Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для этого необходимо численное интегрирование уравнения Лапласа с учетом фактической геометрии слияний, но во многих случаях поправка с точностью до одной значащей цифры дается выражением Т, = рт (1+ О 8Ае/е)/Ао (81) что может служить приближенным значением для сужений, длина которых мала по сравнению с характерным поперечным размером А',1е, как на рис. 23, в. На рис, 23, г показано сужение АВ постоянного сечения, которое является компактным, но достаточно длинным, чтобы поправка (81) была важной.
Сужение приводит к разветвлению В, где полная проводимость с У„хотя и не бесконечна, но до- ,1 статочно велика по сравнению с проводимостью Ут трубы АВ, чтобы пренебречь вторым членом в числителе (61) как произведением малых величин. Это дает (Уеп), ( ~~ У )-1, вез ' (82) противоположна ситуации с расгяирением в виде компактной полости, когда давление непрерывно, а объемный расход через полость терпит разрыв. Особенно простым сужением является узкая труба (или канал) небольшой длины 1 с постоянной уменьшенной площадью поперечного сечения Ао, соединяющая некоторую более широкую трубу с внешней атмосферой или большим резервуаром (рис.
23, б). В сужении скорость на единицу объемного расхода есть 1/Ао, что предполагает разность потенциалов от А к В приблизительно равной в/Ао и, таким обрааом, дает Ь ро(/Ао. (79) з,5. Полости, сужения, резонатора 151 В этой формуле впервые встречается закон такого типа, который в электрических цепях характеризует последовательное соединение сосредоточенных элементов и при котором суммируются совратив ения (величина, обратная проводимости, Я = У ', здесь — избыточное давление, отнесенное к объемному расходу).
Действительно, компактное сужение любой формы, непосредственно предшествующее разветвлению (или отдельной трубе, как на рнс. 23, а), должно удовлетворять этому закону (82), так как объемный расход принимает в А то же впачение, что и в В, а избыточное давление в А есть сумма избыточного давления в В и разности давлений ря — рв при переходе через сужение. Специальный случай (рис. 23, д) возникает, когда дальний конец В сужения является полостью с емкостью С, так что уравнение (82) принимает вид (У;и)-' = (б'йл)-з + л.еоз. (83) Тогда на некоторой резонансной частоте со= юо (определяемой той же формулой ю, = (ЬС) ц',1 (84) что в для электрического колебательного контура) эффективное сопротивление (83) в А падает до нуля, а проводимость Уе~е оказывается бесконечной. Это означает резонанс в том смысле, что спнусоидальные колебания с частотой юе, приводящие к большим объемным расходам жидкости, втекающей и вытекающей из полости (через сужение), могут быть вызваны черезвычайно малыми колебаниями давления вне полости.
Конечно, много других систем действуют как резонаторы в этом смысле; например, как показывает (63), труба длиной я в четверть длины волны с закрытым дальним концом (лл Ун = я=э = 0) имеет бесконечную проводимость, но она не компактна и резонирует на все частоты, равные произведению нечетного числа на основную частоту. Система на рис. 23, д, нааываемая резонатором Гельмгольца, обладает особыми свойствами; она эффективно резонирует только на одной частоте юо и является вполне нолелактной; действительно, уравнения (69) и (81) показывают, что ее размер меныпе с/ю, и отличается от этой величины множителем порядка корня квадратного из отношения размера полости к размеру сужения.
Можно полностью предотвратить вход волн с частотой юо в какую-либо из труб, выходящих из некоторого разветвления, такого, например, как В на рис. 21, введением параллельно с этими трубами компактного резонатора Гельмгольца, так как 152 3. Одномернне волнн в жидкостях его бесконечная проводимость увеличит сумму ХУ„в (56) до бесконечности и сведет проходящую волну А (1) к нулю. Можно добиться того же эффекта в прямой трубе АВС с помощью реаонатора Гельмгольца, сообщающегося с трубой в В; рассматривая В как разветвленпе, где энергия волны может или войти в резонатор, или пройти прямо в ВС, или отравиться назад к А, мы видим вз (55), что бесконечная полная проводимость в В выаовет полное отрицательное отражение.
Проходящей в ВС волны не будет, и колебания объемного расхода из АВ будут полностью компенсированы потоками жидкости, втекающей и вытекающей из резонатора. Противоположный эффект возникает, когда труба заканчивается (рис. 23, е) полостью АВ, соединенной через сужение ВС с атмосферой или с очень большим резервуаром. Уравнение (71) выраокает тот факт, что проводимость полости С1сс должна быть добавлена к проводимостям других элементов, которым она предшествует, что дает в этом случае У;1' = С1с» + (Юсо) '. (85) Здесь именно яроводилсость У;и в А обращается в нуль при резонансной частоте, так что полость ведет себя подобно закрытому концу! Причина, по которой она может противостоять флуктуациям давления с частотой соо у входа А, располоясепного напротив сужения, без какого-либо потока в него, состоит просто в том, что полость при отсутствии такого отверстия мох<ет резонировать на этой частоте, т.
