Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Подстановка в (198) выражений (197) для (7 и и, дает важный общий аакон Гюгопио, связывающий изменение внутренней энергии поперек ударной волны со значениями давления и плотностп впереди и позади нее: 1 Е~ — Ег= о (Р1+рг)((ро Р1 ) (199) Это уравнение лучше интерпретировать с помощью диаграммы давление — удельный объем (рис. 37), на которой изображены графики завнспмостн давления р от удельного объема Р ' при постоянной энтропии Я. Согласно этой диаграмме, изменение внутренней энергии равно плоигади под прямой, соединяющей точки (Р„', р,) и (р,', р,), которые изображают состояния жидкости впереди н позади ударной волны.
Заметим, что эти точки не могут, как точки А и В, лежать на одной и той же кривой постоянной энтропии, потому что вдоль такой кривой аЕ = — рар ', что дает Е, †.К„в виде в площади ~ рар ' под кривой между А и В. Эта кривая опре- А сы и количества движения дают информацию того же гила, что и линейной теории (равд. 1.1), и ничего более; поэтому для завершения анализа необходимо рассмотрение соответствующих термодинамических принципов, как в равд.
1.2. Поскольку внутри ударной волны диссипативные процессы важны, мы не можем считать, что энтропия сохраняется постоянной для жидкости„пересекаемой волной. Энтропия, согласно второму закону термодинамики, должна возрастать в результате превращения механической энергии в тепло. Тем не менее можно подсчитать баланс полной энергии, включающий как внутреннюю энергию жидкости, так и ее кинетическую энергию. Если внутренняя энергия на единицу массы изменилась с Ег до Е, при пересечении ударной волной, а кинетическая энергия возросла от О до (1!2) и'„то при потоке массы (194) скорость изменения энергии жидкости, пересекаемой единицей площади ударной волны, будет 2.
Одномерные во*на в леиднеетяя Ре рпс. 37. яа диаграмме давление — удельный объем увеличение внутреиией энергии иа ударной волне равно площади под прямой, соединяющей точки, изображающие состояния перед ударной волной и позади иее. Две точки А и В иа одной и той же кривой постоянной аптропии ие могут удовлетворить этому условию. по поворотом прямой АВ вокруг ее средней точки М получим точки С и В, для которых оио вьпюлкеко.
деленно лежит ниже прямой АВ, что означает, что уравнение (199) но может быть удовлетворено: сохранение энтропии поперек ударной волны невозможно. Для того чтобы найти точки С и В, которые удовлетворяют уравнению (199), начнем вращать отрезок АВ по часовой стрелке вокруг его средней точки М, что не изменит правую часть (199), но будет быстро увеличивать левую часть, так как Еь возрастет на величину изменения энергии при постоянном объеме с возрастанием энтропии между А и С, в то время как Е, уменыпится на величину, связанную с уменыпением энтропии между В н В.
Вращение в эту сторону, таким образом, будет монотонно увеличивать Е, — Ез, пока упомянутая нехватка (площадь между кривой АВ и прямой АВ) не скомпенснруется. Этот способ получения решения (199) подтверждает, что энтропия на единицу массы Я для любой ударной волны больше со стороны высокого давления, чем со стороны низкого давления.
Другими словами, разрывные волны, приводящие 20$ 2.10. Ударные ва«ны И (и+ с)В(р =. — р«с«й«р 'ч'йр». 1 2 (200) Это значит, что жидкости, в которых только волны сн«атия могут увеличивать свою крутизну, образуя разрывы, являются жидкостями, в которых только разрывы, создающие сжатие, могут удовлетворять второму закону термодинамики. Для важного частного случая совершенного газа с постоянной удельной теплоемкостью с„, и поэтому с постоянной вели- чиной (201) у = (В + с,)1св, уравнение Гюгонио (199) может быть решено явно. В совершенном газе (равд.
1.2) изменение внутренней энергии Е, — В, зависит только от изменения температуры р((Вр), что при постоянной теплоемкости с, = (у — 1) 'В дает В« — Во =- св (Р~7(Врз) — Р«7(Вр«)) = = (у — 1) ' (р«р,~г — р«р '). (202) С использованием интенсивности ударной волны, определяемой как относительное увеличение давления Р = (Р« — Р«)РР« (203) к росту давления, подчиняются второму закону термодинамики и могут быть названы «ударными волнами». Наоборот, разрывные волны, приводящие к падению давления, скажем от С до Р, хотя они также удовлетворяют уравнению Гюгонио (199), никогда не могут появиться, потому что это означало бы уменьшение энтропии.
Однако невозможность таких волн не вызывает удивления, так как мы знаем, что только волны сжатия (с увеличивающимся р) проявляют стремление к увеличению крутизны и, следовательно, к образованию ударной волны! Любые случайно возникшие разрывы, давление на которых мгновенно падает, сглаживаются, превращаясь в непрерывные. возмущения (рис. 34), На самом деле предположение, использованное для доказательства того, что скорость сигнала и + с в простой волне возрастает с Ростом р, не есть необходимое следствие термодинамических законов, но, по-видимому, является для жидкости общим правилом. Кроме того, оно в точности эквивалентно предположению, использованному выше при анализе рис, 37, а именно, что кривая постоянной энтропии в координатах (р ', р) вогнута вверх (с(«р ','ар» ) О).
