Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Приравняв эту сину (120) плотности, умногкенной на ускореяие, т. е. р ди/д1 (121) (где любое конвективное ускорение тождественно равно нулю, потому что и не зависит от х), получим уравнение второго порядка «диффузионного» типа с коэффициентом диффузии (117)— уравнение, подходящее для согласования условий и=О при г=О (122) на твердой стенке с певозмущенным состоянием двюкения, наблюдаемым при больших полохгительпых г. Хотя полученное таким образом уравнение легко решить для любой зависимости др,/дх от времени вблизи нулевого значения, но соответствующие выводы (как и прочие в этой главе) можно выразить наиболее яспо с помощью той формы, которую опи принимают, когда др,/дх пропорционально ехр (гог1), как предполагалось вначале; другие зависимости можно исследовать затем методом Фурье. Прп этих обстоятельствах скорость и, определяемая приравниванием выражений (120) и (121), также изменяется как ехр (гоге) и удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами р дги/дгг — ргеси = др,/дх.
(123) Его решение, удовлетворяющее граничному условию (122), имеет вид и = (ргю) ' ( — др,/дх) (1 — ехр ( — г (еео/т)гlг)), (124) х.т. Ос*ааление сиены еа счет трения где может присутствовать акспонента от минус з (сса/ч)пх, так как при больших положительных г атот член становится пренебрежимо малым и, следовательно, решение (124) стремится к внешнему-безвихревому решению пел (Рею) ( дре/дл)1 (125) однако никакой член, содержащий со знаком плюс в показателе экспоненты эту величину г (ею/ч)ч~х, имеющую положительную действительную часть, не может присутствовать в решении, потому что его величина будет неограниченно возрастать при Множитель в фигурпых скобках в (124), которым, как обнаружил Стоке, решение внутри пограничного слоя отличается от колебательного безвихревого решения (125), изображен как функция г (ю/ч)П' на рис.
25. Его действительная часть (сплошная линия) описывает колебания скорости, сивфазные колебаниям внешнего течения: заметим, что эта величина меньше 1 во внутренней части пограничного слоя, где з (са/ч)'~х ( 2,2, но слегка превосходит 1 (не более чем на 7%) во гьчшней его части. Толщину пограничного слоя можно произвольно определить выражением 5 (ч/се)'/' (126) как толщину слоя, вне которого эта действительная част отличается от 1 не более чем на 3%; множитель 5 в (126) уменыпился бы примерно до 2, если допустимое отклонение увеличить до 7а/а (при этом внешняя часть слоя окажется исключенной).
Тем не менее толщина пограничного слоя, как бы ни была она определена, изменяется как (ч/ю)ых, что ясно из равенства (124) и что можно ожидать по тем соображениям, что твердая граница генерирует завихренность, которая днффундирует от нее (см. (117)) с коэффициентом диффузии ч на расстояние порядка (ч/са)х/х эа время порядка 1/се, связанное с периодом колебания напряженности источника завихренности. Действительно, можно показать, что значение этой напряженности источника завихренности на плоской стенке есть ( — др,/дх), а по фазе она опережает на 90' фазу внешнего безвихревого движения (125) и, следовательно, фаау движения, представленного сплошной ливией на рис. 25. Завихренность, представляемая производной от атой сплошной линии, соответственно максимальна около стенки, где она генерируется с положительным знаком за полупериод, но падает до малых отрицательных значений в области з (со/ч)'~х ) 3,3, где все еще преобладает влия- 166 2.
Одномерные возни в неидноетах бе О,В 0,5 0,4 0,2 ! 3 5 4 5 г(ш)щн' Ряс. 25. Пограничный слой Стокса: колебательное движение, параллельное твердой стенке, зпдопзмепеяо яа малых расстояниях з от стенки за счет множителя, содержащегося з фигурных скобках з уравнении (124), действительная я мнимая части которого изображены соответственно оялоппшй линией (с асямптотой 1, пупптпряая линия) я штриховой линией. ние завихренпостя противоположного знака, выработанной в течение предыдущего колупериода. Штриховая линия па рис. 25, будучи мнимой частью множителя в фигурных скобках из (124), представляет собой часть ипдуцироваппой внешним решеяием (125) скорости в пограничном слое, находящуюся в фазе с силой давления ( — др,(дх).
Такая сипфазпая силе составляющая скорости мелеет возникнуть там, где сила уравновешена вязким сопротивлением, зависящим от мгновенной скорости, а не зреантивнойз (зависящей от ускорения) силой инерции, которая вызывает отставание по фазе па 90' в (125). Соответствующая эавихренпость (производная от штриховой линии), находясь в фазе с напряженностью источника аавихреппости, положительна вблизи стенки, где опа генерируется с положительным знаком в течение четверти периода, по влияние генерации с отрицательным акаком в течение предыдущего полупериода создает область отрицательной завихренпости, расположенную ближе к стенке, чем в случае сплошной ливии, а аавихренпость в этой области сильнее.
