Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. р, со временем увеличивается), упомянутая вьппе загадка приобретает следующий вид: что же произойдет, когда отрицательный коэффициент наклона станет бесконечным? Искажение простых волн самого общего вида, которые не обяаательно удовлетворяют (179), оказывается равномерным сдвигом, если теперь переопределить «волновой профиль» как график аависимости о от Х.
Здесь скорость и постоянна (потому что и и с сами постоянны) вдоль линий С», удовлетворяющих уравнению ЫХ!й = т Таким образом, в любой простой волне, рассматриваемой в этой системе координат (движущейся со скоростью е,), переменная о удовлетворяет замечательному УРавнению ди/д1+ одо/дХ = () (186) которое устанавливает, что сигналы, несущие значение и, перемещаются со скоростью о. На рис. 31 показано, что при этом любой волновой профиль имеет единичную скорость сдвига: спустя время 1 данное аначение о находится в точке, смещенной на расстояние И вправо, в то время как большее значение о + бо окааывается на (о + + бо) 1 правее своего первоначального положения, и, следовательно, его расстояние бХ от предыдущей точки увеличиваетея на (бо) 1.
Это означает, что величина 6Х/бо, обратная коаубусициенту наклона волнового профиля, для данного и увеличивается е единичной скоростью во времени — важный реаультат, к которому можно прийти другим путем, дифференцируя (186) З. Однолмрныв волна в жидковвгвх по Х и получая (д/де + од/дХ) ((до/дХ) Ч = 1. (187) Отсюда довольно неожиданно следует, что любое отрицательпое значение величины, обратной коэффициенту наклона, должно за некоторое конечное время возрасти до нуля, что будет соответствовать бесконечному коэффициенту наклона. Это произойдет впервые для данного волнового профиля спустя время Гв = п1ш ( — (до/дХ) 1), (188) и остается загадкой, что может произойти после атого момента времени; здесь, опять же, эта загадка лишь отмечается. Искажение волнового профиля рассматривалось выше как изменение пространственного распределения в зависимости от времени, "такое описание особенно удобно для задачи с начальными условиями, вроде аадачи равд.
2.8. Для некоторых задач с граничными условиями, таких, как на рис. 28, а и б, искажение более удобно рассматривать как изменение временного распределения (напрнмер, заданного на открытом конце) в зависимости от расстояния~ х вдоль трубы. Это требует испольаования не движущейся пространственной координаты (185), зависящей от времени, а временной координаты, изменяющейся в зависимости от полоягения со скоростью, равной величине, обратной скорости сигнала. В самом деле, теория, как и прежде, будет иллюстрироваться посредством рис.
31, если волновой профиль рассматривать как график зависимости от модифицированной временной координаты (189) Х, — с,х — г дефицита обратной, скорости сигнала (190) о = с.' — (и+ ) ' (а не избыточной скорости сигнала о). Очевидно, что величина о, является постоянной вдоль линии С+, для которой, после замены переменной х на 1„уравнение (189) дает дХг/де~ = св — М!Ых = с,, + (и + с) = и„(191) так что н закон искажения волнового профиля, проиллюстрированный на рис. 31, и уравнения (186) — (188) будут полностью применимы, если каждой переменной приписать индекс 1. В частности, уравнение (188) тогда дает расстояние вдоль тру- з.10.
Удармыв саами бы, при котором впервые возникает загадка о временнбм волновом профиле с бесконечным коэффициентом наклона. 11ри возбуждении смещением (граничные условия поставлены и не для фиксированного времени, и не для фиксированного положения, а на движущемся поршне) задачу о том, как искажается однажды возникший волновой профиль, можно рассматривать с обеих точек зрения. С другой стороны, можно применять уравнение (173), описывающее приращение массы между двумя соседними линиями С~, из которого следует, что две такие кривые впервые встретятся (что приводит к бесконечному коэффициенту наклона волнового профиля) в момент, когда (173) впервые обратится в нуль, а именно при 1= ш[п(д [р(с) А (т) с (т) т)7д [р (т) А (с) с (т)[).
(192) Во всех этих задачах анализ вплоть до того момента, когда линии С+ впервые встретятся, как мы видели, довольно понятен, однако концептуальные трудности продолжения его за этот момент представляются весьма значительными и должны быть подробно исследованы в следующих разделах. 2.Ю. Ударные вопны Волее глубокое исследование, необходимое, чтобы разрешить вопрос, отмеченный в равд.