е. могут возникнуть свободные колебания давления в полости с произвольной амплитудой, точно уравновешиваютцие потоки внутрь и наружу череа сужение. Аналогичное поведение обнаруживается, когда однородная труба или канал АВ заканчивается сужением с индуктивностью Ь.
Тогда уравнение (61) при е', У„= (Исо)-' дает Нд З у'сс — 1у н(со с') ( со~ ~) у 1 Г со (1 1)) с86) 11 (Ьву~)"х 1я (тЕЙ~) с й! с, где Ц = (сх/со) агссгд (я соУе). (87) В противоположность уравнению (72) теперь эффективное сопротивление трубы АВ такое же, как трубы уменьшенной длины — оканчивающейся закрытым концом! Это по существу вызвано тем, что АВ обладает замыкающей частью СВ длины 1„ которая вместе с сужением в В обрааует резонатор, окааывающий сопротивление любому колебательному движению с частотой се в сечении С.
г.а. Линейная теория распространения волн 2.6. Линейная теория распространения волн при постепенном изменении физических характеристик жидкости и поперечного сечения В разделах 2.3 — 2.5 описана линейная теория распространения продольных волн в системах, состоящих из однородных отрезков наполненных н«идкостью труб пли каналов, разделенных компактными элементами: сочленениями, разветвлениями, полостями, сужениями. Все изменения свойств (как трубы пли канала, так и невозмущенной жидкости) происходили на ограниченном пространстве, занимаемом этими компактными элементами, а не на значительно более протяженных отреаках труб между ними.
Напротив, в этом разделе описываются (по-прежнему в рамках линейной теории) эффекты постеле»«ного изменения плотности и сжимаемости жидкости или площади поперечного сечения и растяжимости вдоль некомпантнаго участка трубы нли канала. Показано, что распространение волн в нпх регулируется настолько простым правилом, что оно позволяет непосредственно обобщить ранее полученные результаты, вроде уравнения (61), на системы, в которых разветвления разделяют участки с постепенным измененном состава и поперечного сечения. Мы сначала поясним это простое правило рядом грубых эвристических доводов с помощью результатов равд.
2.3, касающихся сочленений, а затем посредством более тонкого анализа, основанного на уравнениях (3) и (4). Эвристические доводы содержат грубое предположение о том, что участок трубы с постепеннь»м иаменением состава и поперечного сечения мон«ет вести себя как предельный случай аппроксимирующей «лестницы» (рис. 24), состоящей из множества коротких однородных отрезков, разделенных «ступепчатымн» компакт- Рис. 24. Постепенно расширяющаяся труба Р(», аппроксинирсзанная <лестницей» «ступенчатых» сочленений. 2. Одномерные воавм в живко«та» 454 1 (1пУ вЂ” 1 У)», 4 (88) что можно легко вывести, например, из теоремы о том, что среднее арифметическое превосходит среднее геометрическое.
Если соответственно трубу РЯ, где проводимость У = А/(рс) изменяется, скажем, монотонно от Уг до Уо, аппроксимировать с помощью и труб неодинаковой длины, в каждой из кото- рых 1п У претерпевает одно и то же малое изменение и «(1п Уев — 1п Ур), то можно сказать, что доля потока энергии, которую волна, бегущая от Р к (), потеряет за счет отражения на любом сочленении, равна самое большее — и '(1п Уо — 1п Ур)».
1 4 (89) Это в свою очередь не больше, чем эта же доля (89) качал»кого потока энергии, который втекает в трубу в Р. Следовательно, отношение потока энергии в Я к потоку энергии в Р по край- ней мере не меныпе 1 — —, и ' (1п Уо — 1п Ур) ', (90) так как доля потерь при отражении на п сочленениях самое большее есть и, умноженное на (89), и так как любое дальнейшее отражение отраженной энергии может только увеличить это отношение. Такую «лестницу» однородных участков трубы можно рассматривать как аппроксимацию, все более и более близкую к реальному непрерывному изменению значений 1п У, когда п -+ аа; при этом отношение (90) стремится к 1.
Исходя из этого предела, мы заключаем, что поток энергии от Р передается с преяебреясимо малым отражением вдоль всего пути до (). В случае трубы с постепенным изменением свойств общего вида мы сделаем подобное заключение о совершенной передаче потока волновой энергии для каждого ее участка с монотонным измене- нием У и можем затем объединить полученные результаты, чтобы применить его к трубе в целом. ными сочленениями, в каждом из которых отношение проводимостей У»/Уг близко к 1 и, следовательно, доля отраженной энергии (50) действительно очень мала. Переходя к пределу, мы получим, что энергия пе отражается.
Этот предельный переход опирается на тот факт, что выражение (50) зависит от квадрата относительного иаменения проводимости, т. е. квадрата бУ1У или б (1п У). Действительно, доля отраженной энергии (50) всегда меньше ' 155 ".б. Линейная теория распространения еоян Эти грубые эвристические рассуждения приводят наконец к картине, согласно которой волна бежит от Р к Я (скажем, в положительном направлении х) со скоростью с, меняющейся постепенно по х, но с постоянным потоком энергии, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