167 г.7. Осваеленш воанк ва стем трекия Мы отмечали в предыдущих разделах важность отклика объемного расхода на колебания избыточного давления. Пограничный слой Стокса (124) вызывает дефицит объемного расхода, отнесенного к единице ширины стенки, по отношению к объемному расходу в безвихревом двихгении, равный О ~ (их — и) с/г=(рис) ' ( — др,/дх) (ч/1в) г (127) о где интегрирование проводится от 0 до оо, но подинтегральное выражение, конечно, равно нулю вне пограничного слоя. Последний множитель в (127) таков (поскольку = (1 — 1) 2 М'), что его действительная и мнимая части, соответствующие сплошной и штриховой линиям на рис.
25, вносят количественно равные вклады в дефицит объемного расхода'. дефицит в фазе с и, (алгебраическая сумма площадей, заключенных между сплошной и пунктирной линиями, причем площадь над последней берется со знаком минус) равен дефициту, который отстает но фазе на 90' от и, (площади между осью абсцисс и штриховой линией). Величина (127), будучи умножена на о, становится дефицитом количества движения жидкости на единицу площади стенки, скорость изменения которого (128) ( — др,/дх) (т/гю)ие должна отвечать вязкой замедляющей силе, отнесенной к единице площади твердой стенки (в отличие от силы давления ( — др,/дх), действующей на единичный объем жидкости), Значит, (128) является составляющей ( — р„,),, вязкого касательного напряжения; ее вычисление из (118) и (124) дает тот же результат.
Тот факт, что компонента вязкой замедляющей силы (128), находящаяся в фазе с силой давления, равна компоненте, отстающей на 90', отражен на рис. 25: сплошная и штриховая линии имеют одинаковый наклон в начале координат. Однако сила давления ( — др,/дх), действугощая на единицу объема, может совершать работу только потому, что скорость жидкости в пограничном слое содержит составляющую в фазе с ней (штриховая линия на рис. 25). Интеграл от этой составляющей по г находится из (127) в виде) (129) (рю) ' ( — др,/дх) (т/(2ю))ыг, так как действительная часть — 1 г/г есть 2 '/г. Соответственно средняя мощность, передаваемая жидкости на единицу пло- 2.
Одномерные сеяны в жидкостях щади твердой границы, есть — (рв) ' [дре/дх [г(т/(2в)) (130) что должно равняться средней скорости диссипации энергии за счет вязкости на единицу площади пограничного слоя, так как средняя энергия жидкости не меняется. Выведенную формулу (130) для средней энергии диссипации в единицу времени на единицу площади можно получить иначе из (124) интегрированием поперек пограничного слоя средней скорости диссипапии энергии в единичном объеме —.
[г [ди/дг [з= — (рв) '[ д/г,/дх [Я1ехр [ — з (2в/т) ~ ). (131) Результаты, даваемые выражениями (127) для дефицита объемного расхода и (130) для диссипации энергии, которые были здесь выведены точно при определенных упрощающих предположениях (в частности, неподвижная плоская стенка и постоянный по пространству градиент давления), можно применять с хорошей степенью приближения к колебательным движениям довольно общего вида в трубах и каналах. При условии, что твердые границы поперечных сечений имеют радиусы кривизны, большие по сравнению с толщиной расчетного пограничного слоя, его свойства будут подобны свойствам кограничного слоя на плоской стенке (более подробное обсуждение можно найти в курсах по теории пограничного слоя; заметим, что осевая неравномерность градиента давления в масштабе длины волны должна оказывать еще меньшее влияние).
Приведенные выше уравнения можно использовать в качестве приближенных, если координату з рассматривать как расстояние гео нормали от твердой границы даже тогда, когда эта граница колеблется. В частности, тогда скорость диссипации энергии на единицу площади твердой границы равна приблизительно (130), или, на единицу длины трубы, — д(рв) ' [ дре/дх Р (т/(2в))Ы (132) где а — твердая часть периметра поперечного сечения (периметр при исключении всякой свободной поверхности). Аналогично, линеаризованный объемный расход равен ,/ = (ргв), ';( — дре/дх) [Ае — д (т/(гв))ггз), (133) где в квадратных скобках иа члена Ас, появляющегося в результате интегрирования скорости беавихревого движения 169 э.7.
Оеааб*енае еаеяв еа счет трезва по площади поперечного сечения, вычитается член, соответствующий «площади вытеснения», полученный умножением периметра г на (127), т. е. на дефицит объемного расхода, приходящийся на единицу ширины. Для движений с частотой сс уравнение (133) моя«но записать как видоизмененную форму уравнения (105) следующим образом: де/дс = -сандр,/дх И вЂ” (т((/в))'(» (э/Ае)]. (134) Действительная часть множителя в квадратных скобках представляет эффективную инерцию, увеличившуюся эа счет дефицита объемного расхода, в то время нан мнимая часть представляет тормозящее действие трения на стенке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
