость определяется увеличением энтропии, пропорциональным кубу интенсивности ударной волны. Тогда увеличение энтропии, согласно (220), будет пропорционально фй)з~з, и подробное вычисление коэффициентов (действительно выполненное ниже в формулах (263) — (269) для значительно более общего случая) показывает точное совпадение между скоростью изменения полной волновой энергии импульса и скоростью диссипации внутри ударной волны как в этом предельном случае (при 2 — ы оо), так и для более ранних времен.
Изучение многих интересных случаев искажения волнового профиля, при котором вовникает более одной ударной волны, здесь ограничивается только одним случаем: исходным волновым профилем, для которого сжатие сменяется последующим разрежением, как на рис. 45. Здесь происходит формирование двух ударных волн, положение и время образования которых соответствует двум точкам перегиба, лежащим на участках с отрицательным наклоном волнового профиля. Правило Уизема показывает, что обе ударные волны возрастают до максимальной интенсивности, а затем начинают затухать; онн становятся соответственно головной ударной волной, как на рис.
44, и хвослговой ударной волной, поднимающей пониженное давление воздуха на хвостовой части импульса до невозмущенного значения. Хвостовая ударная волна со скоростью, промежуточной между невозмущенным аначением со позади нее и уменьшенной скоростью сигнала впереди нее, двюкется постепенно назад 2.11. Простые ввваы, садврасаарсв слабые ддарныв волны 21Т в системе координат, в которой Х = х — евб. Асимптотическая картина представляет собой так называемую Х-волну, содержащую одни треугольный импульс, удовлетворяющий условиям (220) и (221), как на рис. 44 (где',с',> — площадь части исходного волнового профиля, лежащей выше оси Х), н следующий за ним перевернутый импульс длины (2~'1)'>а (где >',>" — площадь части исходного волнового профиля, лежащей ниже осп Х), заканчивающийся хвостовой ударной волной, где э изменяется на величину (2>',)'>г)'>э.
Мы видели, что нелинейные эффекты могут привести к радикальным преобразованиям акустических волновых профилей, при которых участки сжатия переходят в разрывы, а наклон участков разрежения асимптотически стремится к нулю (как 1Й). Эти преобразования упичто кают большую часть информации, характеризующей исходный волновой профиль: в только что приведенном примере асимптотическое поведение зависит только от площадей (> и Ч> его положительной и отрицательной частей.
Хотя эти цримечательпые свойства были установлены для времеппбго искажения пространственного волнового профиля, мы закончим этот раздел, отметив, что существует полностью аналогичная теория, описывающая изменения временного волнового профиля, связанные с положением х. Определяя волновой профиль в этом случае (см. (189) и (190)) как зависимость дефицита э> — величины, обратной скорости сигнала, — от модифицирован>сей временной координатьь, которую запишем как Х„заменив х па г„ь>ожяо определить распространение всех непрерывных частей волны по правилу (уравнение (191)), согласно которому каждый сигнал, несущий частное значение иы двил ется вдоль траектории о>Х„Щ = и>. Снова введение любого разрыва должно согласовываться с законом сохранения массы, который для временнйх волновых профилей требует сохранения полного потока лсасси ~ рис>1 через любое сечение х.
Для слабых ударных волн можно показать, как и выше, что соотношение между локальным потоком массы ри и дефицитом и, (величины, обратной скорости сигнала) с хорошей степенью точности является линейным. Следовательно, любой разрыв может быть введен с помощью процедуры, использующей сохранение площади волнового профиля ~ э„с>Х„в и вся теория этого раздела может быть применена к анализу пространственного искажения временных волновых профилей при условии, что и, Х и Ф всюду заменены на рм Х, и 1, соответственно.
218 д. Одномерные «овны в жидкостях 2.!2. Гидравлические прыжки Теория простых волн, развитая в'равд. 2.9 для оби1его случая продольного распространения волн в однородных трубах или каналах, привела н загадке, которая была разрешена в равд. 2.10 и 2.11 только для частного случая плоских звуковых волн (с помощью теории ударных волн). Хотя во вступительном описании теории нелинейных волн мы не намерены исчерпывающе анализировать все возможные варианты распространения разрывных волн, укажем теперь, как оно происходит в другом частном случае, а именно для длинных волн в открытых каналах постоянной ширины, когда явные соотношения между переменными, описывающими простую волну, задаются уравнениями (181) — (183).
Различные особые свойства и некоторые общие черты, которые характеризуют разрывные волны там, где площадь поперечного сечения жидкости может меняться, будут показаны здесь на примере теории «гидравлического прыжкао — явления, часто встречающегося в естественных потоках и имеющего также практическое значение при проектировании гидравлических сооружений. Обзор атой теории будет дан в порядке, несколько отличном от порядка в равд. 2.10: перед обсуждением механизмов, которые могли бы противостоять дальнейшему искал«ению волнового профиля, нак только появляется нечто блиакое к раарыву, перечислим условия, которым должно удовлетворять продольное двюкение в канале с постоянной шириной при любой разрывной волне. Как и в равд.
2.10, рассмотрим сперва разрывную волну, распространяющуюся в невозмущенную жидкость; такая волна может быть вызвана импульсным вдвиганием поршня в жидкость со скоростью и,. Можно ожидать, исходя из обсуждения в равд. 2.11, что те же самые уравнения, правильно интерпретированные, будут применимы к разрывам, появляющимся внутри непрерывного волнового движения. Разрывная волна, движущаяся со скоростью С в невозмущенную воду с площадью поперечного сечения Ло и плотностью рю пересекает за единицу времени массу жидкости (222) Р«Л «0'. Закон сохранения массы требует, чтобы за разрывной волной зта жидкость выходила в том же самом количестве с оганосительиой скоростью à — и, и с новой площадью поперечного сечения Л„но с неизменившейся плотностью р„поскольку для течений в открытых каналах (равд. 2.2) сжимаемость пренебре- л.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
