Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 30
Текст из файла (страница 30)
«Согласование проводимостейе (иааываемое также «согласованием сопротивлений» прн использовании обратных величин Я„ = 1>У, и Ее —— 1!Уе) является эффективным методом передачи волновой энергии из одной среды в другую без нежелательных отражений. 11ри наличии отраженной волны д того же знака, что и 1, отношение объемного расхода к избыточному давлению прп л == О в трубе № 1 уменьшается до величины 1(Π— е О] 49 У> 1(О+в(О > ( 9) которая представляет собой отношение левых частей (42) и (35).
Это уменьшение вызвано тем, что отраженная волна увеличивает избыточное давление при х = О и в то же время уменьшает объемный расход в направлении распространения падающей волны на величину У>д (1). Из уравнения (46) следует, что для того, чтобы согласовать отношение (49) с проводимостью У, ( У, в трубе № 2, необходимо положительное отражение (д должно быть того же знака, что и 1). Крайний случай такой ситуации — зто когда труба № 2 закрыта (У, = = О), что требует д = ), т.
е. происходит полное положительное отражение. С другой стороны, если У, ) У,(потому ли,что трубе № 2 имеет большее поперечное сечение, более эластична или содержит более легкую жидкость), то уравнение (47) требует отри>)отельного отражения с д>> ( О. Крайний случай такой ситуации — это когда ),>У, очень велико, например у открытого конца трубы (соединение между трубой н окружающей атмосферой), где объемный расход внутрь и наружу неограничен, но контакт с атмосферой делает избыточное давление очень д. Одномерные еояны е жидкостях малым. (Это также можно представлять себе как сочленение открытого канала с большим резервуаром.) Тогда д = †/, т.
е. имеет место полное отрицательное отражение. В любой бегущей волне поток энергии очень просто связан с проводимостью. Скорость передачи энергии в направлении распространения есть скорость, умноженная на силу, равную площади поперечного сечения, умноженной на избыточное давление; другими словами, это объемный расход, умноженный на избыточное давление, что в свою очередь равно проводимости, умнонсенной на квадрале избыточного давления. Например, в падающей волне (32) скорость передачи энергии есть У,/~ (! — х/с,). Аналогпчно, в отраженной волне она равна У,//' (Г -Р х/се), а в пРоходЯщей волне Ухи' (с — л/се), Сохранение энергии для сочленения л = — 0 может быть легко проверено: отношение отраженного потока энергии к падающему равно а (!)/Р(!) (У1 Уе) /(У1 + уеэ (50) а проходящего к падающему— Уа Ье(Г)/(Уз /е(Г)) = 4УгУе/(Ут + У в)' ° (51) Этн отношения являются неотрицательными числами, сумма которых равна 1, т.
е. вся энергия, которая не отражается, проходит. Заметим, что если проводимости согласованы лишь приблизительно (У,/У, олизко к 1, но не равно ей), то имеется все же почти идеальная передача энергии. Отношение энергий отраженной волны к падающей (50) в этом случае около (1/4) (У,/У, — 1)', т.
е. пропорционально квадрату ошибки согласования; этот результат используется далее в разя. 2.6. Рассмотрим в заключение случай, когда труба № 2 хотя и не закрыта, однако У, очень мало по сравнению с У„как на рис. 20, б: понятно, что (согласно (47)) в этом случае величина я// близка к 1 (аначению атой величины для закрытой трубы, где У, = О), но (48) дает довольно удивительный результат, что /с// почти равно 2. Носкольку, согласно предполон.ению, У мало, то поток энергии Уейе в трубе № 2 невелик; действительно, его отношение (51) к падающему потоку энергии всего лишь около 4 (У,/У1).
Тем не менее амплитуда давления в проходящей волне приблизительно о два рази больше, чем в падающей волне; это имеет место, в сущности, потому, что на почти закрытом конце трубы № 1 происходит почти полное полояеительное отражение и, таким образом, создается почти удвоенная амплитуда давления, на что труба № 2 отвечает соответственно. З.В. РВСНРОСтРННЕННЕ ВОЛН НЕРЕЕ РеевстЕЛЕНННЕ СНСЕНЕНН 2.4. Распространение волн через разветвленные системы Правила равд. 2.3, определяющие отраженную и проходящую волны, когда единственная волна падает на единственное сочленение, являются основными фактами, исходя из которых оказывается возможным рассчитать распространение волн вдоль трубы пли канала, име|ощих, скажем, последовательность таких сочленений, илн даже (равд. 2.6) непрерывное распределение изменения свойств.
Однако для разветвленных систем, подобных сердечно-сосудистой системе или реке с ее притоками, основные необходимые данные относятся не к сочленению двух различных труб или каналов, а к разветвлению, где встречается много труб или каналов.
