Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Показать, что линейный источник длины Ь с перкоднчесии меняющимся массовым расходом а (1) = о, соз Ы, расположенный между двумя параллельными плоскостямв н перпендикулярный к ним, генерирует среднюю акустическую выходную мощность, равную Ро й ю11. 8 4. Покааать, что в ближнем поле дилоля с напряженностью 6 (1) = = Н (т) мощность, передаваемая череа поверхность сферы радиуса г с центром в диполе, отличается от ее значения (104) в дальнем поле членом — '(, ', ~ — '( — ')Се(» — — ")ък2( — ')'С ~С вЂ” — ').Н (С— — — ) , '~ — ) Е!з~с — — )~). Какой физический смысл ьтожно приписать величине, стоящей в Фигурных скобках? б.
Использовать понятия источников и диполей для решения общей задачи Коши в случае распространения звука в неограниченной жидкости, а именно положить, что при т =- О скорость жидкости и давление ааданы формулами и = и, (х), р = ро + р, (х), и найти давление в последующие моменты времени.
Заметим, что покоящуюся жидкость с постоянным давлением р = — ро ьюжно мгновенно привести в состояние, описываемое укааанными начальными данными, двумя способами: (1) при помощи распределенного импульса реп, на единицу объема, приложенного в момент времени т = О (здесь под импульсом, конечно, подрааумевается очень боль- Увраяенвния к вяаве 1 шая сила, действующая очень короткое время, так что интеграл от этой силы по времени равен указанному импульсу); (И) при помОЩи РаспРеДЕленного мвновеннооо массового Расхода е оР> иа еДиницу объема; вто задает начальную величину р — ро (под мгновенным массовым расходом мы снова понимаем очень большую скорость ивменепия массового расхода за очень короткое время, так что интеграл от этой скорости по времени дает суммарный массовый расход).
Исходя из такого представления, получить выражение р — р, в любой точке Р в любой момент времени 1 ) О. Показать, что оно может быть получено осреднением величины рл + ег (дрл/дк — ров~7 и>) по поверхности сферы радиуса е> с центром в точке Р (где д/дн означает производную по внешней нормали к этой поверхности]. Проверить, что результат согласуется с выводамп упражнения 1. Покаватгч что малые пульсации пузырька газа в жидкости на каждом периоде пульсации теряют в виде звука часть своей энергии, равную 2я (Зр о>ро)'/' (е /е); здесь ро и с — пезозмущенная плотность и скорость звука для жидкости, а р, и е — невозмущепиая плотность и скорость звука 8 8 о для газа.
(Для пузырьков воздуха в воде при 20 С эта доля потерянной энергии составляет 0.095.) Классическое решение (см. учебники по гидродинамике) задачи о схлопывании пустой сферической полости в жидкости дает 2 [а (1))л=- Родо> (аз о[а (1)) в — 1). 3 Здесь а (1) — радиус полости в момент времени 1, ао — значение радиуса до начала дви'кения, ро, ро — невоамущеииые давление н плотность жидкости. Показать, что полость действует как акустический источник, напряженность которого моклно записать в виде — ЯРо (ао о[а (1))-' — 4а (1)), 3 так что она отрицательна до тех нор, пока а (1) не уменьшается до величины 2-л/вао, а затем становится положительной.
[Заметим, однако, что при тех чрезвычайно малых значениях а (1)>ао, при которых интенсивность источника стремится к .)-оо, классическое решение непримеиилю, поскольку в неы пренебрегалось внутренним противодавленкем, обусловленпын сжатием пара, которое непременно имеет место в реальной полости.] Золовы тона, создаваемые колеблющейся под действием ветра проволокой, связаны с флуктуациями подъемной силы (направленной под прямым углом к направлению ветра), обусловленными череду>ощимся срывом вихрей с верхней и нижней поверхностей проволоки.
Предполагая, что диаметр проволоки компактен, а ее длина 21 некомпактна, найти реаультирующее акустическое поле в случае, когда собственные колебания проволоки находятся в фазе 8-Е11ЕЕ 1. Звуковые волны с флуктуациями подъемной силы, равной с„ сов юс на единицу длины проволоки. Считая, что подъемная сила действует в направлении у, а проволока расположена между точками (О, О, — С) и (О, О, С), покавать, что на больших расстояниях у' „г ) уг гс от средяей точки проволоки поле давления задается форзсулой р — ро = — [Ьсуг г зш (югу(ге))) (2яг) с э)п [ю (с — с?~е)) В каком направлении амплитуда имеет наибольшее значение? В каких направлениях она обращается в нуль? (Последние ограничивают вбоковые лепесткив, подобные тем, о которых упоынналось в равд. 1Л2д 9.