2.9, предлагается сначала для плоских звуковых волн, возбуждаемых простым движением поршня. Распространение анализа на более общие способы возбуждения и более общие типы продольных волн в жидкостях будет проведено соответственно в равд. 2.11 и 2.12. На рис. 28, в изображено, каким образом поршень, имеющий первоначально положительную з-составляющую ускорения (направленную к жидкости), порождает звуковые волны, в которых более поздние сигналы, несущие более высокие избыточные давления, стремятся перегнать более ранние сигналы.
Соответствующее искажение пространственного волнового профиля показано на рис. 31 вплоть до того момента времени (определяемого равенством (188)), когда сигналы впервые окажутся в одной точке и градиент станет бесконечным. Однако та же теория сдвигового искажения волнового профиля предсказывает в последующие моменты невозможный волновой профиль (рис. 32), для которого существуют три равных значения избыточной скорости сигнала для любого положения внутри определенного пространственного интервала (см.
точки А, В, С на кривой при Х = Х, или точки В, Е, Р при Х = Ха). В равд. 2Л1 исследуется, что действительно произойдет в вти 192 2. Одномврнив волны в лвидновлвлх к,к, Рис. 32. Волновой профиль, полученный в результате продолжевия графика рис. 31 иа более поздвее время 1 = (3)2) ап физическая кевозмовкиость такого волнового профиля связана с наличием трех различных значений А, В и С для о при Х = Х, или трех зиачеилй П, Е и Р для о при Х =- Х,. последующие момепты времени; при атом используются выводы из анализа более простого случая, проведенного в етом разделе. Указанные трудности отсутствуют только в случае порпгпя, у которого х-составляющая ускорения всегда ( О (рис. 33).
Здесь более поздние сигналы слабее, чем оолее ранние, так что не может произойти их взаимодействие. Иитереспым особым случаем является импульсное движение порщпя из жидкости, при котором поршень имеет пулевое ускорение, кроме очень Рис. ЗЗ. Простая волна, выаваииая лоршяем, ускорение которого отри- цательио (иалравлеио ив примыкающей жидкости). 493 з.10.
Ударзьы волны в рис. 34. центрированная простая волна, вызванная внезапным движениеи поршня иа примыкающей жидкости: а — линии Ст; С— начальный волновой профиль; « — волновой профиль в момент времени К укааанный также пунктирной линией на рис. а. Штриховая линия; другой способ иаображения вотнового профиля в момент времени С как функции от Х вЂ” — з — с«н краткого интервала времени, когда его скорость в отрицательном л-направлении увеличивается чрезвычайно быстро (рис.
34). В течение этого короткого интервала он посылает веер сигналов с быстро уменьшающимися скоростями по существу из одной и той же точки. Такая «центрированная простая волна» изображена па рис. 34 для воздуха (у = 1,40); здесь же (как и на рнс. 30) приведены соответствующие пространственные волновые профили для моментов времени 0 и и Первоначально Разрывный волновой профиль становится значительно менее крутым в момент времени 1; сигнал, несущий разрежение, затем «з-оыоо 194 Л, Одномерные кокни е жидкоотнк бежит в неподвижной системе отсчета направо (сплошная линия), хотя в системе, движущейся с невозмущенпой скоростью звука (штриховая линия), сдвиг на расстояние (1/2) (у -~ч 1) иг смещает сигналы, несущие отрицательные значения и, влево, Резкий контраст выполаживанию крутых участков волнового профиля в волнах разрежения (рис.
33 и 34) представляет собой предсказанное для волн сгкатия увеличение крутизны, показанное на рис. 31, которое приводит спустя нонечное время к невозможному волновому профилю (рис. 32). В особом случае, аналогичном показанному на рис. 34, невозможная ситуация возникает немедленно (рис. 35): внезапное движение порптня в жидкость посылает опять по существу из одной точки веер сигналов с быстро уееличиоаюо/имиол скоростями. Ояи сразу же перегоняют друг друга, и сразу же сдвиг порождает невозможный волновой профиль (рис. 35), поскольку то, что непосредственно этому предшествует для волновых профилей общего вида, а именно бесконечный наклон, показанный на рис.
31, порождается с самого начала подобным импульсным двия'ением поршня. Теперь рассмотрим, какие особенности реальных плоских звуковых волн предотвращают эти невозможные деформации волновых профилей в общем случае, а затем исследуем, принимая во внимание эти особенности, реальную волну, порожденную иголульоным движением поршня в жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
