Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом разделе мы найдем их близкие аналоги, укажем, как можно проаналиаировать системы с такими элементами, и исследуем условия резонанса, в некоторых случаях аналогичные условиям «колебательного контура». Однако прежде всего мы укажем, как полученное в разд.
2.3 правило вычисления потока энергии в виде проводимости, умноженной на квадрат избыточного давления, должно быть изменено, когда проводимости комплексные. Конечно, любое 145 в.а. Помосты, суыаеныа, резонаторы комплексное выражение, подобное р,еым или Ур,еом для избыточного давления или связанного с ним объемного расхода, означает, что следует взять действительную часть, а именно — (р,е'"'+Р,е-'"') или — (Урвав"'+ Ур,е-'"') (64) соответственно, где черта обозначает комплексное сопряжение. Поток энергии, т. е.
произведение двух выражений в (64), включает независимый от времени член 4 (1 +1 ) Р1Р~ =("'~ ) (2! Р1!'~ (65) (где Я обозначает действительную часть), который является его средни.ы значением, потому что оставшаяся часть выражения для потока энергии осциллирует с частотой 2ю.
Вычисляя аналогично среднее от квадрата избыточного давления, равное величине в фигурных скобках в (65), мы выводим видоизмененное правило: У = Сюоэ. (67) Отметим, что действительная часть (66) атой проводимости У равна нулю: избыточное давление и объемный расход жидкости, втекающей в полость, смещены на 90' по фазе, так что средний поток энергии в полость равен пулю и средняя энергия в этой полости сохраняется неизменной, если, конечно, пренебречь диссипацией. ~о-э1ввв Средний поток энергии Среднее квадрата избыточного давлвныя( таким образом, только 'дейстеигнельная часть ЯУ комплексной проводимости связана с любой усредненной передачей энергии.
В теории электричества емкость С определяется как заряд, накапливаемый системой при увеличении потенциала на единицу. Флуктуация потенциала Г|е'ы' вызывает флуктуацию накапливаемого заряда Су,е'ы' и соответствующего тока (скорости изменения заряда) С~сэр,ем"', откуда следует, что проводимость У == С~оа. Аналогично в системах, проводящих одномерные волны, полость могла бы принять дополнительную жидкость, когда давление воарастает. Если полость компактна, так что изменения давления повсюду в полости находятся в фазе, то ее емкость С может быть определена как объем избыточной жидкости, которую она принимает при увеличении давления на единицу.
Тогда флуктуация давления р,е' ' приводит к объемному потоку в полость о (Ср,еэм)Я8, что дает проводимость с. Оономернае волна в ясидкостяк Если в" — объем жидкости, заполняющей полость в невозмущенном состоянии, то С/'о' представляет собой относительное увеличение количества жидкости в полости на единицу увеличения давления. Как и в уравнении (10), зту величину можно записать как сумму сжимаемости жидкости К и растяжимости полости Й С/в' =- К + П (68) Только последнее слагаемое увеличивает фактический объем полости (па величину ело' на единицу увеличеяия давления); но скимаемость уменьшает объем, занимаемый уже содержащейся в полости жидкостью (на величину КГ на единицу увеличения давления), что также позволяет принять дополннтельн ую жидкость.
Другая формула для емкости полости С = ~'р,-'с-о (69) подсказывается уравнением (10), хотя опо, строго говоря, имеет смысл только для труб. Мы допускаем полости самон проиаеольной формы; тогда уравнение (69) будет справедливо, только если с понимать как скорость волны в трубе, имеющей ту же растяжимость П и содержащей жидкость с той же сжимаемо- стью К и невоэмущенной плотностью оо.
В частности, формула (69) справедлива для звуковых волн в жестких полостях (при этом с равна скорости звука) или для длинных волн на поверхности воды в резервуаре (где со/я равно средней глубине й) при условии, что все полости компактны. Отметим также, что если на самом деле полость является трубой АВ с закрытым концом В, то формула (69) может быть получена иным путем иэ (61).
Считая проводимость УУ„в В пулем, а ю//с, — малой н=э величиной,получим эффективную проводимость в А в виде еУ, Фя (ю|/с,) 1(Ае/(р,с,)) (ю//с,) = С/ю, (70) где С принимает вид (69), если в качестве о' взять объем трубы А,/. Рассмотрим более общий случай. Пусть на рис. 22 (где АВ к по-прененему компактна) нроводимость,е' в В не совсем на З нуль, как для закрытого конца, однако достаточно мала по сравнениго с ее„чтобы пренебречь вторым членом в знаменателе (61) как произведением малых величин. Тогда У;н = ~ У„+Сеео, (71) ое В 147 Л.о. Полости, сужении, рееоиатори в точности так, как если бы труба У $ действовала аналогично полости с проводимостью С(в, подсоединенной параллельно с трубами о% 2, ..., Ае.
Действительно, компактная полость любой формы, непосредственно предшествующая разветвлению, действует как дополнительная проводимость С(в, подсоединенная параллельно, и, следовательно, она прибавляется к проводимостям труб, образующих разветвление, потому что флуктуации давления находятся в фазе по всей полости, в то время как объем дополнительной жидкости, втекающей в полость, есть сумма соответствующих объемов жидкости, накапливаемой в полости и той, которую проводят ветви. Атеросклероз — болезнь, при которой аорта становится менее растяжимой и позтому может вместить объем крови, выталкиваемый при каждом ударе, только если сердцем создается значительно более высокое давление.