Эта эквивалентность следует из уравнений аи = с(р/(рс) и ар =-- с«ар для простой волны, из которых может быть показано, что 202 2. Одномерные волны в жидкостях уравнения (199) и (202) могут быть разрешены для отношения плотностей, что дает Рт/оо = [27 + (у + 1) [)]/[27 + (у — 1) Я (204) — простое соотношение между точками, подобными С и П на рис.
37. Тогда уравнения (197) дают выражения — — -- (1+ с,~ [)) — '= — ~ (1+ ~) (205) для скорости ударной волны (/ (которая, как и предполагалось, оказывается всегда больше, чем невозмущенная скорость звука с,) и для скорости жидкости и, аа ударной волной. Скорость звука с, за ударной волной удовлетворяет соотношениям ( — )- =1 с, )2 рс/рс 27+(т — 1) [) со / ] рв/ро ( +с) 2т-' (7+1) [)' (206) где первое выражение интересно потому, что оно представляет собой также отношение температур Т,/Т, при переходе через ударную волну, а второе выражение может быть интерпретировано как локальное число Маха для движения жидкости за ударной волной.
Мы видим, что ударные волны существуют для любой положительной интенсивности р и что все приведенные выше соотношения являются возрастающими функциями Р. При р — оо отношение плотностей Р,/Ро и число Маха и,/с, асимптотически стремятся к (у + 1)/(у — 1) и (2/[у(у — 1)])М' соответственно, в то время как остальные отношения возрастают неограниченно.
Все эти отношения изображены на рис. 38 для атмосферного воздуха с у = 1,40; зги графики являются хорошими приближенными зависимостями для ударной волны при условии, что температуры Т, н Т, перед ударной волной и за ней обе леясат в области от 100 К до приблизительно 1000К. При зтих условиях рис. 38 или соответствующий график, построенный по закону Гюгонио (199) для других условий или других жидкостей, дает знать слегка упрощенное описание всего движения жидкости, вызванного импульсным движением поршня со скоростью и, в невозмущенную жидкость (ее состояние обозначается индексом нуль).
Это позволяет сразу найти интенсивность УДаРной волны Р = (Р, — Р„)/Ро чеРез заДанное значение и,/со, после чего скорость ударной волны с/ и значения плотности и температуры между поршнем и ударной волной могут быть немедленно определены. На рис. 38 показа- 2.10. Ударвсыв волны 203 Р~/Рв О/с, т,/т, л,/с, с,/с, и,/с, о ! 2 5 4 5 6 7 8 З 1О и 12 15 14 15 Рис. 38. Для ударной волны с иятеисивпостью 8, движущейся в первоначально иевозмущеииом совершенном газе с отяошеииеи удельных теплоемкостей 1,40, изображены в дпапазоие 0 ( ( р ( 15 следующие бевразмериые величины: скорость волны // и изменение некоторых функций при переходе через ударную волну (скорость жидкости изменяется от 0 до ип плотность — от рв до р„температура — от Тв до Т, и скорость звука— от св до сг).
но, в частности, что внезапньге двигкения поршня со скоростями, сравнимыми с сз или большими, тормозятся чрезвычайно большими избыточными давлениями и вызывают очень высокис температуры воздуха. Основное упрощение в этой картине — отсутствие какой- либо оценки толщины ударной волны. Мы закончим этот раздел описанием того, как может быть оценена толщина хотя бы слабой ударной волны, Важный ключ дается законом Гюгонио (199), который определяет прямуго линию, соединяющую начальное и конечное состояния на диаграмме давление — удельный объем (рис. 37). Дальнейшее рассмотрение показывает, что эта линия имеет и болыпую важность, как график зависимости продольного сжимающего напряжения ры от удельного объема р " поперек ударной волны. Чтобы увидеть это, мы рассмотрим плоскость, движущуюся внутри ударной волны, на которой плотность все время имеет некоторое частное значение р; пусть продольное напряжение на этой плоскости будет ры, а скорость жидкости и.
Тогда законы сохрапения массы и количества движения для исидкости, пересекаемой со скоростью Е~ ударной вол- х. Однвмврннв ввлнн в жидкввн>кх ной, приводят к тем же уравнениям (195) и (196) для жидкости, проходящей через эту плоскость, если заменить в этих уравнениях р„р, и и, на р, рм и и; как и прежде, они дают первое из уравнений (197), которое в виде р — р. = р'(7з(р.' — р ') является вышеупомянутым линейным соотношением между рм и р ' внутри ударной волны. Значит, зависимость продольного напряжения в ударной волне от р ' представляется прямой линией, тогда как (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