Показать, что компактная сфера, средняя сжимаемость которой К может быть больше (ко не во много раз) или меньше сжныаемости ро'ео окружающей жидкости, рассеивает плоскуго волну в большей степени назад, чем вперед, тогда н только тогда, когда иэбыточиая средняя сжимаеыость сферы и ее избыточная средняя плотность имеют противопололсные знаки. Каким образом нарушается это заключение, если Крее' очень велико? 10. Обычно сирены работают при помощи пара. Если такая жидкость с плотностью р, истекает с колеблющимся расходом в атмосферу, имеющую иную плотность ро, то результирующую акустическую отдачу (для умеренных скоростеи потока) можно вычислить двумя различными способами.
Во-первых, можно считать, что перемеипый объемный расход т (С) выталкивает окружаюпсий воздух с всем же салим объемиым расходом, и тогда дальнее поле монсно вычислить с помощью методов равд. 1.6 как дальнее поле акустического источника напряженности рот (с). Во-вторых, исиольвуя идеи равд. 1ЛО, можно рассматрввать дальнее поле как дальнее поле точечного источника напряженности рекс (С), равной скорости изменения массового расхода сирены, плсос дальнее поле распределения квадруполей напряженности (150) на единицу объема.
Показать, что для умеренных скоростей иотока дальнее поле распределения таких квадруполей совпадает с дальяим иолеы распределения точечных источников напряженности — дгрсдгг на единицу объема, суныарпая напряженность которых (ро — р,)ск(с) согласуется с результатаын укаэанньсх двух способов вычисления. 11. Пусть жесткая сфера совершает ыалые колебания, при которых ее центр движется по одной и той же ирямой, сиещаясь на величину ь (с); показать, что напряженность эквивалентного диполя 6 (с) определяется общей формулой 4иРоеаге ~ Ь (Т+ аз/е) ехР [е (Т вЂ” С))ае) з(и [е (С вЂ” ТУ аз[ ЗТ.
Ю Заметим, что в случае, когда Ь (С) меняется медленно иа временном масштабе авсе, зто выражение моясно свести к приближенному риду Улраэснениэ к главе 1 С (/) = 2преаэ Ь (г), поскольку распределение ехр [с [Т вЂ” С)/ае] з[л [с (1 — Т)/аа] имеет центр при Т = г — аэ/с и дает ивтегральпую величину аа/(2с). 12. Пусть в случае иэлучелил звука от плоской стенки распределение (186) нормальной скорости поверхности существенио только при Уэ + Еэ ( (э. Показать, что ва расстояниях г от начала координат, больших по сравпеиию с П но не обязательно болыпих по сравиеиию с юр/с, результирующее звуковое поле хорошо аппроксимируется выражением (187), если Рг (М, /У) интерпретировать как фурьепреобрааование не функции /, (У, Я), а выраизекия /, (У, 2) ехр ~ — /со (Уз+Ха)/(сг)[.
1 2 Это согласуется с предыдущим определением (188), если г действительно велико по сравнению с юр/с. С другой стороны, если г лало по сравнению с юр/с, можно ааписать новое значение Рг (юу/(гс), юг/(гс)) как Ю ~ /,(У, 2)еьр[гф(У, 2ПЯУЯг, где фаза 1 ф(У. 2)=[~/(~~)] (уУ+э2- — У' — — 2') 2 сильно мепяется в области Уэ+ 2' < Р и стациоиарка при У = = у, Я = э. При этих условиях двойной интеграл можно вычислить методом стациопарной фазы (см. виже, равд. 3.7), взяв величину /,(У, 2] в этой стационарной точке равной 2п/](дэф/дуэ) (дар/62з) ~ '/э /д (у, э) ехр [ар (у э]], Показать, что если Р, (юу/(гс), о>э/(гс)) задать в таком виде при г(( ыр/с, го уравнение (187) для р — рэ будет согласовываться с выводамк геометрической акустики. 2.
Одномерные волны в жидкостях 2.1. Продольные волны в трубах и каналах Теория генерирования и распространения звука, основанная на суммировании решений волнового уравнения для простых источников, оказалась применимой (равд. 1 4 — 1.10) к широкому кругу задач, которые одновременно удовлетворяют условию линейности (т. е, возмущенна настолько малы, что их квадратами можно пренебречь) и условию компактности (т. е. область источников мала по сравнению с длиной волны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