Необходимо знать, как такое рааветвленпе (размеры которого опять же предполагаются компактными) прореагирует на падающую волну, достигнувшую его по одной из этих труб или каналов. Чтобы проанализировать зто, мы перенумеруем числами от 1 до Л' трубы или каналы, встречающиеся в таком разветвлении (показанном на рис. 21 для случая разве пвлвнин на три часепи, Х = 4), и предположим, что в каждой иэ них первоначально отсутствуют какие-либо возмущения, кроме падающей волны (32), приближающейся к разветвлению по трубе № 1. После того как падающая волна достигнет разветвления, избыточное давление в этой трубе будет описываться общей формулой (33), включающей также отраженную волну.
В остальных трубах, помеченных индексом и, изменяющимся от 2 до Х, проходящая волна будет иметь вид р, = Ь (8 — х/с„), (52) как в (34), но, вообще говоря, с различными для разных труб скоростями волн с„. Здесь х)~ О соответствует расстоянию, измеряемому от разветвления х = О вдоль любой трубы с п ) 1, хотя в трубе № 1 мы выбираем х ( О (как в равд.
2.3). Отметим, что в (52) форма волны Ь (е) одинакова для каждой трубы, потому что в разветвленпи х = О давление должно быть непрерывным по причинам, сущность которых выражена ураннениями (40) и (41): значительное изменение давления при переходе через компактную область вызвало бы локальный поток жидкости, слишком большой по сравнениюслокальпыми потоками в прилегающих трубах, что означало бы нарушение. закона сохранения массы. Это условие непрерывности давления, так же как и прежде, приводит к уравнению (35). 138 3. Одиомериил холим о жидкостях Рис. лт. Равветвление на трн части.
Аналогичное требование непрерывности объемного расхода для разветвления дает, однако, не уравнение (42), а (53) Левая часть„как и в (42), определяет объемный расход жидкости, вытекающей через сечение х = О нз трубы № 1, где х ( О н где отраженная волна, вообще говоря, существует, Правая часть представляет сумму объемных расходов жидкости, вытекающей нз разветвления (в направлении увеличения х) вдоль каждой нз труб, п = 2,..., Л".
Здесь "г"„= А„(р„с„) т (54) (отношенне объемного расхода к избыточному давлению в бегущей волне) являетсн проводимостью п-й трубы. Соответственно формы отраженной и проходящей волн д (8) и Ь (й) определяются уравнениями (35) и (53), точно так же, как уравнения (35) и (42) определяют их для простого сочленения, за исключением того, что проводимость Уа заменена теперь н дульной ~~ У, проведимосвтей труб, отводящих проходящую вол- ке З пу. Отсюда следует, что все реаультаты равд. 2.3 для простых соединений могут быть применимы к разветвлениям при условии, что во всех них сделана замена Уа на ~ т'„. и=а Например, решения (47) и (43) для д (~) и 7л (~) превращаются соответственно в 3.а.
Распространение ооон иерее рагоетеоенные системы Ь(~)/)(г) =2У,/(У, + '!; У„). п=з То же самое правило управляет отраженной и проходящей энергией, поскольку энергия, уносимая из х =- 0 всеми проходящими волнами (52), представляется суммой ( сл Уп) ~ (Г)г (57) ааменяюецей У', йо(~) из равд. 2.3. Следовательно, уравнения (50) и (51) снова позволяют определить, какая часть падающей энергии отражается и какая проходит, если У, заменить на К ~~~ У„, и снова согласуются с законом сохранения энергии. па-а Ценная особенность использования провобимости (54) (вместо, скажем, сопротивления 2п = — 1/Уп) состоит в том, что трубы, соедьнени е параллельно, ведут себя точно так яое, как одна труба с проводимостью, равной сулсме их проаодисностей. Это правило, выражающее тот факт, что объемные расходы таких труб складываются, а их избыточные давления одинаковы, упрощает рассмотрение передачи через разветвленные системы.
В сердечно-сосуднстой системе важным разветвлением является бифуркаоьил аорты, где аорта (главная артерия, выходящая иа сердца), спустившись вниз к брюшной полости, разделяется на две подвздошные артерии. Поучительно рассмотреть, как па пульсовую волну, идущую от сердца, влияет встреча именно с этим разветвлением. Хотя такое рассмотрение игнорируетреальную сложность сердечно-сосудистой системы (для которой характерно большое число взаимодействующих ветвей и разнообразие их свойств), тем пе менее его результаты показывают определенное сходство с наблюдаемым поведением в основном из-за важности той роли, которую играет зто разветвление.
В данном случае лг = 3 и сумма проводимостей Уо н Уо двух подвздошных артерий оказывается меньисе, чем проводимость У, самой аорты; частично это связано с тем, что сумма площадей их поперечных сечений заметно меныпе (примерно на 20ог4, хотя зто отношение варьируется в широких пределах для разных индивидуумов), а частично с тем, что аорта имеет болыпую растяжимость и, следовательно, более низкое значение скорости волны с, чем подвздошные и другие еще более периферийные артерии. Тогда из уравнения (55) следует наличие положительного отражения волны (дl~) О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