В атом случае нагрузка на сердце может быть уменьшена с помощью протеаа, который аффективно добавляет параллельно к аорте, имеющей чрезвычайно низкую проводимость, полость с болыпой мнимой проводимостью С( в; например (если это иммунологически приемлемо), с помощью наполненного газом баллона, помещенного в грудном отделе аорты, который освобождает место для значительного избытка крови, сплющиваясь нри увеличении давления. Уравнение (61) может быть полезным также в противоположном случае, когда А — труба (не обязательно компактная), заканчивающаяся в В компактной выпуклой полостью (где, следовательно, 2, У„= С(в); тогда эффективная проводимость с=а в А дается формулой уея,у 1е («орсе)+ (Св/~е) .у.
1 ( ео (е+ 1 ) ~ (72) ' 1 — (Св/1 е) «е (ик/с,) е ~ ( с где (73) /о = (с,/в) агс 1д (Св/У,). В выра»кении (72) У,'»е приравнено к значению, которое соответствует проводимости прямой трубы с увеличенной длиной 1+ (о и закрыл»ыи концом; значит, добавление полости равносильно увеличению длины трубы на 1».
«Эффективная длина» (о не обязана удовлетворять условию компактности, даже когда для самой полости оно выполняется; например, если значения р и с в полости равны аначениям р» и с„которые они имеют в трубе, то величина Св/У, в (73) есть (Ув/(р,с,'))/(А»/(р,с,)) = (в/с,) (У/А,), (74) 1»* Г. Одномервые волна в жидкостлл что не обязательно мало, поскольку шарообразная полость объема Г может быть компактна и без компактности отношения У/А, ее объема к площади поперечного сечения трубы.
Действие полости равносильно изменению фазы отраженного сигнала, который, согласно (47), принимает вид д (Е) = 7 (К) (У, — С~о)!(), + Сио), (75) и, стало быть, его можно записать как д (г) = ) (г) ехр ( — 2М(з1с,), (76) где (а дается выражением (73). Такая форма ааписи соответствует полоягительному отражению без изменения амплитуды (и, следовательно, несущему в обратном направлении весь поток энергии), но с задержкой на время 2(,!с„т. е. на время, необходимое волне, чтобы пройти по трубе дополнительное расстояние (а и вернуться назад. Электрические воздействия, во многом противоположные воздействиям емкости, вызываются сосредоточенным элементом, представляющим собой индукгпивсопль Л, определяемую как магнитный поток через контур, деленный на единичный ток в нем, Ток, изменяющийся как ~',е'н', вызывает изменяющийся магнитный поток Ь|1е'~" и, следовательно, по закону Фарадея, избыточный потенциал, равный скорости наменения магнитного потока Иву,е'"', что дает чисто мнимую проводимость (Юю) ' с отрицательной мнимой частью, обратно пропорциональной в.
Аналогично, для одномерных волн узкое отверстие или сужение трубы требует иабыточных давлений, необходимых для создания ускорений, если объемный расход через сужение предполагается флуктуирующим. Рис. 23, а иллюстрирует компактное сужение АВ: его индуктивность Ь может быть определена как невозмущенная плотность р„умноженная на разность ~рв — ~рл потенциалов скорости в А и В и деленная на объемный расход от А к В. Если этот объемный расход флуктуирует как У,е'~', то р, (рв — ~рл) = Ь|,е'"' и, следовательно, рл — рв=Е1~оХ,е'"', (77) отсюда проводимость равна (Иа) '.
(78) Компактность сужения обеспечивает непрерывность объемного расхода через него, согласно уравнению (39) и следующим ла ним рассуждениям, убедительность которых в данном случае даже увеличивается, потому что в суженном сочленении длины ( 2.Е. Полости, сужения, резонатора А» А Ао В С Рис. 23. Некоторыо виды сужений: а — очень короткое сужение, соединяющее две трубы; и — болев длинное сужение, соединяющее трубу с атмосферон; о — маленькое отверстие в закрытом конце трубы; г — сужение, ведущее к разветвлению В; д — резонатор Гельмгольца (сужение, открывающееся в полость); о — сужение, соединяющее с атмосферой полость, расположенную на конце длинной трубы. объем жидкости гг меньше А~, если А — характерная площадь поперечного сечения вне етого сочленения.
Таким образом, внутри компактного сужения имеется фактически несжимаемое течение с потенциалом скорости ф. Однако локальное уменьшение площади поперечного сечения увеличивает усяореиия, что требует значительных изменений давления, даже несмотря на то, что сужение компактно. Таким образом, эта ситуация 3. Одномерныл волны в жидкостях 150 Это приближенное значение может быть получено также при рассмотрении выражения (61) для эффективной проводимости в А трубы длины 1 в предельном случае, когда полная проводимость )~У„в В очень велика (как для большого резервуара), н=2 а ее1/с, мало. Тогда У;и ж У, [1 1я (ео(/се)) ' ж (АДр,с,)) (/ео(/с,) г = (Иео) т, (80) где Ь = р,(/Ах в соответствии с (79). При более точном рассмотрении учитывается также, как изменяется ер в сливающихся течениях перед входом в область сужения и после выхода из пее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
